例說確定數學教學“序”的多樣化路徑

【摘 要】 課堂教學中以什么順序呈現教學內容直接關系到教學效果的優劣，因此確定教學的“序”是教學研究的重要內容，借鑒教材的“序”的確定方法，以另外四個與數學教學相關的“序”作為教學的“序”進行教學實踐，不僅拓寬教學的“序”的選擇路徑，促進學生的高效成長，而且借助典型案例說明如何依據教學內容和學生的內在需求確定相應的路徑及其操作流程.

【關鍵詞】 教學的“序”；數學史的“序”；知識的“序”；學生認知的“序”；教師心中的“序”

1 問題的提出

在課堂教學設計時，教師常感到困惑的是如何確定數學知識發生、發展的邏輯順序（以下簡稱教學的“序”），以便據此將相關材料“串”起來呈現給師生，這不僅影響課堂的容量和學生的興趣，而且決定學生理解的深度和思維的高度，關系到在有限的時間內能否取得最佳的課堂教學效果，因此需要我們每一位老師認真面對并作出選擇.

2 教學中的另外幾個“序”

可能會有人認為教學的“序”難道不應該就是教材的編寫順序（以下簡稱教材的“序”）嗎？其實不然，因為教材的“序”是教材編寫者根據數學知識的整體結構和中學生的心理特征，吸收廣大數學教育工作者的相關研究成果，結合自己的經驗和預設等綜合因素而給出的安排.同時教材的“序”存在些許不足，比如考慮教材編寫體例的統一性，呈現的順序比較固定，但我們對教學的認識是不斷深入和發展的，教學場景又是多樣化的，當然教材本身也給教師預留了空間，以便教師根據自己的實際教學情況做出調整和創新，這也是教學研究的應有之義.所以拓寬教學“序”的選擇路徑不僅是教材賦予我們的權利與責任，更是教育全面發展對教師的呼喚.筆者認為教學中還存在另外四個“序”，它們可以成為教學“序”的新路徑，分別是：（1）在數學發展的歷史長河中，相關數學知識真實形成的發展順序（以下簡稱數學史上的“序”）；（2）在數學教育教學形態下，建構相關數學知識形成的順序，即指數學相關知識在數學知識體系中的自然邏輯順序（以下簡稱為知識的“序”）；（3）相應年級絕大多數學生個體接受相關數學知識的心理順序，即學生認知的發展順序（以下簡稱為學生認知的“序”）；（4）教師基于自己對相關數學內容已有認知和經驗而形成的“序”（以下簡稱為教師心中的“序”）.下面結合教學案例來介紹自己的探索及思考.

3 “序”的路徑選擇及案例分析3.1 將數學史上的“序”作為教學的“序”

數學發展的過程本質上就是人類認識數學的過程，同時也是數學家們按照一定規律把此認識建構數學大廈的過程，其建構有著相對固定的研究順序（通常稱為“套路”），如果我們借助對過去知識的回顧引領學生將其中的“套路”提煉出來，并以此作為相關幾個模塊共同教學的“序”，這樣不僅符合人類認識數學的規律，加深對數學知識本質和整體結構的理解，而且可以放手讓學生自己獨立研究，體驗數學家的思維過程，觸類旁通，激發學生學習數學的興趣，提高教學效率與效果，減輕學生理解與記憶的負擔，培養學生科學的理性精神.

案例1 《高中數學必修1》集合.

先復習小學和初中階段研究數的“序”：第一步研究數的概念和一些特殊的數；第二步研究兩數的關系（即大小關系，包括相等、大于、小于三種情況）；第三步研究數的運算（滿足一定的運算律）.當研究對象從“數”改成“集合”時，相應的研究順序就非常清楚了：第一步研究集合的概念和一些特殊的集合（空集）；第二步研究兩集合的關系（即包含關系，包括相等）；第三步研究集合的運算（交集、并集、補集）.此“套路”同樣適用于平面向量、復數、空間向量等內容.

3.2 將知識的“序”作為教學的“序”

數學知識的“序”是指數學相關知識在數學知識體系中的邏輯順序，所以數學教學的“序”就是從一點（可以選擇與新知有密切關系的舊知，俗稱為新知的“生長點”）出發，順著知識“生長”的自然順序拾階而上，逐漸展開.

案例2 《高中數學必修2》二面角.

在回顧角的概念的基礎上，選擇異面直線所成角、線面角定義為“生長點”，揭示用平面角刻畫空間角的思想方法，運用類比思想，引導學生將空間問題平面化，即選擇一個與兩個半平面有密切關系的平面角來刻畫二面角的大小，再用一個例題把二面角的平面角、面面垂直的判定及性質定理串在一起，環環相扣，由淺入深，逐步建構新概念.讓學生能從更高的觀點去分析問題、解決問題，思維活動步步深入，充分感受數學思維的合理性與必然性，感悟數學思想的魅力，提高思維能力.

3.3 將學生認知的“序”作為教學的“序”

教材中的“序”與數學真實發展的歷史和時間順序并不完全一致，因為許多數學的發展節點是數學家在漫長的歷史長河中接力思考甚至靈光一現想到的，有時出現多次曲折與反復，如虛數產生的真正原因是來源于“不可約三次方程”的復數形式的實數解，要想在四十五分鐘的課堂上展示人類認識其真實歷程絕非易事，雖然教材已經將其加工成為教育教學形態，但運用教材的“序”在實際教學的效果并不如人意，筆者嘗試著以生活中的場景為原型進行藝術加工，按學生認知的“序”作為教學的“序”，受到聽課教師和學生的好評.

案例3 《高中數學選修2-2》第三章“數系的擴充”的教學（汶川地震后筆者開設的全市公開課）片斷［1］.

師：汶川大地震給國家帶來了巨大的損失，我們應認真學習科學知識，去尋找更適合人類居住的星球.假定我們在太空開辟了一座莊園，應如何管理？

生：制定有利于和諧相處與科學管理的“莊規”.

生：民主選舉莊園管理委員會，決定莊園的各項重要事務.

生：根據各人的特點科學分工，每人干自己擅長的事，每人干自己喜歡的事.

生：新移民要遵守我們的“莊規”，與老居民和諧相處.

生：為了保護環境，對移民要嚴格限制，只能引進莊園的緊缺人才.

師：說得有道理！現在數學上有一座莊園——“實數莊園”，我們來研究它的“移民”問題.

成員：實數；工種：加、減、乘、除、開方；困難：負數的開方不能順利進行，如方程x2=-1就不能求解.

師：大家有什么對策幫助“實數莊園”解決新的危機？

生：引入一個使方程x2=-1有解的新數.

師：這個新數如何表示呢？

生：增加一個新符號來表示它.

師：若這個新數用符號i來表示，那它應滿足什么要求呢？

生：（1）i是方程x2=-1的一個解，即滿足i2=-1；（2）i滿足“實數莊園”的運算法則.

教師以“實數莊園”為載體，按學生心理和認知的發展規律確定教學順序，對所擁有的教學資源進行藝術化的加工，在問題解決中學習數學、研究數學、領悟數學，讓學習數學的過程不僅成為接受知識、發展能力的過程，更成為傳承人類文化的過程.

3.4 將教師心中的“序”作為教學的“序”

教師基于自己長期的教學實踐和對學生的精確了解，完全可以而且應該站在數學整體的高度，對整個高中數學教材進行重新整合與再開發，從而在教師“心”中形成自己對相關內容獨有的教學順序，以期取得更好的教學效果，并促進教師的專業成長.

案例4 課題“基本不等式的應用”教學實錄（部分）.

復習提問（師）：寫出基本不等式及其變化形式，強調等號成立的條件.

練習（口答）：二次函數y=x2+4x+16的最小值是多少？為什么？

生：因為y=x2+4x+16=（x+2）2+12≥12，所以函數y=x2+4x+16的最小值是12.

師追問：下列式子y=x2+4x+16≥10成立嗎？

生：成立！

師：能否說函數y=x2+4x+16的最小值是10呢？為什么？

生：不能，因為它取不到10.

師：所以在說函數y=x2+4x+16的最小值是12之前，要交代何時能取到12才行！如果說“我們班學生的最小年齡是16歲”是正確的，那么這句話的意思是什么？

生：這句話有兩層意思：一是我們班學生所有同學的年齡都不小于16歲，二是我們班至少有一個同學年齡是16歲.

師：說得非常準確！如何給函數的最小值下一個定義？

生：設函數的定義域為D，存在一個常數m，對x∈D，都有f（x）≥m成立，且x0∈D，使得當x=x0時，f（x0）=m，我們就稱此函數的最小值為m.

師：很好！最小值的定義有兩層含義：既要求所有的函數值不小于常數m，又要保證有一個函數值取到常數m.因此我們在求二次函數y=x2+4x+16的最小值時，不僅要證明y=x2+4x+16不小于12，還應明確什么時候取到12.同樣可以得到最大值的定義（略）.

例 已知x>0，求y=x+12x的最小值.

師：要求y=x+12x的最小值，依據最小值的定義，就是要確定一個常數m，使得y=x+12x≥m，而且存在取到等號時相應的x值.如何找出這個常數m呢？

生：因為x>0，由基本不等式可知y=x+12x≥43，且當x=23時取到“=”，所以y=x+12x的最小值為43.

師：求函數的最小值可以運用基本不等式求得，其核心可總結為“一正，二定，三相等”.其中第一點是基本不等式成立的前提條件，后兩點是函數最小值定義的要求，因此運用基本不等式求最小值的關鍵是借助式子的變形湊“積為定值”.

將《高中數學必修1》第5.3節“函數的單調性”中的函數最值概念前置到第3.2.2節“基本不等式的應用”中，作為教學“序”的起點，再學習基本不等式求最值，不僅講解起來清楚明白、水到渠成，而且學生對“一正，二定，三相等”的理解更深刻，明白用基本不等式求最值僅是依據最值定義求最值的一種方法，掌握變形的方向——湊成定值.以教師心中的“序”作為教學的“序”時，要從學生的視角思考問題，用學生聽得懂的語言來表達，以邏輯性為前提，以對教材的整體準確把握為基礎，才能將教師的設想變成學生的高效成長.

參考文獻

［1］李金蛟，李格菲.為數學的規定尋找“辯護”的幾個路徑［J］.高中數學教與學，2011（09）：48-51.

作者簡介 李金蛟（1965—），男，江蘇省鹽城人，江蘇省正高級教師，江蘇省特級教師;常州市領軍人才，常州市第四、五批名師工作室領銜人，常州市數學理事會副理事長；主要研究方向為中學數學教育；發表論文60多篇，其中有15篇論文發表在中文核心期刊上，4篇論文被人大復印資料全文轉載.