聯想導數運算法則　巧設可導函數解題

函數作為整個數學學科知識體系中的重要組成部分，反映了客觀世界兩個集合之間的對應關聯。導數作為研究函數性質的有力工具，能夠應用于函數單調性、最值、極值、切線等知識中。使用導數巧妙解答函數題目已成為考查同學們對函數與導數不等式相關知識點的常見題型，能夠多層次全面地考查同學們對所學知識點的綜合應用能力，鍛煉同學們的數學邏輯推理思維，并培養大家的數學學科核心素養。

一、聯想和、差函數的導數運算法則

例1 函數f（x），g（x）連續，且在區間（a，b）內可導，在f'（x）

A.f（x）>g（x）

B.f（x）<g（x）

C.f（x）+g（a）<g（x）+f（a）

D.f（x）+g（b）<g（x）+f（b）

解析：題中給出的已知條件f'（x）<g'（x），能夠讓我們在解題時自然地聯想到差函數的導數運算法則[f（x）-g （x）]' =f'（x）-g'（x）。

所以可以根據題目構造函數h （x）=f（x）-g（x），則h'（x）=[f（x）-g（x）]'=f'（x）-g'（x）。

已知f'（x）<g'（x），因此h'（x）=[f（x）-g（x）]'=f'（x）-g'（x）<0，函數h（x）在區間[a，b]內單調遞減。因此，當x∈（a，b）時，h（b）<h（x）<h（a），轉換可得f（b）-g（b）<f（x）-g（x）<f（a）-g（a），通過移項整理可得f（x）+g（a）<g（x）+f（a），C 選項正確，而f （x ）+g （b）>g（x）+f（b），說明D選項錯誤。

例2 已知函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，假設任意x∈R，f'（x）>2恒成立，則f（x）>2x+4的解集為（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-∞，+∞）

解析：導數f'（x）的正負值，將與f（x）函數的單調性密切關聯，那么題目中的f'（x）>2到底代表什么？ 結合題目給出的結論f（x）>2x+4，可以構造函數g（x）=f（x）-2x-4。

故不等式f（x）>2x+4?g（x）>0。由于題目已知條件f'（x）>2，可得g'（x）=f'（x）-2>0，g（x）函數在R 上單調遞增。

再加上f（-1）=2，可得g （-1）=f（-1）+2-4=0。因此，f（x）>2x+4?g（x）>g（-1）?x>-1，B選項正確。

題干中給出條件f'（x）>2，和最終結論f（x）>2x+4之間呈結構特征密切關聯，同學們求解時容易聯想函數g（x）=f（x）-2x-4的單調性。

二、巧設“y=f（x）±g（x）”型可導函數

在數學題目所給出的條件內存在或經過變形呈現f'（x）±g'（x）的情況，可以逆用f'（x）±g'（x）=[f（x）±g（x）]'，構造可導函數h（x）=f（x）±g（x），并利用此函數性質解決函數問題。

例3 假設奇函數f（x）是定義域為R的可導函數，當x>0時，f'（x）+cos x<0，那么當x≤0時，（ ）。

A.f（x）+sin x≥f（0）

B.f（x）+sin x≤f（0）

C.f（x）-sin x≥f（0）

D.f（x）-sin x≤f（0）