從“作圖之器”走向“涵養之道”

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》將尺規作圖列為小學數學教學內容之一。在尺規作圖教學中，可采用“在教材銜接處滲透、在新知起點中挖掘、促進不同領域間的相互關聯”等方式，引導學生對尺規作圖中蘊含的數學思想方法進行探索，讓尺規作圖成為涵育學生核心素養的載體，真正實現尺規從“作圖之器”走向“涵養之道”。

【關鍵詞】尺規作圖；數學思想方法；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）首次提出將尺規作圖教學納入小學數學范疇。2022年版課標指出：會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段；經歷用直尺和圓規將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程，感知線段長度的可加性；經歷基于給定線段用直尺和圓規畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊。這些內容為第四學段（7～9年級）進一步學習尺規作圖奠定堅實基礎。教師要思考如何在相關內容的學習過程中培育學生的數學思維，發展學生核心素養。

一、尺規，從“器”到“道”的哲學審視

對于尺規作圖而言，“尺”僅是畫直的線的工具，并非用于測量線的長度，“規”則是通過調節圓規兩腳間的距離實現作等長線段的一種工具。因此，尺規的組合蘊含了“尺非尺，規即尺”的哲學意蘊，為開展數學探究活動提供了廣闊的探索空間。

（一）尺規作圖在數學思想中的價值體現

1.尺規作圖促進模型思想的認知建構

2022年版課標強調，在理解四則運算含義的基礎上，應引導學生理解現實問題中的兩種模型，即加法模型和乘法模型。通過尺規作圖的“累加”過程，學生在情境中可直觀感知“總量=分量+分量”的加法模型，并在分量相同的情況下，理解這一加法模型向乘法模型的轉化，從而深化對模型思想的認知（如圖1）。

2.尺規操作展現對稱思想的結構美感

數學中的對稱指的是圖形或物體對某個點、直線或平面而言，在大小、形狀或排列上具有一一對應的關系。在學完“軸對稱圖形”后，學生可利用尺規，以直線l為對稱軸，設計已知三角形的軸對稱圖形，從而感受對稱思想的結構之美（如圖2）。

（二）在尺規作圖中探尋相似思維的路徑

1.尺規作圖為一一對應方法提供一種范式

2022年版課標“附錄”部分在實例26“用直尺和圓規作等長線段”中，展現了尺規作圖的核心思想。由于采用的直尺是無刻度直尺，即便作出等長線段，也并不知道線段具體的長度。在實例7“通過對應理解大小關系”中，左邊的集合中有7個●，右邊的集合中有3個●（如圖3），通過右邊集合中的●與左邊集合中的●的一一對應，比較出7＞3，而不是通過計算7-3=4的方法比較出7＞3。因此，用尺規作等長線段既是尺規作圖的源頭，也是一一對應方法的源頭，這種對應方法是數學的基本方法。

2.尺規作圖為創新意識培養提供一種思路

在尺規作圖教學中，要讓學生學會根據給定的三條線段畫一個三角形。在此過程中，學生可以選擇任意一條線段作為三角形的底邊，并以該線段的兩個端點為圓心，以另外兩條線段的長度為半徑，利用直尺和圓規畫出三角形（如圖4）。這一思路不僅深化了學生對三角形三邊關系的理解，還提供了一種全新的學習視角，相較于傳統教學中使用固定長度的小棒進行實踐操作的方式，尺規作圖更能培養學生的推理意識、創新意識和想象力。

（三）在“器”“道”中思索尺規的本質要義

尺規作圖有別于一般的畫圖，是一種利用無刻度（或看不見刻度）的直尺和圓規進行作圖的作圖方式。正如《周易·系辭上》所言：“形而上者謂之道，形而下者謂之器?！睆摹靶味隆钡慕嵌瓤?，尺規是作圖工具，能幫助學生正確掌握作圖的方法，可作為“作圖之器”；從“形而上”的角度審視，尺規作圖能夠培養學生的核心素養，為終身發展奠定堅實基礎，可視為“涵養之道”。

二、尺規，源于“器”與“道”的實踐探究

學生通過學習尺規作圖的操作方法，掌握規定的尺規作圖相關知識，提高問題解決的能力。具體遵循從學科知識體系建構到學生認知結構形成的路徑，最終指向學生核心素養的發展。因此，對于尺規的教學，教師不僅要強調其實用性（“器”的層面），還要深入挖掘其背后的原理與規律（“道”的層面）。

（一）在教材銜接處滲透，完善尺規教學的結構

根據2022年版課標，尺規作圖的教學被安排在第二學段，要求學生會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段。為更好地實現這一目標，教師可以利用教材資源，提前進行相關知識點的滲透，讓學生學會將圓規的兩腳對應一條線段的兩個端點，感悟線段的長短與圓規兩腳張開的大小有關。

1.在第一學段中捕捉尺規素材

2022年版課標對圓規使用的教學，由原先五年級的“圓的認識”，調整到第二學段“作一條線段等于已知線段”的教學中。鑒于此，有必要考慮讓學生更早接觸圓規這一工具。

以蘇教版教材一年級上冊的練習題為例（如圖5），該題安排在完成“比一比”的教學后，要求學生根據線段長度在相應的方框內畫“√”。

在教學中，教師應引導學生以其中一條線段為標準，先通過一拃（每個人一拃不一樣長且不固定）進行比較，進而引入圓規，并強調圓規兩腳張開大小的可調節性（類似于一拃的大拇指和食指，但能夠固定）。這種利用圓規建立比較標準，比較兩根跳繩的長短的方法，對于學生核心素養的培養具有深遠意義。

2.在第三學段中拓寬尺規設計

2022年版課標在第三學段只安排了一個關于尺規作圖的教學內容，即“引導學生經歷基于給定線段用直尺和圓規畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”。這一安排突破了傳統依賴動手測量或小棒擺搭等方法的局限，是教學方法的進步。然而，若將尺規的功能僅局限于解決教學重難點，即驗證三條線段能否圍成三角形，這樣的教學顯然是不夠充分的。

為此，教師可以引導學生圍繞具有挑戰性的學習主題進行深入探究，具體設計如下教學。

（1）有線段a、b、c，已知a+b>c，它們能否圍成三角形？如果能，以不同線段為底邊，圍成的三角形形狀是否相同？（如圖6）

（2）如果選定其中的一條線段（以線段c為例），你能畫出兩個三角形嗎？（如圖7）

（3）如果延長線段a，使其與線段b相等，那么所畫出的兩個三角形，它們可以組成一個什么樣的圖形？（如圖8）

（4）連接兩個弧的交點得到線段d，與線段c相交于點O（如圖9）。線段c、d有什么樣的位置關系？交點O有什么特別之處？

這一教學內容的設計有助于學生經歷有意義的學習過程，促進他們體驗成功并獲得發展。同時，這些內容的學習也為學生第四學段進一步學習尺規作圖（如作一條線段的垂直平分線）打下基礎。

（二）在新知起點中挖掘，凸顯尺規教學的價值

尺規作圖作為2022年版課標中的獨立內容，其背后蘊含著豐富的數學思想。在教學中，教師應將其視為“種子課”，深入挖掘其背后的數學價值。通過精心設計教學活動，引導學生體驗尺規作圖的魅力，激發其數學學習興趣，為后續學習打下堅實的基礎。

例如，2022年版課標在教學提示中指出：“圖形的周長教學可以借助用直尺和圓規作圖的方法，引導學生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性?！崩弥背吆蛨A規，能將三角形的三條邊畫在一條直線上。這種方法同樣適用于四邊形、五邊形等小學階段學習的平面圖形（如圖10）。

在此過程中，學生借助尺規將圖形的一周精確地呈現在一條直線上。學生具身參與操作活動，有助于學生直觀理解周長概念。在此基礎上，通過尺規進一步比較不同多邊形的周長，探討如何通過尺規表示不同多邊形邊長（周長）之和（差）等問題，從而幫助學生深入理解尺規作圖的本質，發展學生的推理意識。

（三）促進不同領域間的相互關聯，巧用尺規提質賦能

數學是一門系統性很強的學科，其每一個數學概念和規律都應融入完整的數學知識結構中。2022年版課標強調課程內容結構化，深化數學知識間的內在聯系。在尺規作圖的教學中，不僅要在“圖形與幾何”領域內部進行關聯，還要突破這一界限，與其他領域建立聯系，以實現知識的結構化。

1.借助尺規工具，強化問題解決能力

數學概念、性質和規律等數學知識，雖然在表面上呈現為獨立的知識點，但實質上相互關聯。教師在教學時應從全局視角出發，確保學生認識知識點之間的內在聯系，形成結構化的知識體系。

例如，在教學“小數進位加”時，教師可引導學生利用尺規作圖對3.6+4.5=8.1進行直觀驗證，以體現數形結合的思想。具體步驟為：（1）分別畫出AB=3.6厘米和CD=4.5厘米的兩條線段；（2）利用圓規將這兩條線段在同一條直線上進行累加（B、C兩點重合）（如圖11），通過測量得到線段AD=8.1厘米；（3）引導學生思考線段AB+CD=AD與3.6+4.5=8.1之間有怎樣的關系。

2.通過尺規操作，深化知識間的聯系

尺規作圖的操作活動具有形象性的特征，能夠幫助學生深入理解抽象的數學知識，并把握問題的本質。例如，在“公倍數和最小公倍數”的教學中，蘇教版教材提出的“6和9的公倍數有哪些？其中最小的是幾？”這一問題，雖然能通過列舉法直接找到答案，但在實際運用中，學生常因對公倍數、最小公倍數之間的關系理解不足而產生困惑。

利用尺規作圖，學生可以直觀地理解公倍數和最小公倍數的本質。這種方法不僅提高了學生尋找公倍數和最小公倍數的直觀性，而且有助于他們迅速理解題意，建立起數學知識與實際生活之間的緊密聯系。具體操作及思考過程如下。

（1）操作。首先畫一條線段；接著進行第一次操作，將圓規兩腳張開到6毫米，沿線段進行多次累加截取（如6毫米、12毫米、18毫米……）；隨后進行第二次操作，將圓規兩腳調整至9毫米，再次進行多次累加截取（如圖12）。

（2）思考。在操作過程中，引導學生思考：“第一次操作與數‘6’之間存在怎樣的關系？”“第二次操作與數‘9’又有怎樣的關系？”“為什么重疊處恰好是6和9的公倍數？”通過這樣的操作與思考，學生將更深刻地理解公倍數和最小公倍數的概念，并在解決實際問題中靈活運用。

從“道”到“器”是去往，從“器”到“道”是復歸 ，去往而后復歸。去往，是道生萬物，是樸化為器；復歸，是從萬物復歸于道，是器復歸于樸。正如老子所言：“反者，道之動。”尺規作圖的“反者之動”就是學生思維去往與復歸的循環往復，即從核心素養到數學方法的深入探索以及從方法到素養的回歸提煉。因此，尺規作圖教學不應僅限于掌握作圖技巧這一層面，而應深入探索其背后的價值意義，讓尺規作圖成為涵育學生核心素養的載體，真正實現尺規從“作圖之器”走向“涵養之道”。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］俞正強.種子課2.0：如何教對數學課［M］.北京：教育科學出版社，2020.

［3］何優優，金勤．“尺規作圖”突破幾何直觀的局限：“畫線段”教學實踐與思考［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（7/8）：35-39．

［4］劉加霞，潘麗云.尺規作圖的歷史溯源、育人價值及教學建議［J］.小學教學（數學版），2022（7/8）：20-24．

（江蘇省淮安市實驗小學）