論代數運算的基本原理及其思維進階模式

【摘 要】

代數運算是代數學習的核心部分，對學習者能否全面形成代數認知有著關鍵的影響.代數運算能夠在本質上反映出代數系統內部元素之間的封閉性相互作用.通過對代數運算的相關理論進行闡述，在重新梳理代數運算的概念內涵與意義的基礎上，從三級構建原則和兩種數學結構等方面明確了代數運算的基本原理，同時建構以思維映射為內在核心的代數運算思維進階模式，提出代數運算的思維進階過程包括“代數系統的抽取→思維映射的調用→運算模型的建立→代數系統的完善”等環節，并給出合理化教學建議.

【關鍵詞】 代數運算；構建原則；基本原理；思維進階模式

1 問題的提出

代數運算是代數學習的核心部分，對學習者能否全面形成代數認知有著關鍵的影響.在數學學科中，代數運算從屬于“數與代數”這一基本領域，并且貫穿于該領域各個分支的內容之中（如數與式、方程與不等式以及函數）.在代數系統中，代數運算能夠在本質上反映出該系統內部元素之間的封閉性相互作用，并且極大地提高整個代數系統的復合程度和應用價值.在代數運算的認知基礎之上設計并實施諸多數學研究有著重要的現實意義.

從知網上的現有數據來看，絕大多數的研究者僅僅將代數運算作為實施研究的基本工具，在“個體已有良好的代數運算基礎”這一基本事實的前提下展開工作，而很少將代數運算自身視作為主要的研究對象［1］.若教師忽視代數運算認知及思維的一般形成過程，只是一昧地關注代數運算對其他數學知識起到的作用，將會使個體的數學學習陷入嚴重的誤區之中.學習者會由于不理解代數運算的數學結構而導致諸多誤區的發生，如在進行元素之間的混合運算時，往往會出現法則的混淆使用的情況，甚至會因“讀不懂題目”而無法求解常規的代數運算題目等［2］.那么，為了解決在實際教學中出現的諸多狀況，教師應當明確以下問題：（1）代數運算的基本原理是什么？（2）代數運算有著怎樣的思維進階模式？（3）教師應如何有效地實施代數運算的教學？

2 代數運算的概念內涵與意義

運算是數學學科中具有操作性的對象，是將給定的系統中已知量的各種可能組合，變換為系統內部新的量的行為.而代數運算指的是在代數系統的內部元素之間所存在的運算，是依賴于代數系統而存在的特殊數學范疇，使得代數系統從混亂無序走向條理有序，通常有加法、減法、乘法、除法、乘方以及開方等六種基本組成部分［3］.其中，加法是所有代數運算的基礎，本意是指同一代數系統中的元素在直觀數量上的重復式積聚，而在復雜性較高的代數系統中，加法有著更為抽象的普遍性含義，通常用來標記該系統中元素之間所存在的最為基礎的代數運算.加法對其他代數運算的影響有以下兩個方面的具體表現：一方面，乘法由某一相同元素加法經過有限次累積而生成，而乘方又是通過某一相同元素乘法的有限次累積而得來的；另一方面，減法、除法和開方分別是在加法、乘法和乘方的基礎上，經由思維的逆向推理而來，因此，減法與加法有著必然的直接關聯，而除法和開方則是以間接的方式與加法產生聯系.

由于代數運算是發生在代數系統自身內部的操作過程，因此其重要特征之一便是代數運算的作用對象會基于運算結果存在著不同程度的順序性，主要包括三種：完全無序性、部分有序性和全局有序性.完全無序性又稱作可交換性，是指對于給定的一組作用對象而言，其運算結果是獨立于其各個分量元素的順序之外且唯一的.具有這種特性的代數運算能夠對作用對象的輸入順序提供最高程度的容錯率，為數學思維的調取與應用提供極大的便捷與靈活度.而部分有序性和全局有序性則是對組成作用對象的各分量元素的排列順序提出了較高的要求.其中，部分有序性允許作用對象中的部分元素在代數運算的某些實施階段中存在著暫時性的無序化，當這一階段結束要進入到新的過程時，作用對象由原本的部分元素無序化變為整體上的序列化；全局有序性便是指作用對象的排列順序決定了代數運算實施過程的全部階段以及運算結果的具體形式，同一組元素在排列順序上所具有的差異也必然導致運算結果在實質上的異化.

此外，代數運算在數學問題中的重要應用意義，在于能夠從數量化的角度揭示多樣化系統中元素之間具有共通性的代數關系，進而為刻畫元素間所存在的交互作用提供規范化模式［4］.雖然數學問題在情境的表現形式上有著多樣性的特點，但是在其求解過程中所調用的數學原理卻往往具有高度的普適性.從微觀角度來看，在具體的系統之中，元素之間的代數關系內隱于元素的本質屬性之中，由系統及元素作為具象化的客觀事物而存在的個性化特征所決定；而從宏觀角度來看，雖然不同的系統在元素的來源和應用領域上存在著必然差異，但是當去掉表現形式的區別并用同種編碼方式為元素命名時，其中所蘊含的代數關系以及支持其內部正常運轉的數學原理卻具有同構意義下的共通之處.當某一系統中的元素間關系能夠被代數表征時，該系統便具有了可視化的“系統—元素—關系”三維結構，這種三維結構即可被視作通常所言的代數系統.由此可得，代數系統是現實的復雜系統在代數關系上的分支，則代數運算便是支撐這一分支有效生成的數學依據.

3代數運算的基本原理

3.1代數運算的三級構建原則

代數運算的構建與代數系統有著極為密切的聯系，并且表現出兩面性的特點，某一特定的代數系統既限制了代數運算的作用范圍，又憑借自身優勢為代數運算創造了發展方向［5］.因此，代數運算的構建原則按照抽象程度的不同，有著以下三個等級的劃分，由低階到高階分別是基于直觀經驗（r1）、基于形式邏輯（r2）和基于逆向關系（r3）.

第一級是基于直觀經驗.一般而言，直觀經驗是個體在與外界環境進行信息交互的過程中所得到的直接結論.個體在面對外界環境中的某一真實問題情境時，需要先從中抽離出必要的數量關系，明確與表征數量關系有直接促進作用的關鍵元素，同時以問題情境為依據，分析元素所適配的代數系統，借助兼具形象化和規范性的數學符號，表示出由關鍵元素和數量關系共同組成的二維結構.而當情境中的數量關系將關鍵元素指向代數系統中的某一特定值時，表示數量關系的數學符號又具備了數值映射的功能，這種映射便是初步的代數運算.因此，在具象化的代數系統中，代數運算多是僅依托于直觀經驗或者是以直觀經驗為起點來生成的.在這一過程中，直觀經驗的獲得要求個體有著一定的數感，能夠從問題情境中的諸多信息中剖析出必要的數量及數量關系，使其上升為代數元素間的對應關系，因而直觀經驗的作用便在于使得原本紊亂的問題情境變得良好有序，提高了情境的層次化程度.

第二級是基于形式邏輯.在一般情況下，形式邏輯存在于由抽象化的數學元素組成的代數系統中.由于擺脫了純粹的具象數字符號的限制，形式邏輯的最大優點便是能夠盡可能地允許作用元素在表征形態上發生所有合理的變化.形式邏輯雖然是直觀經驗在思想方法上的順向類比式遷移，但是由于借助了被人為賦予語義的抽象性數學符號，因而與直觀經驗相比，在語言表征上有著更高的廣泛性，使得某些原有的代數運算實現由低階向高階過渡，從而獲得功能在適用性上的提升［6］.通常來說，形式邏輯能夠從以下兩種方面影響代數運算的定義與表達：一是個體在求解大量的相似性問題時，可以對基于直觀經驗而產生的代數運算實施直接性的“去意義化”擴充，用不含任何特殊指向含義的字母符號暫時性地代替原有的運算對象，進而通過對字母符號的泛化式處理來為代數運算增添新的可能性推廣方向；二是當真實性問題中的具象數字符號對代數運算過程有不可避免的錯誤性導向時，個體應適時地擺脫運算對象的本質內涵對運算的束縛，將運算對象的表征形態視作主要矛盾，用抽象字母符號代替具象數字符號，實現問題的有效求解，這種對原有代數運算進行的弱化式處理同樣是代數運算得以生成的必不可少的方式.

第三級是基于逆向過程.對于代數運算而言，逆向過程指的是以運算的生成結果為起點而向運算的初始源頭回溯的過程，同時也是學習者在學習代數運算時所必須經歷的思維過程.逆向過程是在直觀經驗和形式邏輯的基礎上存在的高階原則，將已知代數運算的全部過程作為整體化思維對象，通過對其進行概念分離、關系反演、作用整合等一系列操作來獲取新運算的定義.由于逆向過程是對原有代數運算的反向推演，需要學習者主動地變更認知視角來完成，因此其與上述兩種原則的一個重要區別便是有著獨特的人為性，學習者在認知時進行反轉思維的自覺程度，能夠極大地影響著代數運算的逆向進展水平.

3.2 代數運算的數學結構

代數運算是存在于代數系統中獨特的數學對象，重在凸顯元素之間的相互變換關系，包括將原有的靜態元素轉化為可操作的動態對象，將離散的數學元素有序地整合起來，使得代數系統的邏輯結構更為嚴密.根據生成方式與作用效果的不同，代數運算可分為單一代數運算和復合代數運算兩種基本類型，單一代數運算是復合代數運算的結構基礎，而復合代數運算是在單一代數運算在思想、方法和功能基礎之上的應用與推廣.

3.2.1 單一代數運算的數學結構

單一代數運算（以下簡稱為“單一運算”）指的是在代數系統中能夠明確該系統的基本序列化結構的代數運算，由橫向表征結構和縱向邏輯結構共同作用而生成，有著絕對的基礎性.單一運算是在代數系統M內部基于元素自身性質而生成的單值映射，而元素自身性質的多樣性又使得單一運算發生在某個特定子集M*（M*M）之中.

首先，從橫向角度來看，單一運算由于反映了系統內元素之間的交互作用，因此具有極強的二元性，以二元數組作為基本的作用對象得以實現，即在操作過程中，單一運算只能一次性地對兩個元素施加作用，若記單一運算為f，任取a，b∈M*，則有f（a，b）=x，其中x∈M*，因此可得，f將二維系統M*×M*M*2映成了一維系統M*自身.而當作用對象為多元數組時，單一運算在橫向角度具有了較強的復合性，記作F，應首先從這種由多個元素整合而來的單一序列結構（a1，a2，…，an）中，依據抽象程度和元素表現形式等特征分析出可直接進行代數運算的二元數組，不妨記作（a1，a2），稱為初始數組，并對其實施代數運算f，得到f（a1，a2）=b1；其次進行代數運算f（b1，a3）=b2，…，fkf（bk－1，ak+1）=bk，k=2，3，…，n－1，將原本的代數運算F（a1，a2，…，an）轉化為由多重二元數組疊加而成的復合結構，由淺入深地對每一層二元數組進行代數運算，從而獲得整個多元數組的運算結果.因此，單一代數運算的橫向表征結構有如下形式：

f：（a，b）→x，

M*2→M*;

F：（a1，a2，…，an）→x，n=3，4，…

M*n→M*，

F=f（bn－1，an），f1f（a1，a2）=b1，fkf（bk－1，ak+1）=bk，k=2，3，…，n－1.

另外，單一運算從產生、發展再到模型化的全過程，都是在學習者內部認知的主動性參與下所完成的.因此，三級構建原則為學習者對單一運算的認知活動提供了策略性指引，是支撐單一運算得以生成的本質依據；而單一運算反過來則是多種構建原則相互協調配合的自然產物，在運用過程中有著顯著的演繹推理的特點.從縱向角度來看，代數系統M*構成了單一運算f的作用域，為單一運算f提供了實施環境；而將連接輸入值和輸出值的一系列構建原則按照先后順序排列起來便構成了單一運算f的邏輯向量v，即v=（r*1，r*2，…，r*m），其中，r*k（k=1，2，…，m）是對三級構建原則r1～r3的多次單值調取與排列.邏輯向量v的作用在于能夠真正地建立起原象集M*2與象集M*的實質性聯系，是單一運算f的主要構成要素.在代數系統M*與邏輯向量v的共同作用下，單一運算的縱向邏輯結構也得以明確，具體如下：

f=（M*2;v;M*），v=（r*1，r*2，…，r*m）.

3.2.2 復合代數運算的數學結構

在代數系統中，復合代數運算（以下簡稱為“復合運算”）通常是指由多種單一運算進行嵌套而成的具有層次性的高階運算.由于每一層級都與某種單一運算相對應，且在解題過程中所具備的功能是決定單一運算所處層級的唯一標準，因此單一運算的排列順序在復合運算的定義過程中有著較高的靈活性.雖然復合運算是由單一運算整合而來，但是與單一運算相比，復合運算的突出現實意義在于實現了作用對象的概念外延擴大化，使得代數運算的定義與調用不再受限于原始的代數系統中的基本元素，而是將由單一運算以及與之相適應的基本元素共同組合而成的臨時性整體對象也納入其作用范圍之中.從數學本質的角度來看，復合運算可以遵照某種事先給定的嚴格秩序而進行運轉，有著分步實施、有序進行的程序式特點，能夠在代數系統中的基本元素的觸發下，經由一系列的自動化指令而實現.

從宏觀上看，復合運算與單一運算有著一致的運作原理，均是在滿足封閉性的條件下將代數系統中的二元數組變換為同一系統中某一元素，從而揭示了代數系統的元素之間的邏輯關系，同時豐富了代數系統自身的結構；而從微觀上看，組成復合運算的一系列單一運算以“首尾相接”的鏈式結構排列，給出的二元數組便是這一結構的運作觸發器，當與最內層的單一運算相適配時，二元數組能夠觸發復合運算內部的所有單一運算有序實施作用.因此，若記復合運算為G，記其內部的單一運算序列為{g1，g2，…，gn}，記代數系統為M*且內部二元數組為（a，b），則有G（a，b）=x，a，b，x∈M*，具體結構如下所示：

G：（a，b）→x，

M*2→M*，

G=∏ni=1gi=gn（…（g1（a，b）））.

鏈式結構為：輸入（a，b）觸發g1（*）自動引發g2（*）自動引發…自動引發gn（*）x.

由上述分析可得，學習者認知復合運算的過程分為三個階段，具體如下：

第一階段，復合運算的內部結構被放大，且在學習者的認知中，復合運算被視作是由一系列不連續的單一運算所構成的集合.因此，在這一過程中，由基本元素構成的二元數組一經給定，便自然觸發復合運算的運作機制，使得處于最內層的單一運算被調取并實施作用.

第二階段，上一層的單一運算在得到結果的同時，將所得的運算值輸送至下一層的單一運算，作為其作用對象，進而調取該運算，在這一過程中，學習者為原本零碎的單一運算增加了有機關聯，使得復合運算在內部上呈現為連續且有序的鏈式結構.

第三階段，學習者在完成最外層的單一運算后，必然要經歷使用全局視角來審視復合運算的過程，淡化復合運算的內部鏈式結構，而將其視作為宏觀抽象的整體化表征，在最初給定的基本元素以及最終所得結果之間建立對應關系.當這種對應關系被學習者以“原象—映射—象”這一結構進行可視化表出之后，復合運算便以兼顧宏觀表象與微觀形式的二維結構存在于其認知之中.

4 代數運算思維進階的相關范疇及其模式

4.1 相關范疇

與代數思維相比，代數運算思維更加關注了代數系統中元素間數量關系以及相互作用的抽取與表征，同時關注了代數系統自身結構的可視化處理［7］.代數情境和代數運算思維映射是影響代數運算思維發展方向的主要范疇.其中，代數情境是指保留了代數元素和代數關系的具體問題情境，代數運算思維映射則是指發生在學習者認知內部的思維映射，將模糊化的觀念性元素映射為明確化的數學思維對象，因此，這是代數運算思維的具象化.代數情境的復雜程度能夠直接決定代數系統是否得以順利抽取和表征，而代數思維映射的調用狀況成為決定代數運算能否得以有效生成的最關鍵因素.

代數系統依賴于代數情境而產生，并且因代數情境的類型不同而有所差異.代數元素是從原有問題情境中抽象而來的個體化的數學模型，是代數系統的主要組成成分，通常可以借助字母式的數學符號來表示.代數情境能夠為符號化的代數元素賦予適應性的意義，使其既具有可以表征數量關系的內涵特點，又具有能夠與其他元素進行關聯整合作用的外部特征，為代數運算的生成與運作提供了必備的物質基礎.而代數關系則是隱含在代數元素之中的抽象性概念，揭示了代數元素之間關聯整合作用的具體表現方式.反之，代數關系的存在將原本離散化的代數元素連接成為有機的整體.因此，代數元素為代數系統提供了外部框架，代數關系又為其增添了內部聯系與支撐，二者共同搭建成代數系統的基本結構.

代數運算思維映射的作用在于能夠促進代數運算得以規范化表達，使得代數運算的思維過程實現從低階層級向高階層級過渡，具體分為以下三種類型：

一是表征映射（σ）.

表征映射產生并作用于代數系統的抽取階段，包括元素表征映射（σ1）和關系表征映射（σ2）.其中，σ1的作用是借助字母符號將情境中的數量名詞表征為能夠獨立傳遞代數意義的對象，使其作為個體單獨地存在于代數系統之中；而由于代數關系是依賴于代數元素的共同聯系而存在的，是元素間的共生屬性，因此σ2的作用便是將上述數量名詞中的代數關系從情境中分離出來，使代數元素之間的關聯完成由模糊化到明確化的實質性轉變.具體如下所示：

σ1：情境中的數量名詞→以字母符號表征的獨立性代數對象.

σ2：情境中數量名詞之間的共生屬性→以字母符號表征的依賴性代數對象.

二是模式化映射（τ）.

模式化映射分為同化映射（τ1）和順應映射（τ2），相比于其他思維映射，其創新之處在于將原有的代數關系進行數理邏輯上的處理，將其中代數性質良好的部分規整為單一運算，同時又將代數性質較弱的關系定義為適應情境的新型復合運算，使得代數關系能夠被賦予模式化的表達.具體如下所示：

τ1：能夠被單次表出的代數關系→具有某種相同模式的單一運算.

τ2：需要被多次遞進式表出的代數關系→適應情境的新型復合運算.

三是結構映射（φ）.

當代數運算與代數情境相一致時，其構建工作便得以有效完成.而結構映射的特殊性便是能夠在此同時為代數系統增加新的代數結構，從而使得其內部邏輯形式更加完善且有條理，因此可表示為：

φ：原有的基礎性代數系統→擴充了結構性質的代數系統.

4.2 代數運算思維的進階模式

代數運算的思維進階是在認知代數運算的操作過程的基礎上，通過解決代數問題而獲得對代數關系的整體認識，進而明確代數系統的內部結構來實現的，主要包括了四個環節：代數系統的抽取→思維映射的調用→運算模型的建立→代數系統的完善等環節［8］.具體如圖1 所示：

在面對現實的問題情境時，學習者的首要任務便是分析并淡化情境中的非代數特征，將其改造為由代數語言所支持的情境，抽取出獨立性元素和依賴性元素，通過調用思維映射σ1和σ2（σ1是一元單值映射，而σ2是二元單值映射），將二者分別對應為代數元素和代數關系，并表征為直觀性的代數符號，得到由“元素+關系”簡單堆疊而成的模糊性代數系統.此后，學習者完全進入數學內部，展開對代數關系的闡明和歸類等工作，從而建立出代數運算的基本模型.

若代數關系具有封閉的元素生成性，則被稱為具有運算性的代數關系；否則便是非運算性的代數關系，只能夠反向作用到代數情境，起到深化概念內涵的作用.對于具有運算性的代數關系而言，“是否能夠被單次表出”是判斷其所屬類型的唯一標準.若真值為T，則該代數關系可以被單次表出，因此調用思維映射τ1，將其中依賴于元素的具體表現形式而存在的“量”的變換作用類比為與認知中已有數集的某種“數”的變換作用，從而轉譯為與之有著相同模式的單一運算模型.反之，若真值為F，則表明該代數關系的元素生成機制是復合性的，必須要經歷多次遞進式的過程才可被表出，則此時調用τ2：先明確該代數關系所具有的全部關鍵性變換作用，分別用代數符號表征，得到由離散的變換作用而組成的集合；再根據封閉性和運算結果的可能形式，反向推演出上述集合的內部嵌套順序，將離散的變換作用群改造為前后相連的有序的鏈式結構，進而構建出與情境相適應的復合運算模型.在這一階段，思維映射的調用類型有三種，分別是：只調用τ1，只調用τ2，以及同時調用τ1和τ2，其中的思維關鍵便是能夠從給定情境中抽取出符合代數思維邏輯的變換作用，并對其施以合乎代數規范的符號表征.

當τ1或者τ2被成功調用后，學習者將思維回歸到代數系統之中，調用思維映射φ：首先，學習者根據代數運算的定義方式，將代數系統劃分為兩個互補的子集——可運算集合和不可運算集合，將可運算集合作為真正的運算作用域，其次，學習者借助代數運算將可運算集合中的全體元素連接成可循環往復的網狀結構，其中，任意元素既是某次運算的起點，又可作為另一次運算的終點.通過反演階段的思維活動的完成，學習者將所得的運算模型整合至代數系統之中，為代數系統賦予了結構式定義，使得原有的模糊性系統發展成為結構完善、性質良好的確定性系統，從而對代數問題情境的認知完成了從元素本位到運算本位的實質性轉變.

5 教學建議

代數運算有著特殊的數學結構，依賴于代數系統而存在，同時有著專屬的普適性規律；另一方面，代數運算是具有高度概括性的數學對象，學習者在認知這一對象的過程中，必然要在多個抽象水平之間經歷數學思維的螺旋式調取，才可獲得對代數運算的實質性理解.因此，教師在促進學習者認知代數運算時，既要兼顧現有學情，又要明確代數運算的基本原理與思維進階模式，從而進行科學合理地教學.

首先，教師要明確構建原則，做到以“構”促學.構建原則是確立代數運算基本結構的重要前提，能夠為學習者認知代數運算提供初步的思維方向.同一代數系統中代數關系的多元性為代數運算帶來了豐富的表現形式，而不同的代數系統在表征形式以及適用情境上又有著重要的區別，使得其內部的代數運算在結構和功能上也均存在著必然差異.因此，教師在設計的過程中，要從目標代數運算出發，反向分析出其來源與本質特點，明確與之相適應的構建原則，從而為學習者確立代數運算的思維起點.另一方面，在教學實施的過程中，構建原則又可為學習者提供基本的思維框架，幫助學習者在認知的過程中進行策略、方向和表征方式上的自我調控.

其次，教師要剖析代數情境，做到以“析”促學.由于剝離了原有問題情境中的諸多非代數因素，代數情境能夠在主體上呈現出完全的代數化，其中最突出的特點便是代數元素的離散化和代數關系的顯式化.因此，教師在設計過程中，要針對具體的代數運算，創設行之有效的真實問題情境，凸顯其中的代數元素和代數關系，在保證趣味性的同時，為學習者提供高度的認知指向性.而在教學組織實施時，教師要精心設計引導性話語，使得學習者的探究情境和解決問題活動能夠緊密圍繞代數元素及代數關系而展開，從而獲得認知代數運算的過程性體驗.

最后，教師要調控思維映射，做到以“思”促學.由于在學習者的認知中，代數運算是以兼具過程性和對象性的雙重模式呈現的，因而其思維過程便結合這一本質特點而展開.教師在設計的過程中，要對代數運算進行深度挖掘，精準定位代數運算思維的生長點以及思維映射的作用之處，進而設置啟發性的問題，促進思維進階發展.同時，教師在教學組織實施過程中，要時刻關注學習者的思維進度，當其能夠自主得到代數關系時，應及時給予相應的思維問題，帶動思維向著自我構建代數運算的方向發展；反之，教師應結合具體學情提供相應的思維支撐，改變問題內容或提問方式，減小學習者與最近發展區之間的距離，進而在師生合作下獲得代數運算的能力，促進思維進階的發展.

參考文獻

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作者簡介 傅海倫（1970—），男，山東曹縣人，教授，博士生導師；主要從事課程與教學論（數學）及數學文化研究.

陳傳林（2000—）男，山東棗莊人，山東師范大學數學與統計學院教育碩士專業學位（學科教學數學）研究生.