基于非線性動力學模型的PMLSM自適應趨近律滑模位置控制

摘 要：

為了解決摩擦力、定位力、參數失配和外部擾動等不確定性因素影響永磁直線同步電動機（PMLSM）位置跟蹤性能的問題，提出基于非線性動力學模型的自適應趨近律滑模控制（ARLSMC）方法。由于定位力和摩擦力是系統中主要的非線性動力學因素，且其模型參數會隨PMLSM動子位置而變化，因此設計基于非均勻有理B樣條（NURBS）函數的精確模型，為電機控制系統設計提供模型基礎。其次，設計ARLSMC方法抑制不確定性因素對系統的影響，ARLSMC中所采用的自適應趨近律可以隨位置誤差大小實時變化，能夠在提高收斂速度的同時減小系統抖振，提高位置跟蹤精度。為進一步增強系統對于不確定性的魯棒性，設計滑模擾動觀測器（SMDO）實時估計擾動值并將估計值前饋補償到ARLSMC的控制律。最后，通過仿真和實驗驗證本文方法在提高PMLSM伺服系統的位置跟蹤性能和魯棒性能方面的可行性和有效性。

關鍵詞：永磁直線同步電動機；不確定性因素；非線性動力學；自適應趨近律；滑模擾動觀測器;魯棒性

DOI：10.15938/j.emc.2024.08.006

中圖分類號：TM351

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）08-0050-11

Adaptive reaching law sliding mode position control of PMLSM based on nonlinear dynamics model

JIN Hongyan， MA Kuo， LEI Zijia

（School of Electrical Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China）

Abstract：

In order to solve the problem of uncertain factors such as friction， cogging force， parameter mismatch， and external disturbances affecting the position tracking performance of permanent magnet linear synchronous motor （PMLSM）， an adaptive reaching law sliding mode control （ARLSMC） method based on nonlinear dynamic model was proposed. Due to the fact that cogging force and friction are the main nonlinear dynamics in the system， and their model parameters vary with the position of the PMLSM rotor， an accurate model based on non-uniform rational B-spline （NURBS） functions was designed to provide a model basis for the design of motor control systems. Secondly， the ARLSMC method was designed to suppress the influence of uncertainty factors on the system. The adaptive convergence law used in ARLSMC can change in real time with the size of position error， which can improve convergence speed while reducing system chattering and improving position tracking accuracy. To further enhance robustness of the system to uncertainty， a sliding mode disturbance observer （SMDO） was designed to estimate the disturbance value in real time and feedforward compensate the estimated value to the control law of ARLSMC. Finally， feasibility and effectiveness of the proposed method in improving position tracking performance and robustness of the PMLSM servo system were verified through simulation and experimentation.

Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; uncertain factors; nonlinear dynamic; adaptive reaching law; sliding mode disturbance observer; robustness

0 引 言

高端制造業的飛速發展和智能制造升級需求的日益強烈對高端數控機床產生了龐大需求，伺服電機作為數控機床的動力源，更是重要的部件［1］。同傳統的旋轉電機驅動數控機床相比，采用永磁直線同步電動機（permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM）驅動的數控機床取消了滾珠絲杠和齒輪等中間傳動環節，能夠獲得更大的加、減速度，更高的精度和可靠性，已成為精密驅動和傳動領域的研究熱點［2］。然而，由于直接驅動傳動系統取消中間傳動環節，實現源動力與負載的剛性耦合，導致非線性摩擦力、端部效應、外部擾動、齒槽效應等不確定性因素會直接作用于電機動子上，從而影響控制精度［3］，導致直線電機驅動的數控機床難以滿足高精度加工要求，此是目前高端裝備制造領域所面臨的瓶頸問題。

為實現PMLSM的高精度位置跟蹤控制，國內外學者進行了大量的研究以抑制上述不確定性因素對系統的影響，其中滑模控制（sliding mode control，SMC）以強魯棒性的優點得到廣泛關注［4］。然而，由于不連續切換所引起的抖振問題也帶來了控制精度的降低。文獻［5］提出一種將恒比例率趨近律與指數趨近律相結合的SMC方法，顯著削弱了抖振，但該趨近律較為復雜。文獻［6-7］分別設計了自適應反推SMC和自適應模糊分數階SMC方法，將影響系統跟蹤精度的參數變化、外部擾動、摩擦力和推力波動等因素視作總不確定性擾動，并設計強魯棒性控制器對總不確定性的上界值進行抑制，此類控制方法雖然簡化了系統模型，削弱了抖振現象，但對系統影響因素如摩擦力、參數變化、推力波動等考慮略微，缺乏機理性的研究，很難進一步提升控制效果。

在PMLSM伺服系統中，摩擦力和定位力極大地影響位置跟蹤精度，若對其進行詳細建模并控制，則跟蹤效果將會顯著提升［8］。傳統靜態摩擦力模型由庫倫摩擦、粘性摩擦和Stribeck摩擦構成，根據速度值評價摩擦力［9］。盡管該摩擦模型應用廣泛，但在零近速度區域和預滑動區域無法很好地描述摩擦力的性質。文獻［10-11］分別提出Stribeck二元摩擦模型和優化的LuGre動態摩擦模型，并通過辨識驗證該方法可以更準確地描述非線性摩擦力，從而提高系統的精度。此外，定位力是限制直線電機控制性能的一類重要干擾力，通常包含齒槽力和端部力等［12］。定位力的存在會造成推力波動，不利于電機獲得更好的控制性能。由于理論上定位力具有周期性變化特性，因此通常表示為如文獻［13］所示的傅里葉級數模型。然而，在實際中直線電機中不同永磁體的間距和強度并不完全相等。因此，定位力通常不是理想的周期函數，其非周期性成分對系統的影響依舊不容忽視［14］。

因此，為削弱PMLSM伺服系統中摩擦力、參數失配和外部擾動等不確定性因素對位置跟蹤精度的影響，提高系統的位置跟蹤精度和魯棒性能，本文設計基于非線性動力學模型的自適應趨近律滑模控制（adaptive reaching law sliding mode control，ARLSMC）方法。首先，基于非均勻有理B樣條曲線（non-uniform rational B-spline，NURBS）建立LuGre動態摩擦模型和改進非周期定位力模型。其次，采用ARLSMC方法抑制不確定性因素對系統的影響，利用自適應趨近律削弱抖振提高收斂時間。為進一步提高魯棒性，設計滑模擾動觀測器（sliding mode disturbance observer， SMDO）估計不確定性并補償。最后，通過仿真和實驗對摩擦力和定位力模型進行辨識，并驗證本文方法對于提高PMLSM伺服系統跟蹤精度和魯棒性能的有效性。

1 PMLSM非線性動力學模型

在建立PMLSM數學模型時，通常忽略電機的渦流損耗、磁滯損耗以及磁路飽和等因素［15］。PMLSM的定子電壓方程為：

4 系統仿真與實驗分析

為驗證所提出方法的有效性和可行性，利用Links-RT實時仿真平臺搭建系統的硬件裝置進行測試實驗，包括上位機、實時仿真機、PMLSM、驅動器等硬件，實驗平臺如圖3所示，PMLSM主要參數如表1所示。

4.1 摩擦力、定位力辨識與SMDO驗證

首先，由于摩擦力不能直接測量，因此采用文獻［8］中的方法對其進行辨識。改進LuGre摩擦模型中的靜態參數可通過測量勻速下的摩擦力和速度之間的關系計算，通過MATLAB軟件擬合出靜態摩擦參數變化曲線如圖4所示。可以看出，在高速運動區域，軌跡可近似看作直線F1=βx·+Fc，其斜率為黏滯摩擦系數，截距為Fc。圖4中，速度為0所對應的摩擦力為Fs，在直線F2=kx·+Fs上縱坐標Fc上的點對應的橫坐標為vs。因此，最終辨識得到Fc=2.485 N，Fs=4.325 N，vs=0.132 m/s，σ0=3 482。在靜態參數辨識完畢的基礎上，進行動態參數辨識。動態摩擦參數變化曲線如圖5所示。可以看出，參數大小隨著時間和位置的變化而變化，相比于選取固定的參數，更可以體現出摩擦力的靜態和動態特性。

其次，針對系統的定位力，本文設計包含非周期信息的改進定位力模型，并通過最小二乘法進行曲線擬合，得到定位力擬合曲線如圖6所示。通過與實際采用力傳感器測量不同位置下的定位力實測曲線對比可發現，實測曲線的整體趨勢為周期性正弦曲線，但其依然包含非周期性的成分。因此，傳統的周期性的定位力模型無法很準確地對其進行描述，而本文設計的非周期定位力模型方法可以很好地描述定位力隨著位置的非周期性變化，并保持定位力在全局上的周期性特征。此外，可觀察到定位力的幅值在-3.5～3.5 N間波動，是影響電機位置跟蹤性能無法忽視的因素。因此，對其進行精確建模有助于提高PMLSM系統的位置跟蹤精度。

最后，通過仿真驗證本文提出的SMDO對于擾動的觀測效果。由于方法設計時要采用SMDO觀測擾動不確定性，而實際電機運行系統中的擾動是無法測得的，所以無法評價觀測器的性能好壞。因此在仿真中假定式（18）中系統的參數擾動和擾動不確定性Fud是幅值為10、周期為8 s的正弦信號。采用SMDO對其進行觀測，SMDO的仿真參數為l1=l2=5、c1=3、c2=3、μ=5，SMDO觀測曲線如圖7所示。可以看出，采用SMDO可以很好地對擾動進行觀測，觀測曲線幾乎與實際值重合，僅在系統響應初期存在一定波動，但很快便準確跟隨觀測。

4.2 ARLSMC驗證實驗

為驗證ARLSMC方法的有效性，首先在標稱條件下，對電機給定幅值和周期變化的梯形位置指令，用以測試所提出方法在點對點位置跟蹤上的有效性。將ARLSMC方法與文獻［5］的自適應反推滑模控制（adaptive backstepping sliding mode control， ABSMC）和文獻［6］的自適應模糊分數階滑模控制（adaptive fuzzy fractional-order sliding mode control， AFFOSMC）方法進行對比實驗。ARLSMC中參數選取為c=15、k=36、κ=0.35、γ=1.5、ρ=30。采用ABSMC、AFFOSMC和ARLSMC 3種控制方法的位置響應曲線和位置跟蹤誤差曲線如圖8和圖9所示。從圖8所示1.5 s處的細節圖中可以看出，在梯形信號的尖點處，3種方法均出現一定的振蕩，但ARLSMC方法相對平穩。此外，對比圖9的誤差曲線可以看出，在梯形信號的轉折點處，誤差均會變大，這是速度突變以及系統慣性等原因造成的。

為更清晰地看到標稱條件下3種控制方法的位置跟蹤性能，給出梯形信號下主要性能指標對比如圖10所示，主要列出位置跟蹤誤差的平均值、中值和極值。可以看出，ARLSMC方法控制下的系統位置跟蹤誤差的平均值為2.23 μm，同ABSMC和AFFOSMC方法相比，精度分別提高了47.0%和22.8%。上述分析表明，PMLSM在標稱條件下進行點對點運動時，所提出的ARLSMC方法能夠保證系統具有良好的位置跟蹤性能。

為驗證方法的跟隨性能和抗擾性能，對系統給定位置指令為幅值10 mm、周期2 s的正弦信號，該信號連續且平滑無尖點，同時，在4.5 s時對系統施加50 N階躍負載擾動。采用3種控制方法的位置響應曲線和對應的位置跟蹤誤差曲線分別如圖11和圖12所示。可以看出，3種方法均能嚴格跟蹤輸入的正弦位置指令，且位置跟蹤誤差均保持在5 μm以下。

對比圖12中的3條曲線可以看出，ABSMC的位置跟蹤性能較差，在4.5 s受到擾動時誤差增大到5.7 μm。而采用AFFOSMC和ARLSMC兩種方法的位置跟蹤誤差均較小，約為2.8和2.3 μm，但本文采用的ARLSMC的初始響應速度快于AFFOSMC。這是由于AFFOSMC中智能算法的存在會影響系統的計算速度。

此外，可觀察到采用ARLSMC方法的曲線更為光滑，這是由于ARLSMC中采用的自適應趨近律函數可根據誤差實時調節，自適應權衡抖振幅度與趨近速度之間的關系，從而減小滑模控制中不連續切換函數所造成的抖振問題，進而減小位置跟蹤誤差。正弦信號下主要性能指標對比如圖13所示，可以直觀地看到，ARLSMC方法的位置跟蹤誤差最小，其平均值可達到1.67 μm，滿足PMLSM伺服系統的高精度要求。因此，ARLSMC方法可以很好地克服負載變化對系統的影響，使系統具有較強的魯棒性。

4.3 SMDO效果測試實驗

為進一步提高系統對不確定性因素的抑制能力，引入SMDO進行有效觀測。在選擇SMDO的參數時，綜合考慮了數控機床應用場景的具體工況、機床性能要求、實時性需求以及與ARLSMC方法相結合的協同性因素。在選擇SMDO的觀測增益和切換增益時，一方面要確保參數足夠大，以便能夠準確、快速地跟蹤和補償擾動信號，而后快速切換提高收斂速度；另一方面也要避免觀測增益和切換增益過大導致的噪聲干擾、系統不穩定和收斂速度慢的問題。因此，在實驗中通過反復調試來選擇參數，最終選取為l1=l2=2、c1=6、c2=3、μ=5。首先，實驗中在PMLSM的動子工作臺上放置重物，使實際動子質量為標稱參數的2倍，以實現參數失配條件。其次，給定幅值和頻率均變化的正弦信號，該信號在4 s時發生突變。最后，將ARLSMC和基于SMDO的ARLSMC方法進行對比，以測試其在參數失配條件下的魯棒性能。采用SMDO得到的不確定性觀測曲線如圖14所示。圖15為采用傳統趨近律的SMC方法、ARLSMC和基于SMDO的ARLSMC 3種方法控制下的相平面軌跡響應圖。

從圖15可以看出，自適應趨近律的設計可以明顯提高系統狀態軌跡到達滑模面的時間，同傳統SMC相比，收斂速度更快，且收斂精度更高。此外，2種方法下的位置響應曲線和位置跟蹤誤差曲線分別如圖16和圖17所示，主要性能指標對比如圖18所示。從實驗數據中可以看出，在引入了SMDO之后，系統的位置跟蹤精度得到了一定的提高，在參數失配的條件下，采用基于SMDO的ARLSMC方法控制的系統位置跟蹤精度仍然較高，其誤差平均值僅為1.98 μm。這表明利用SMDO估計系統不確定性值并采用ARLSMC對其進行抑制，對于提高系統的魯棒性具有重要的作用。

5 結 論

為克服PMLSM伺服系統中的摩擦力、定位力以及參數失配等因素，提高位置跟蹤精度和魯棒性，提出基于SMDO的ARLSMC方法。通過仿真與實驗，可以得出：

1）基于NURBS的改進LuGre摩擦力模型和非周期定位力模型可以較為準確地描述系統的摩擦力和定位力特性，對系統動力學模型的建立具有一定的意義。

2）ARLSMC采用自適應趨近律可以根據系統的位置跟蹤誤差實時改變控制器參數，能夠在提高收斂速度的同時保證系統位置跟蹤精度。

3）利用SMDO對不確定性進行估計，將估計值補償到ARLSMC的控制律中，有利于進一步提高系統的魯棒性。

參 考 文 獻：

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（編輯：邱赫男）

收稿日期： 2024-02-17

基金項目：遼寧省博士科研啟動基金計劃項目（2022-BS-177）；遼寧省教育廳基本科研面上項目（LJKMZ20220473）

作者簡介：金鴻雁（1993—），女，博士，講師，研究方向為電機控制、智能控制等；

馬 闊（2001—），男，碩士研究生，研究方向為直線電機及其控制；

雷滋稼（2000—），男，碩士研究生，研究方向為直線電機及其控制。

通信作者：金鴻雁