考查數學思維和綜合能力 選拔國家需要的數學人才

【摘 要】 2024高考數學新課標Ⅰ卷在題型、題量等方面都出現了變化，解答題首次出現了新定義題即第19題，此題具有難度大、綜合性強和創新性高等特點，考查學生閱讀、分析和解決問題的數學思維能力，以及數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養，更加重視考查數學的本質，有助于國家選拔優秀數學人才.

【關鍵詞】 新定義；2024年高考；數學思維；創新

0 背 景

新定義題，是指在題目中定義了教材中沒有介紹的或者涉及過的新概念、新圖象、新運算、新性質、新模型等［1］，需要學生能夠在接觸到新知識后對其進行理解，并把新知識內化遷移到已有觀念當中，對知識進行創新性地應用.這類題從學生的知識理解、遷移和創新等方面入手，考查學生在短時間內收集和處理信息、分析問題和解決問題的能力，對學生學習知識和應用知識的能力提出了更高要求，充分發揮立德樹人、引領教學、選拔人才等作用，與新高考改革的主要目的深度契合.

2024年九省聯考首次加入新定義題型，為2024高考提供改革的風向標，2024年高考數學新課標Ⅰ卷中果真出現新定義題型，此題設置三小問，難度層層遞進.此類題型不是創新，北京卷、上海卷、江蘇卷中都多年考查過新定義題型.文2中曾預測新定義題型會在近幾年大概率地出現于全國高考試卷中，建議重視此類題型.2024年全國高考數學新課標Ⅰ卷解答題首次加入了新定義題型即19題，成為此次數學考試卷的焦點.本文對此新定義題進行深入分析，提出相應的教學策略，解答師生今年高考之困惑，為老師和學生對新定義題的理解和解答提供參考.

1 真題與解析

1.1 2024年新課標Ⅰ卷第19題

設m為正數整，數列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項ai和aj（i<j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分數列.

（1）寫出所有的（i，j），1≤i<j≤6，使數列a1，a2，…，a6是（i，j）—可分數列；

（2）當m≥3時，證明：數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）—可分數列；

（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數i和j（i<j），記數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分數列的概率為Pm，證明：Pm>18.

解析 （1）為保證剩下的四項可組成等差數列，應從a1，a2，…，a6兩端進行刪除，可得（1，2），（1，6），（5，6）.

（2）當m=3時，對于數列a1，a2，…，a14易得其項與下標成等差數列為充要條件，故只需證下標所組成的數列1，2，…，14是（2，13）—可分數列，而1，3，…，12，14可分為（1，4，7，10），（3，6，9，12），（5，8，11，14），故當m=3時成立;當m>3時，只需從a15起每4個相鄰的項組成一組即可成立.

（3）由（2）得數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分數列數列1，2，3，…，4m+2是（i，j）—可分數列，易知數列1，2，3，…，4m+2是（4k+1，4r+2）可分，其中0≤k≤r≤m.

因而可分為（1，2，3，4），…，（4k-3，4k-2，4k-1，4k）與（4（r+1）-1，4（r+1），4（r+1）+1，4（r+1）+2），…，（4m-1，4m，4m+1，4m+2）.

此時共C2m+1+（m+1）=12（m+1）（m+2）種.

再證數列1，2，3，…，4m+2是（4k+2，4r+1）可分，其中0≤k<r≤m，而易得1，2，…，4k與4r+2，…，4m+2可分，只需再考慮4k+1，4k+3，…，4r-1，4r，4r+2.

記p=r-k∈N*，從而只需證：1，3，4，5，…，4p-1，4p，4p+2可分，在1，2，…，4p+2中刪去2與4p+1.下面開始討論：

當p=1時，（1，3，4，6）不滿足條件；

當p=2時，（1，3，5，7），（4，6，8，10）滿足條件；

當p=3時，（1，4，7，10），（3，6，9，12），（5，8，11，14）滿足條件；

當p=4時，（1，5，9，13），（3，7，11，15），（4，8，12，16），（6，10，14，18）滿足條件……

故當p≥2時，可劃分為（1，p+1，2p+1，3p+1），（3，p+3，2p+3，3p+3），（4，p+4，2p+4，3p+4），…，（p，2p，3p，4p），（p+2，2p+2，3p+2，4p+2）共p組，本質上就是（i，p+i，2p+i，3p+i），i=1，2，…，p且把2換成4p+2.

此時（k，k+p），p≥2均可成立，共C2m+1-m=12m（m-1）組，而（0，1），（1，2），…，（m-1，m）不成立.

綜上所述，符合的（4k+1，4r+2）與（4k+2，4r+1）至少有12（m+1）（m+2）+12m（m-1）組，故Pm≥12（2m2+2m+2）C24m+2=m2+m+1（2m+1）（4m+1）=m2+m+18m2+6m+1>18.

該題目中給出了教材上沒有的一種關于數列方面的新定義即（i，j）—可分數列，將數列、集合論、概率、不等式等知識有機地結合.

第（1）問中，發現去掉前兩項、后兩項或者首尾兩項都可以滿足可分；第（2）問中，發現去掉第二項和倒數第二項仍然滿足題意；到第（3）問時，聯想是否去掉第三項也可滿足題意.第（2）問的設計，為解決第（3）問奠定基礎.此題按照由特殊推向一般的思路引導學生發現并抽象出等差數列與其下標之間的關系、分析出需要針對不同情況進行分類討論，同時還帶有一定的計算量，全面考查了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.題目層層遞進，對學生的知識、能力、創新思維方面和綜合能力都有考查，不同小問之間難度不同，使得題目有區分度，充分體現了課程標準中對于“不同的人在數學上得到不同的發展”的要求，能夠更好地選拔數學人才.

該題目解題的關鍵在于學生能否在短時間內通過閱讀題目獲取新信息并對其進行分析和處理，掌握新定義數列的數學本質，遵循新的法則、借助新數列的性質，將新知識內化遷移成學生已有的知識.學生再靈活地結合已有觀念中數列、概率統計等數學知識多次進行轉化和分類，借助數學思想方法與數學思維將問題解決.在整個解題過程中，學生需要對知識進行理解、遷移與創新，該題充分考查學生數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養，其解決思路過程如圖1.

1.2 往年相似題型追溯

高考江蘇卷、北京卷、上海卷中對新定義題型已經考查多年.

可以看出，大多數新定義題型集中在數列方面，占比約為66.7%，剩下的集中在函數、圓錐曲線方面.關于數列的新定義題，在樸素的題干當中蘊含著極大的思維量，從有限數列到無限數列的推廣考查學生數學猜想、邏輯推理、數學抽象、數學運算等眾多數學能力.如：

2022年北京卷第21題：已知Q：a1，a2，…，ak為有窮整數數列，給定正整數m，若對任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，則稱Q為m—連續可表數列.

（1）判斷Q：2，1，4是否為5—連續可表數列？是否為6—連續可表數列？說明理由；

（2）若Q：a1，a2，…，ak為8—連續可表數列，求證：k的最小值為4；

（3）若Q：a1，a2，…，ak為20—連續可表數列，且a1+a2+…+ak<20，求證：k≥7.

該題與24年新課標Ⅰ卷在題面上考查內容一致，給定了某一特殊數列的定義，融入了數列、集合論等知識，綜合性很強.題目需要學生通過閱讀收集信息，通過思考來處理和分析信息從而找到問題的切入點，結合已有觀念轉化成學生可理解、可操作的問題.同時也關注數學的本質，需要學生結合歸納法、排除法、演繹法、分類討論等數學思想方法解決問題，促使學生從更深的層次深刻體會數學思想和方法，考查學生閱讀學習和創新的綜合能力.題目設計不同難度、不同梯度的小問，因材施教，分層次教學，從而為不同能力的同學搭建臺階，關注不同學生的發展水平，為國家選拔人才.

2020江蘇卷理科數學第20題：已知數列{an}（n∈N*）的首項a1=1，前n項和為Sn.設λ與k是常數，若對一切正整數n，均有S1kn+1-S1kn=λa1kn+1成立，則稱此數列為“λBh/X1UVBvIVGakCFneMTbQ==—k”數列.

（1）若等差數列{an}為“λ—1”數列，求λ的值；

（2）若數列{an}是“ 33—2”數列，且an>0，求數列{an}的通項公式；

（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數列{an}為“λ—3”數列，且an≥0？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.

該題也是給定了某一特殊數列的定義，通過問題串的設計，先由簡單設問讓學生熟悉數列新定義，后面逐步加大難度，考查學生的思維與能力，并著重考查學生的數學學科核心素養，考查學生的基礎知識、基本技能、基本數學思想方法和基本活動經驗.題目由易到難，層層遞進，需要學生運用轉化與化歸、分類討論等數學思想，更強調了數學學習的通性通法，淡化了對解題技巧的考查，更體現了科學地選拔人才的功能.

1.3 新定義題型

新定義題型涉及多個方面，如對性質、圖象、模型、運算、符號等進行新定義的基礎上進行命題.筆者把新定義題分為以下7種：概念—定義題、性質—定義題、運算—定義題、符號—定義題、圖象—定義題、模型—定義題、其它—定義題.

1.概念—定義題.對概念進行新的定義，并由此進行下一步其他計算或邏輯推理.2024年數學新課標Ⅰ卷第19題就是概念—定義題；

2.性質—定義題.對性質進行新定義，比如2020年上海卷中，已知有限數列{an}，若滿足|a1-a2|≤|a1-a3|≤…≤|a1-am|，m是項數，則稱數列{an}滿足性質P，是對性質P給出新定義；

3.運算—定義題.對運算進行新定義，比如2018年北京卷中，設n為正整數，集合A={α|α=t1，t2，…，tn，tk∈{0，1}，k=1，2，…n}，對于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…，yn），記M（α，β）=12［（x1+y1-|x1-y1|）+（x2+y2-|x2-y2|）+…+（xn+yn-|xn-yn|）］，是對運算M（α，β）給出新定義；

4.符號—定義題.對符號進行新定義，比如2024年九省聯考中，離散對數在密碼學中有重要的應用.設p是素數，集合X={1，2，…，p-1}，若u，v∈X，m∈N，記uv為u，v除以p的余數，um，為um除以p的余數，設a∈X，1，a，a2，，…，ap-2，兩兩不同，若an，=b（n∈{1，2，…，p-2}），則稱n是以a為底b的離散對數，記為n=log（p）ab，是對符號給出新定義.

5.圖象—定義題.以圖象為主進行相關定義、說明、解析等，對某種新的圖示或過程進行考查.

6.模型—定義題.以模型為主進行相關定義、說明、解析等，對某種新的模式或形式進行考查.

7.其它類型.

新定義題型需要學生理解題目中的新定義以及新定義背后的數學邏輯，因此“題海戰術”已經無法解決此類問題.新定義題型滿足選拔人才的要求，更考查學生的閱讀、學習和創新的能力.學生需要具有進行閱讀獲取信息、進行數學運算的能力，還要具有嚴謹的邏輯推理論證的能力，能夠綜合自身已有的知識和技能解決問題.這種命題方式淡化了解題技巧、強調數學的本質，既有區分度又有難度.教師應深刻體會該題型的考查用意，更加注重學生數學學科核心素養的培養，真正重視學生數學思維和能力的發展.

實際上，此類題難度大，需要思考和解題的時間多，所以，能在有限時間內全部做對試題的三問的學生，應該不多.

2 由新定義題型引發的問題與反思

在新課標Ⅰ卷當中首次出現新定義題型，學生和教師反映不一，有的說太難，有的說連問題也沒讀懂，等等.從學生反映看，主要呈現如下問題：

第一，閱讀能力偏弱.新定義題型的解題思路和關鍵都在題目當中，因此題目相較其它類型的題目而言內容更多、抽象性更強，重點考查學生的閱讀能力.根據調查，大部分學生對于情境性強的新定義題都“感覺題目過長，不知道在問什么”；而對于更為簡潔的定義型題目，大部分學生表示“讀不懂題干，無法翻譯題目信息”.

第二，即時學習力弱，綜合能力不足.新定義是絕大多數學生之前沒有接觸過的數學概念，學生需要在短時間內學習新的知識，領悟出新知識內涵，接著利用自己剛剛領悟的新知識結合自身綜合數學素養進行解題.而部分學生在接觸此類問題時在僅分析題目環節就消耗大量時間，即時學習力弱.學生應該對自身的解題過程進行反思和總結，從而聯想相關的解題思想，進行解題遷移，通過多次練習，才能升華為學習策略［5］.

上述問題表明，“題海戰術”的教學策略已不適應國家的人才選拔，教師應將學生從“題海”中解放出來，避免重復刷題和套路化的解題技巧，將教學的眼光從“唯分數論”轉移到注重學生數學理解力和數學核心素養的培養上來.

3 教學建議

3.1 注重數學本質，培養數學思維能力

將2024年新課標Ⅰ卷19題變換形式，使其簡單化、特殊化，如在第（1）問中取m=1，第（2）問和第（3）問中取m=10，試題變為：

（1）在數列{1，2，3，4，5，6}中刪去兩項，使剩下的四個數成等差數列，寫出所有成立的刪除項；

（2）在數列{1，2，3，…，42}中刪去2和13這兩個數，將剩下的40個數平均分成10組，證明：每組的4個數可構成等差數列；

（3）在數列{1，2，3，…，42}中，任意刪去兩項，使剩下的40個數平均分成10組且每組的4個數都可構成等差數列，請找出108種符合條件的刪法.

題目經過這種變換后，考查的邏輯思維、抽象思維、發散思維等數學思維并沒有改變，但是，數學素養好的小學生都能夠將問題解決.可以看出，第一小問通過對題目的閱讀理解找到符合題目條件的所有數即可解決，需要學生認真閱讀題目再進行列舉；第二問由特殊走向較一般的情況，需要學生認真思考并理解問題的本質才能用數學語言證明出來；第三問難度加大，加入了集合論的知識，需要學生進行邏輯推理并加上在前兩小問解決過程中形成的對概念的理解才能較為順利地解決.

這表明該題型主要考查學生的數學思維能力，而不是簡單的知識點羅列.

因此教師教學要注重回歸數學的本質教學，加深學生對于基礎知識和基本技能的理解，從而建立起牢固的數學基礎，使學生能夠將數學知識進行靈活地排列組合與轉化，形成完整流暢的高階數學思維能力.教師應強調數學思維，促進學生數學基本思想的形成，鼓勵學生主動探索，動手實踐，注重基本活動經驗的總結養成.

3.2 滲透數學思想，凝練數學方法

數學思想是人們對數學理論和內容的本質的認識，是數學科學發生發展的根本；數學方法是數學思想的具體化、程序化［6］.數學思想方法是學生思考數學問題、認識數學本質的重要橋梁.對本文給出的例題總結發現，都考查了學生分類討論、特殊到一般、一般到特殊以及模型思想等數學思想，需要學生綜合運用這些數學思想解決問題.如本文例題1，先從特例數列a1，a2，…，a6是（i，j）—可分數列開始，再到當m≥3時，證明數列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）—可分數列，學生從中分析觀察到等差數列與數列下標的關系，從而自然地引到第三問，從點到面，觀察出問題的數學本質.數學思想方法形成的過程應是自然的，但是在日常教學中不可能使學生經歷數學史上數學的發展過程從而形成而數學思想方法.因此教師需要在教學過程中仿照前人經驗，在學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程中，引導學生通過觀察、分析、比較、演繹、歸納、抽象和類比等數學思想方法尋找問題的一般規律，凝練數學方法，將知識技能聯系起來，形成系統的數學思想方法.根據學習內容的不同，體現的數學思想也不同.學習函數的奇偶性，滲透數形結合思想；解含參數的不等式，滲透分類討論與等價轉化思想等.

3.3 重視概念教學，培養分析能力

新定義題型給出新的數學定義或定理，學生要做題，首先需要學生理解新概念，如理解什么是（i，j）—可分數列，根據定義給出特殊情況的一組或幾組（i，j）—可分數列.而現實課堂教學中往往出現對概念教學草草帶過，更重視后續例題講解和題目練習的現象.教師在教學中應更重視概念教學，引導學生將數學基本概念和原理自主探索領悟，注重解析、刨析概念，使學生清晰概念的來源、范圍、背景和相關的結論，引導學生思辨，對數學的本質形成正確認知.教學中，教師應注重分析概念，使概念和各類典型例題相結合，使學生全面深刻地理解概念內涵.例如，橢圓的概念教學，要強調以下關鍵詞：“平面內，距離的和，等于常數，大于”.啟發學生思考：如果遺漏關鍵詞，會出現什么錯誤，假設遺漏了“平面內”，動點的軌跡會是什么圖形？將“大于”改為“等于”，動點的軌跡又會是什么圖形？

3.4 重視教材每一部分內容教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，提升學生的數學素養，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界［7］.新定義題型由數學語言描繪而成，一般由符號語言、文字語言融合呈現，帶有大量信息點.而在教材中的“閱讀與思考”版塊，其核心思維與新定義題型一致，需要學生對大量符號、文字信息進行閱讀思考、知識遷移等活動，對文章中的數學語言進行數學理解，培養學生的數學直覺.這就意味著，高考命題還是牢牢以教材作為重要材料，萬變不離其宗，教材仍是高考選題的重要取材途徑.教師要做到更加重視課本，不能忽視教材內容的每一個欄目，不能把“閱讀與思考”等內容化為所謂的“不是重點知識”的部分.相反，教師要將課本鉆研透徹，分析每一個板塊的設計意圖，并將其應用到教學中.

3.5 拓寬知識儲備，回歸核心素養

這里的拓寬知識儲備并不是讓教師進行題海戰術，更不是讓教師盲目地補課，拔苗助長，而是教師輔助學生真正掌握新定義題型中分類、一般化和特殊化等數學思想，也適時地用一些數論等方面知識的例子進行數學概念的思維教學，更要以問題和知識為引領，培養學生綜合分析問題、解決問題的能力.這對學生形成數學思維以及學生未來發展都有極大的幫助.教師的教學還要突出表現數學的自然性和思維的流暢性，在分析處理問題時，要做到思路清晰、推理嚴謹、理由充分且符合學生的認知規律.只有通過這樣的數學思考才能培養學生數學抽象、直觀想象、數學建模、數據分析、邏輯推理、數學運算的核心素養.

4 總 結

新定義題型考查的是學生的數學思維和綜合能力，而不是單純的解題技巧，這種考查方式能更好地避免出現猜題、押題現象的發生，為國家選拔真正具有優秀數學素養的人才.大多數學生會做問題的其中一問或兩問，題目的三問全部做出來的學生少之又少，因此教師日常教學應該注重分層次教學，讓大多學生吃飽，又讓好學生吃好.新定義題型題海漫漫，但其中的數學知識、技能、思想、活動經驗不變，所需的數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養不變，勇于追求、實踐創新的數學精神不會改變.這正是教師教學的重點.

另一方面，19題猶如奧賽題，在有限時間內考查學生的數學思維能力和綜合運用能力，三問全部做對的學生不會多，所以，預計此題的區分度不好，其價值值得探討.高考如何命制新定義題，使之真正能考查出學生的數學能力、區分和選拔出國家需要的優秀的數學人才，而非僅個別或極少數的學生全部做對，是高考命題應該注意的問題之一.

參考文獻

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［2］張召生，韓紅梅.培養具有創新思想和良好思維品質的數學人才：一道2022年高考數學試題的啟示［J］.中學數學雜志，2022（07）：53-55.

［3］徐加華.透視高考中的定義型題目［J］.教學與管理，2008：50-52.

［4］王雅琪.坐標一橋飛架，數形天塹變通途：談2015年高考數學北京卷對解析幾何的考查［J］.數學通報，2016（03）：46-49.

［5］李啟超，潘國雙.北京高考數學壓軸題的教學實踐與反思［J］.數學通報，2017，56（01）：45-48.

［6］吳增生.數學思想方法及其教學策略初探［J］.數學教育學報，2014，23（03）：11-15.

［7］中華人民共和國.普通高中數學課程標準：2017版2022年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020：2.

作者簡介 王金月（1998—），女，山東東營人，研究生；主要從事中學數學教育研究.

王瑞菲（2000—），女，山東德州人，研究生；主要從事中學數學教育研究.

孔震（1969—），男，山東曲阜人，正高級教師；山東省省級教學成果獎獲得者，濟寧市有突出貢獻的中青年專家，濟寧市特級教師，濟寧市首批名師工作室主持人，濟寧市教育教學工作先進個人，濟寧市教育科研先進個人，濟寧市優質課一等獎獲得者；主持并高質量完成了5個省級課題和2個市級課題，獲山東省省級教學成果三等獎1項、山東省教學研究優秀成果二等獎1項、濟寧市教育科學研究優秀成果一等獎1項；被曲阜師范大學數學科學學院聘為“研究生專業學位校外實踐導師”；主要從事高中數學教育教學研究；發表論文10余篇.