“數形結合思想”在小學數學教學中的應用

【摘要】“數形結合思想”的應用，旨在通過將“數”與“形”兩類數學要素進行轉化或融合，簡化數學知識的理解難度，活躍學生思維，提高他們解決數學問題的能力.文章分析了“數形結合思想”的含義，探究了應用“數形結合思想”的理論基礎，研究了在小學數學課程中應用此種思想的要點，從知識探索和運用兩方面視角，闡述開展“數形結合”類探知活動，設計以數解形、借形解數等問題，提高數學教學質量的策略，旨在為教師合理應用“數形結合思想”提供思路.

【關鍵詞】數形結合；小學數學；數學思想

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，教師應當開展能夠促進學生的發展的教學活動，要讓他們經歷觀察、思考、分析、推理、計算等數學認知過程，使其真正體會和運用數學的思想與方法，從中積累更多有價值的數學活動經驗，進而提升數學學習能力和學科素養.對此，教師可以在小學數學課程中，引入“數形結合思想”，應用此種思想，指導學生進行理論探究和技能實踐，讓他們掌握以數解形、以形解數的方法，使其在數形互譯過程中，深度理解數學知識，提高解決數學問題的效率與能力.

一、“數形結合思想”概述

“數形結合思想”指的是根據數與形之間的關系，將抽象數量與具象圖像進行關聯對應，通過數與形之間相互輔助、相互轉化、相互指引的方法，理解數學知識、解決數學問題的一種數學思想.“數形結合思想”中“數”與“形”之間是相互轉化、相互輔助的，可以用“數”的形式表現“形”，體現事物的具體數量或增減變化，也可以用“形”的方式探索“數”，直觀呈現數量之間的關系等.

“數形結合思想”的應用不僅能夠將抽象的數學概念、數量關系、數學規律等以直觀、形象的方式呈現出來，使學生更加深刻地理解數學知識的本質，還能有效活躍他們的思維，使其能夠通過數形轉化、數形互譯等方式，快速解決數學問題，進而提升知識遷移運用的水平.

二、“數形結合思想”的理論基礎

（一）腦科學理論

腦科學理論由美國神經生物學家斯佩里提出，該理論強調人類大腦由左、右兩個部分構成，而左腦和右腦有著不同的思維方式，左腦更具有分析性、邏輯性特點，善于研究概念性、理論性問題，右腦則具有無序性、跳躍性特點，善于處理一些感知類、視覺類問題.這一理論指出了左、右腦各自具備的特征和優勢，說明了對人類的左右腦進行共同開發，能夠使其產生對世界實現感性與理性交織的認知.在“數形結合思想”中，“數”更傾向于左腦認知，“形”則傾向于右腦認知.對此，教師可以根據腦科學理論，將“數”與“形”進行合理融合，引導學生同時運用左、右腦認知數學知識，解決數學問題.

（二）認知結構理論

認知結構理論由美國認知心理學家布魯納提出，該理論認為人類對世界的認知是在原有認知結構的基礎上，對聽到的、看到的新信息進行關聯和重組，從而實現對外界認知的不斷建構.另外，在認知建構過程中，人們并不是簡單的組合或羅列信息，而是要根據各信息之間的邏輯關系進行科學聯結.對此，根據這一理論，教師在“數形結合思想”應用過程中，需要引導學生發現“數”與“形”之間的內在聯系，不能隨意選擇數學圖形或模型與數量關系相連，這樣才能使“數”與“形”之間實現有效轉化或融合.

三、“數形結合思想”的應用要點

（一）注重數形之間的對等性

教師在數學課程中應用“數形結合思想”時，需要遵循數與形之間的對等性原則，要讓學生深入了解數字、數量、圖形、圖像等要素之間的關系，使其能夠在特定的情境或條件下，對數與形進行合理轉換或相互替代，這樣才能用“形”解決相關的“數”的問題，或者用“數”表示相應的“形”的問題.

（二）突出數形之間的互換性

另外，教師引導學生運用“數形結合思想”探究知識或解決問題時，需要遵循數形之間的互換性原則，要引導學生用數字、數量關系等數學語言描述圖形，揭示圖形特征等，用圖形、圖像、模型等形象化方式，表示抽象的數學規律、數量關系等，使其通過對數與形進行合理轉化，加深對數學知識的認識，同時，掌握“數形結合思想”的運用方法.

四、“數形結合思想”在小學數學中的應用措施

（一）巧用“數形結合思想”，探究數學知識

在數學復雜概念、抽象規律教學過程中，教師為了降低知識的理解難度，提高學生的學習效果，可以應用“數形結合思想”開展教學活動，引導學生運用圖形解析算理，用數量表示圖形知識等，以此來加深他們對數學知識的理解.

1.借助圖形，揭示數學算理

小學數學教材中的知識通常按照從易到難的遞進順序編排，學生隨著學習內容的不斷進階，要掌握的知識也更加抽象，更加復雜.比如，在第二階段的數學學習中，學生需要從簡單的整數運算知識過渡到分數、小數運算知識.對此，教師為了讓學生能夠更加快速地掌握較為抽象的數學算理，使其能夠真正理解分數運算或小數運算的內在邏輯，提升他們的運算能力，可以應用“數形結合思想”，借助直觀圖形，開展算理形象化探究活動.

針對上圖內容，教師還需要引導學生進行深入探究，使其通過分析圖形的移動與組合，理解同分母分數相加的算理，即相同分母的分數相加，其分母不變，只相加分子.教師引導學生將算式轉化成圖形，能夠使其更加直觀地理解數學算理，進而提高數學運算能力.

2.以數助形，揭示圖形知識

圖形本身具有直觀、形象的特征，對于學生來說，他們也更容易掌握圖形的特點、圖形計算等知識，但是，他們可能會在理解和描述圖形的性質、圖形的規律等方面遇到困難.對此，教師可以引導學生運用“數形結合思想”，借助數字或數量關系等“數”的表示方法，對稍有難度的圖形知識進行分析與研究，使其能夠運用理性思維、數學語言，客觀描述與圖形相關的理論、性質、規律等，進而深化學生對圖形知識的理解，使其進一步體會“數形結合思想”.

以人教版小學數學四年級下冊第七單元“圖形的運動（二）”教學為例.針對此單元“圖形的平移”知識，教師可以借助“數”的語言，引導學生探究平移的性質和規律.例如，教師先在多媒體課件中展示一幅格子圖，圖中有一個用三角形和不規則圖形組合而成的“火箭”圖形，每個小方格邊長為1cm.然后，教師引導學生將該圖形進行分割和移動，通過移動使其重新組合成一個長方形，就可以根據方格計算長方形的面積了.對此，學生需要將圖形分割成一個三角形和一個不規則圖形（如圖3），而后將三角形向左邊平移一定的格數，將不規則圖形補充完整，從而得到長方形.

之后，教師讓學生對三角形的移動過程進行描述，比如，三角形向左平行移動5個方格；三角形向左平移5厘米等.學生用數學語言和數字對平移方向、平移距離進行描述，能夠理性呈現圖形的平移規律和平移性質，從而深刻理解圖形的平移知識.

（二）運用“數形結合思想”，解決數學問題

教師為了提高學生知識實踐的能力，可以運用“數形結合思想”，創建豐富多樣的解題活動，讓他們通過解答以數解形問題、借形解數問題、數形互譯問題等，增強思維的靈活性、敏捷性、邏輯性等，同時，提高解決數學問題的效率.

1.設計以數解形問題

教師為進一步強化學生的“數形結合思想”，使其能夠更加快速地厘清數學問題的解決思路，更加精準地用數學語言闡述問題的結論，可以圍繞“以數解形”設計數學問題.針對此類問題，教師需要引導學生自覺探究與題中圖形或圖像相關的數字或數量關系，讓他們對“形”賦予相應的“數”的含義，用“數”客觀描述或表示“形”，從而快速探索出問題的答案，提高以數解形的能力.

以人教版小學數學五年級上冊第二單元“位置”教學為例.此單f88098f3e64eaf5d536e4a011c7071bd元包括行、列、數對的概念，以及用一組數對表示一個位置等知識.對此，教師可以圍繞“數對”知識設計以數解形問題，讓學生通過自行解答問題，更加扎實地掌握用數對表示位置的方法.例如，教師先將班級座位以行列示意圖的方式呈現在大屏幕上，引導學生先理解“行”和“列”的概念.然后，教師指導學生掌握用數“行”和數“列”的方式確定某個人的位置，以及用數對方式表示示意圖中的對應位置的方法.之后，教師再設計一道問答題，讓學生運用所學方法自行確定某個人在示意圖中的位置.例如，教師讓學生用數對方式表示班長在班級中的位置.對此，學生需要將班級座位與示意圖相關聯，確定行與列的方向和數量，而后找到班長座位在示意圖中的對應位置，同時，確定行數和列數，找到行與列的交叉點.通過以上講解，學生能夠順利用（列，行）數對方式，表示班長所在的位置.學生通過解答上述問題，能夠將圖像信息科學轉化成數字信息，形成較強地應用“數形結合思想”解題意識，同時提高解題的效率.

2.設計數形互譯問題

教師除了設計“數”與“形”單方面轉化的問題之外，還可以設計兩者互譯類問題，讓學生先根據已知的數量關系、數字信息等，將其轉化成相應的圖形或數據模型，把復雜的數學問題進行直觀化呈現，然后對直觀圖像進行深入解析，找到相關的數學規律，厘清數學解題的思路，探索出更加便捷的解題方法.之后，學生根據已有經驗對圖形進行測量和計算，或者對數據模型進行分析和推測，而后對其進行一次轉化，用數學語言表示問題的結論.教師設計數形互譯問題，既可以使學生更加深入地體會“數形結合思想”，又能借此提高他們靈活、快速解決數學問題的能力.

以人教版小學數學六年級上冊第八單元“數學廣角──數與形”教學為例.此單元要求學生掌握運用“數形結合思想”，通過相互印證解決數學問題的方法，知道與“形”有關的問題中包含著“數”的規律，而“數”的問題可以用“形”的方式輔助解決.另外，學生需要感受以形解數的直觀性和簡潔性，體會以數助形的邏輯性、抽象性.對此，針對上述課程目標，教師可以仿照單元案例，圍繞某個知識點設計與之相似的數形互譯問題.例如，教師圍繞“可能性”知識，設計如下問題：在四個完全相同的乒乓球上分別標注2，3，4，5四個數字，然后將它們放入一個不透明的箱子中，第一次任意抽出一個乒乓球，不再放回，第二次再任意抽出一個乒乓球，問兩次抽出乒乓球的數字之和是7的可能性為多少？對于這個問題，學生可以根據已知條件，繪制數學模型（如圖4），清晰表示兩次分別抽到某個數字的具體情況.

結 語

綜上所述，對于小學數學教學而言，教師若想進一步增強課程教學的靈活性、探究性，快速發展學生的思維能力，提高其知識理解和知識應用的水平，可以將“數形結合思想”融入教學過程之中，讓學生在數和形靈活轉化的同時，加深對抽象知識的理解，形成較強的解決數學問題的能力.

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