“一般觀念”引領下的數學定理教學設計

【摘 要】 立足于“一般觀念”，以2023年“田家炳杯”全日制教育碩士專業學位研究生教學技能大賽一等獎課例——“二項式定理”為例，從“一般觀念”的提取和滲透給出數學定理的教學分析，并以問題鏈為載體，詳細探討了二項式定理的教學設計過程，闡明教學中如何滲透一般觀念，最后從整體觀和聯系觀兩方面給出教學反思并針對教學技能比賽給出備賽感悟與建議.

【關鍵詞】 一般觀念;教學設計;二項式定理;教學技能比賽

1 引言

高中數學課程改革的核心在于探索數學學科的本質、發揮其教育功能和價值，強調從知識掌握到學生發展的轉變，重視數學素養與思維能力的培養.針對數學概念課在高中數學教學中的重要性，章建躍博士對概念課的教學提出建議，強調概念教學不應局限于對概念、定理、公式和法則的簡單灌輸，更應注重學生數學素養的培養；教學應致力于引導學生形成一般觀念，培養他們對數學概念內涵的深刻理解，并提升他們探索和思考數學研究思路的能力，從而逐步形成數學智慧［1］.

數學中的“一般觀念”代表了數學概念的一種表現形式，是對數學思想和方法進一步提煉和概括的產物，這種概念在數學教學中有多重內涵，包括明確內容是什么、如何學習以及其中蘊含的數學基本思想等，反映了專家在數學領域的思維方式.在教學中，一般觀念能夠引導教師整合離散的知識點，系統化教學方法，從而促進課堂教學的有序展開.因此，“一般觀念”不僅是教材知識的高度凝練，更是幫助教師理解教材意圖、組織教學內容和評估教學效果的有力工具.一般觀念教學致力于培養學生具備解決實際問題的學者思維，其核心目標是整合教材中高度關聯的知識，按照“是什么”的一般觀念組織并構建單元教學內容.接著，通過“怎么學”和“數學的基本思想方法”的一般觀念，確定教學思路，規劃教學流程，并指導具體教學活動的設計，從而實現系統化、連貫性的教學.因此，“一般觀念”是培養學生深入理解數學并靈活運用數學方法解決問題的關鍵路徑［2］.“數學智慧”是在尋找事物間共通性、對比不同事物、提煉規律以及對方法論進行反思的過程中構建出的認知.在教學中，教師應以多樣化的知識為基礎，引導學生通過深度思考探索知識產生的脈絡，體驗解決數學問題的通用方法和策略，從而培養學生的數學智慧［3］.

“二項式定理”作為代數中的關鍵概念，在數學教學中扮演著重要角色.然而，僅僅死記硬背公式往往難以讓學生深入理解其背后的數學原理.本文以筆者在2023年“田家炳杯”全日制教育碩士專業學位研究生教學技能大賽中榮獲一等獎的“二項式定理”課例為例，探討在數學定理教學中如何滲透和應用一般觀念，引導學生從具體例子逐步抽象出普遍方法，從而提高他們的數學邏輯思維能力和問題解決能力，深刻理解數學中的“一般觀念”.

2 “一般觀念”下數學定理教學分析

數學定理（公式）展示了數學知識的基本規律，具備符號化的抽象特性和概括性特征，是學生提升數學認知水平的關鍵學習載體，也是進行數學推理和論證的重要依據.在新課標中，數學定理、公式大部分需要達到掌握的層次，即必須明確知識的來龍去脈，把握內容、形式的變化，掌握其蘊含的數學思想方法.“一般觀念”具有內隱性，需要經過提取整合再用有邏輯的方式呈現出來.一般來說，一般觀念的教學涉及到一般觀念的提取與概括、生成與滲透兩個環節.

2.1 一般觀念的提取與概括

分析所涉及的知識模塊和內在的基本數學思想方法，從中提煉出一般觀念，是開展一般觀念教學的基礎［2］.教師在教學中需通過抽象與概括，從具體的數學定理中提煉出相應的一般觀念.這種提取與概括要求教師深入挖掘和理解數學定理，找出其中所蘊含的普遍性原理，進而形成能夠概括多個具體定理的一般觀念.二項式定理是多項式乘法的一種特殊情況，延續了初中階段學習的多項式乘法概念.因此，一種較為自然的發現方式就是觀察幾個具體的二項展開式，分析展開式的結構，從中發現一般的二項展開規律.具體來說，首先針對熟知的n=2，3情形，分析對應的運算過程，明確多項式是如何相乘的，即展開式的每一項如何得到，再將分析運算過程中發現的方法或規律，嘗試著運用到n=4的情形，最后由特殊到一般，運用這種方法推導出（a+b）n的形式［4］.因此，本節課的一般觀念就是找到定理的本質（多項式運算），尋找運算規律，由特殊到一般，經歷猜想與論證的過程，學會如何探究一個新數學對象.

2.2 一般觀念的生成與滲透

數學具有整體性，在明確了要“教什么”后，還需對一般觀念進行進一步的凝練，構建整體教學的框架，以問題鏈為載體，從研究內容、研究路徑、研究方法、研究結果等方面明確“如何教”.二項式定理的核心在于弄清楚形如（a+b）n的式子的具體展開形式.在這一核心問題的驅動下，定理的學習需要遵循一般的研究路徑，經歷公式的發現、探索、歸納、證明和應用等過程.那么，如何進行發現、歸納和探索呢？從研究方法上看，我們應從已知的特殊二項式展開式出發，由特殊到一般，通過觀察和分析規律，進而進行猜想和論證.

3 “二項式定理”教學過程設計

引入 二項式定理的歷史發展與生活應用（PPT展示見圖2）.

設計意圖

從古、今兩個角度向學生闡述學習二項式定理的必要性和重要性：引入數學史介紹二項式定理的發展歷程，激發興趣的同時也可讓學生從歷史視角借鑒數學家們發現和推導二項式定理時的經驗，開拓解決問題的思維方式；數學作為許多領域的基礎，通過展示數學在其他領域的應用，能夠幫助學生建立跨學科的思維模式，更好地理解多學科間的聯系.

問題1 我們該如何研究二項式定理？

預設1：既然是定理，按照以前學習定理的經驗，我們要經歷定理的歸納猜想和邏輯論證的過程.

追問1：那我們從誰開始歸納呢？

預設：我們初中學習過完全平方公式，老師給我們補充過三次方展開式，它們是兩個特例，我們可以從它們的展開式開始.

追問2：你們這樣做的數學依據是什么？

預設：從特殊到一般的思想方法.

設計意圖

引導學生根據已有經驗，規劃定理的研究內容和路徑，明確研究方法，在一般觀念的指導下自覺地開展研究，形成系統化的學習方式.

問題2 分析（a+b）2的展開過程，觀察展開式的結果，你準備從哪些角度歸納展開式的特點？

預設：項數、次數、項及其系數的規律.

追問：你們是如何想到這些的？

預設：根據多項式的“要素”來看的.

設計意圖

鼓勵學生在發現問題，解決問題的過程中學會有目的的觀察、有邏輯的思考，而非僅僅依賴于碰運氣，滲透尋找數學規律時的一般觀念.在歸納展開式特點的過程中，教師應引導學生觀察多項式各部分的特征，例如項數、次數、項及其系數、字母的排列規律，引導他們發現其中的規律.

預設：從項數來看，項數是3項，比這個二項式的次數2多1.

追問：這是合并同類項之后的結果，合并同類項之前呢？你能根據組合數的概念說說怎么得到的嗎？

預設：4項，（a+b）2是2個（a+b）相乘，只要從一個（a+b）中選一項（a或b），再從另一個（a+b）中選一項（a或b），相乘就得到展開式的一項.根據分步乘法計數原理，在合并同類項之前，（a+b）2的展開式共有C12×C12=2×2=4項

預設：從次數來看，每一項的次數都是齊次的，a的冪指數在降次，b的冪指數在升次.

追問：你能把每一項用統一的表達式表示出來嗎？

預設：a2-kbk（k=0，1，2）的形式.

追問：每一項的系數如何確定？（如果學生沒有想法，教師可稍加引導，讓學生回顧思考每一項是如何得到的，思考如何把多項式乘法轉化成計數原理）

當k=0時，a2-kbk=a2，這是由2個（a+b）中都不選b得到的.因此，a2出現的次數相當于從2個（a+b）中取0個b（都取a）的組合數C02，即a2只有1個.

當k=1時，a2-kbk=ab，這是由1個（a+b）中選a，另1個（a+b）中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現的次數相當于從2個（a+b）中取1個b的組合數C12，即ab共有2個.

當k=2時，a2-kbk=b2，這是由2個（a+b）中都選b得到的.因此，b2出現的次數相當于從2個（a+b）中取2個b的組合數C22，即b2只有1個.

由上述分析可以得到a+b2=C02a2+C12ab+C22b2.

設計意圖

解決系數問題是本節課最具挑戰性的一部分，需要回歸到多項式乘法的基本概念進行分析.例如考慮如何獲得表達式中的含ab的項.這個過程可以通過組合數公式來思考：解決的核心問題是如何獲得含ab的項，因為單項式乘法遵循交換律，所以這是一個組合問題，相當于從2個因式中選擇1個“b”，因此這樣的項的個數就是組合數，這樣就得到了展開式的通項.

問題3 根據上述分析，你能仿照這個過程利用計數原理寫出（a+b）3、（a+b）4的展開式嗎？請寫出結果并進行驗證.

師生活動：學生獨立思考，合作交流，選取學生代表發言，教師輔以總結.

設計意圖

有了（a+b）2展開的經驗，在一般觀念的引領下，學生可類比上述過程根據多項式乘法法則，利用計數原理解釋（a+b）3、（a+b）4展開的過程，為共性的歸納，猜想的提出奠定基礎，為運用一般觀念指導自身進行數學學習提供豐富的活動經驗.

問題4 從上述具體問題得到啟發，對于任意正整數n，你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，從展開式的要素入手得出展開式共性：

（1）展開式的項數是（n+1）項；

（2）每一項的次數是n；

（3）a的次數按n，n-1，…，1，0排列；b的次數按0，1，2，…，n-1，n排列；

（4）系數的規律是C0n，C1n，…，Cn-1n，Cnn

預設：（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*.

追問：你能對上述猜想的合理性進行說明嗎？

預設：由于（a+b）n是n個（a+b）相乘，每個（a+b）在相乘時有兩種選擇，選a或b，而且每個（a+b）中的a或b都選定后，將它們相乘才能得到展開式的一項.因此，由分布乘法計數原理可知，在合并同類項之前，（a+b）n的展開式共有2n項，其中每一項都是a2-kbk（k=0，1，2，…，n）的形式.

對于每個k（k=0，1，2，3，…，n），對應的項a2-kbk是由（n-k）個（a+b）中a，另外k個（a+b）中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，an-kbk出現的次數相當于從n個（a+b）中取k個b的組合數Ckn，這樣，（a+b）n的展開式中，an-kbk共有Ckn個，將它們合并同類項，就可以得到上述二項展開式，從而得到

二項式定理

（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn，n∈N*.

設計意圖

學生自主探究n=3，4時展開式的結構特點，小組合作交流歸納展開式的共性提出猜想，采用“說理”的方法，對定理的正確性給予說明，完成定理證明.

問題5 得到一個新數學對象后，觀察其特殊情況有助于我們加深對其理解，觀察二項式定理，你能發現一些特殊情形嗎？

預設1：在二項式定理中，若設a=1，b=x，則得到公式：

（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn.

預設2：在二項式定理中，若設a=1，b=1，則得到公式：

2n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn.

預設3：把a，b交換后公式仍然成立，即

（a+b）n=（b+a）n.

預設4：把公式中“+”變“-”、在二項式定理中，若設a=1，b=-1，即可得到不同的特殊公式.

設計意圖

通過取特殊值的方式對公式的結構特征進行深入研究，進一步加深對定理的理解，為二項式定理的靈活運用做準備，完善一般觀念指導下的數學研究習慣與意識.

4 教學反思

4.1 一般觀念引領，構建數學知識的整體框架

數學是一門系統性極高的學科，新課標在教學建議中指出，要整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展.基于“一般觀念”的課堂教學不應簡單的堆砌知識點，否則教學內容會零散，缺乏連貫性，成為碎片化的知識.基于整體觀思想，教師應當以教材為基礎，首先分析教材前后知識之間的關聯，然后以“結構”為主線、以“方法”為紐帶，將其融入教學中重新構建整個教學體系.在二項式定理的教學中，本設計以“背景（二項式定理的重要性和必要性）—本質（多項式乘法）—規律（系數和項的關系）—結構（展開式特征）—應用”為主線，以“背景—方法（從特殊到一般）—方法論—數學學科本質觀（一般化）”為暗線，形成數學基本思想和方法的滲透，不斷強化對數學本質的理解，建立起有意義的知識結構，進而“按圖索驥”實現內容的可預知性、過程的邏輯性、探索的方向性、思維的主動性，提高學生的自主學習能力.

4.2 一般觀念引領，學會問題分析的普適方法

一般觀念引導學生關注數學知識的共性和聯系，培養了他們對數學問題的普適性思考和解決問題時的聯系觀.通過引導學生從具體案例和特定概念中抽象出共性和規律，形成一般觀念，能夠幫助學生建立起全面的數學學科認知，促進系統性理解，加深對數學思維方式和研究方法的理解.在二項式定理的教學中，本設計以問題鏈為載體，通過不斷追問，啟發學生進行有邏輯的思考，如“如何尋找規律的方向”“如何進行問題的轉化”“如何基于表達式的本質運用計數原理簡化問題”等.這種方式培養了學生的邏輯思維能力和解決問題的能力，也幫助他們更好地理解一般觀念在數學學科中的應用，從而提升了數學學習的深度和廣度.

5 小結

短期的教學比賽與長期的教學知識和經驗的積累是相互促進的.所謂“臺上一分鐘，臺下十年功”，能在決賽中脫穎而出絕非簡單依靠運氣.這不僅需要賽前有扎實基本功的積淀和教學理念的更新，還要從整體角度審視每個章節，并分析整個高中教科書的邏輯框架體系，思考如何體現核心素養并培養學生的多維能力.數學問題在本質上是簡單有序的，研究對象或許不同，但研究套路和思維方法卻是不變的，因此盡管備賽時間有限，但不同課型的教學方法是有規律可循的.“二項式定理”并沒有在賽前進行過試講打磨，僅有對內容的大致了解，然而在比賽時卻能突發奇想，將內容用“一般觀念”巧妙串聯起來，這離不開賽前自主練習時形成的備課習慣.建議職前教師們針對一個課題在備課前要習慣多詢問自身幾個問題：學生為何學習？為何在這里學？學生該如何學習？需使用何種研究工具？若無工具，應如何創造工具？只有在這些問題的指引下，制定教學環節并提出合適問題串，才能兼顧數學知識發展的合理性與學生認知過程的合理性.

當然，這個設計也存在一些不足之處，例如：忽略了初高中知識的銜接性，即乘法法則在初中已有涉及，為何高中需要通過組合數重新表示二項式展開？這需要教師在引入階段激發學生認知沖突，使學生感受到兩種方法之間的差異.同時，重視學情分析并做好預設也非常重要.一般路徑和方法需在定理探究前給出，但由于地域和學生差異，有些學生可能缺乏遷移意識和一般化思維，從而導致引入部分需要花費大量時間.因此，教師需要在課前預設好如何讓學生想到“一般路徑”，以及當他們無法想到時，如何通過適當的問題加以引導.

參考文獻

［1］章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社， 2021.

［2］黃暉明. 數學一般觀念教學的內涵、策略與案例［J］. 中學教研（數學）， 2023（10）： 1-4.

［3］劉璐， 戈硯輝. 實施深度教學 促進智慧發展：以“有理數的乘法”（第1課時）教學為例［J］. 中學數學教學參考， 2022（20）： 2-4.

［4］人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

作者簡介 湯慶君（2000—），女，安徽合肥人，南京師范大學研究生，研究方向：課程與教學論.