中考壓軸題

名師原創

模型提煉：初中幾何變幻莫測，很多圖形都有固定的結論. 例如，如圖1，若“△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，點D，E在AB上，∠DCE = 45°”，則線段AD，DE，EB三條線段有固定的數量關系，若AD = 3，BD = 9，請借助下面圖形，求△CDE的面積.

[C][B][E][D][A]

圖1

拓展延伸：如圖2，AD是△ABC的高，∠ACD = 45°，點E在BC上，∠CAE = ∠BAD，過點B作BF ⊥ AE，垂足為F，交AD于G.若DG = 3，CE = 8，求DE的長.

小明的想法是，過點A作AH ⊥ AC，交CB的延長線于點H（如圖3）. 請你參考小明的做法完成上面問題，或選擇其他思路完成解答.

[A][F][C][E][D][B][G] [A][F][C][E][D][B][G] [H]

圖2 圖3

遷移應用：如圖4，四邊形ABCD中，∠BAD = ∠BCD = 90°，∠ABC = 45°，點E是邊BD的中點，連接AE并延長交BC于點F. 若BF = 8，CD = 15，求CF的長.

[A][D][C][F][B][E]

圖4

思路點撥

模型提煉：如圖5，將△CAD繞點C逆時針旋轉90°得到△CBF，再證明△CDE ≌ △CFE，從而得到△BEF是直角三角形. 設DE = EF = x，則BE = 9 - x，BF = AD = 3，根據勾股定理得到DE = 5，則△CDE的面積為15.

[C][F][B][E][D][A]

圖5

拓展延伸：如圖6，過點A作AH ⊥ AC，可得∠BAF = ∠DAC = 45°，此時該圖為“模型提煉”中的基本圖形，先證△FAG ≌ △FBE，設DE = x，則AD = DC = HD = x + 8，AG = BE = x + 5，BD = 5，BH = x + 3，結合“模型提煉”中的方法，得到△CEK是直角三角形，得DE = 12.

[A][K][C][E][D][B][H][F][G]

圖6

遷移應用：如圖7，連接CA，CE，則BE = CE = DE = AE，∠AEC = 2∠ABC = 90°，則∠CAE = 45°，延長AD，BC交于點G，補全“模型提煉”中的基本圖形，按照上述方法進行旋轉，得到△CNG是直角三角形，CG = CD = 15，BF = GN = 8，得到CF = CN = 17.

[A][D][C][F][B][E] [N][G]

圖7

（作者單位：大連教育學院）

（本文系遼寧省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“初中數學優質課堂教學背景下的作業設計研究”的階段性研究成果。課題編號：GJ21CB202。）