2024年全國新課標Ⅰ卷第17題解析與教學啟示

【摘 要】 以2024年全國新課標Ⅰ卷立體幾何解答題（第17題）為例，通過試題評析、一題多解、錯因分析、試題探源等方式，論述立體幾何解答題常見處理方法，探析高中立體幾何教學中的應對策略．

【關鍵詞】 立體幾何；評析；教學啟示

1 真題再現

（2024年全國新課標Ⅰ卷第17題）如圖1，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

4 試題探源

題源1 本試題主要源于人教A版必修第二冊第158頁中的例8和第159頁中練習的第3題，兩者適當組合而成，加上動點及二面角的逆向應用，主要考查學生的空間想象能力，考查學生對空間點線面位置關系掌握程度．教材中兩道原題具體如下：

（第158頁例8）如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點．求證：平面PAC⊥平面PBC．

（第159頁練習第3題）如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能發現哪些平面互相垂直，為什么？［1］

題源2 本試題中涉及到的幾何模型是立體幾何中常見的“墻角模型”和“鱉臑模型”，以及“三垂線定理及其逆定理”．

對于第（1）問，如圖12，由PA⊥平面ABD知，PB在底面ABD上的射影是AB，已知AD⊥PB，則根據三垂線定理的逆定理可得出AD⊥AB，從而易知AP，AB，AD兩兩垂直，這就是“墻角模型”；對于第（2）問，如圖13，由PA⊥平面ABD知，PB在底面ABD上的射影是AB，由條件易知BC⊥AB，則可根據三垂線定理得出BC⊥PB，從而△PAB，△PAC，△PBC，△ABC均是直角三角形，這就是“鱉臑模型”．

5 教學啟示

通過對高考真題多維度地分析，我們得到了一些對教學有益的啟示．一方面，可以幫助教師了解命題規律，制訂更加合理的教學備考策略；另一方面，可以幫助學生更好地掌握相關的數學知識，提高解題效率．同時，對試題考點考查情況的分析以及學生作答情況的反饋，可以幫助師生對教與學作出相應反思與調整．

5.1 注重數學本質，深入研讀課標

《普通高中數學課程標準》指出，立體幾何的學習，要運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關系和數量關系，體會向量方法和綜合幾何法的共性和差異，運用向量方法解決簡單的數學問題［2］．我們通過向量坐標將幾何元素代數化，感悟向量是研究幾何問題的有效工具．教師在教學中要樹立向量意識，巧用坐標，強化形數結合，合理建系，從而優化解題過程．

5.2 一題多解和一題多變，提升思維的靈活性

在立體幾何的教學中，培養學生的一題多解和一題多變的思維習慣對于提高他們的空間想象能力和邏輯推理能力至關重要．這種教學方法不僅能深化學生對幾何概念的理解，還能鍛煉他們從不同角度思考問題的靈活性，并且有助于他們在面對復雜的幾何問題時能夠迅速找到切入點．一題多解的做法可以幫助學生拓寬解題思路，不再局限于單一的解決方案；一題多變的教學手段能夠讓學生在不變的問題本質中發現變化，從而培養他們的應變能力和創新能力.

5.3 注重規范表達，力爭證明嚴謹，計算準確

在立體幾何的教學過程中，注重規范表達、嚴謹證明和準確計算是非常關鍵的．在解答立體幾何題目時，所有的定理和判定都需要明確寫出條件，才能得出結論．對于平面幾何中的結論，雖然可以省略部分證明過程，但也需要寫出完整的條件．高考閱卷的時候是一分一分給的，特別是證明題，更加看重步驟，如果關鍵步驟沒有寫出來，這一分就沒有了．在教學中，特別是學生剛開始接觸立體幾何證明題時，老師們就要嚴格要求步驟．這不僅能幫助學生深入理解幾何概念和定理，還能訓練他們的邏輯思維能力和數學素養．另外，立體幾何解答題中的計算準確性對于能否得出正確答案至關重要．通過認真對待計算過程、遵循正確的計算步驟來培養良好的計算習慣．

5.4 回歸教材，回歸基礎，回歸通性通法，提升關鍵能力

首先，很多高考試題背景源于教材，又高于教材，是引領教學回歸教材的典范．試題要回歸課本的基礎，讓學生回歸基本的原理理解，讓學生回歸課堂學習，讓教師回歸教材，把課堂還給學生，激發學生學習動力，培養學生自主探究能力，落實核心素養；其次，本試題幾何圖形模型常規，問題考查形式常規，是回歸數學基礎的表現，很好地避免了刷題、模型固化、死記硬背，更好地落實雙減政策；最后，試題解法靈活多樣，但不乏都是通性通法——作角或建系，對于不同層次水平的學生有很好的區分，利用思維來拉開學生層次性，是數學最本質的體現．

參考文獻

［1］

人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學·必修·第二冊：A版 ［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020．

作者簡介 楊瑞強（1979—），男，湖北黃岡人，中學高級教師，黃石市優秀班主任，黃石市優秀數學教師；主要從事中學數學教學與研究；發表文章100余篇．