非線性隨機響應單側尾部分布的代理模型算法

摘要： 對于大型復雜結構的非線性隨機響應，隨機模擬法是較為實用的工程分析方法。然而對于需要大量樣本的尾部概率估計，高昂的計算成本限制了該類方法的應用。為了降低計算成本，開發了基于主動學習的高斯過程代理模型算法，但其主動學習優化策略仍需進一步完善，以滿足工程中對單側尾部概率分布估計精度的需求。為此提出了一種具有智能關注功能的搜索函數，構建了針對工程中事故風險極高的單側尾部的算法。以地鐵隧道環梁和襯砌間復雜粘結滑移行為為例，驗證了該算法的有效性。相比原有算法，本文算法對單側尾部概率的估計誤差降低了30%。本文算法能更精確地估計復雜結構隨機響應分布的單側尾部概率，進而估計極端事故的發生概率，為風險測度和防災管理決策提供量化分析依據。

關鍵詞： 隨機振動； 非線性響應； 高斯過程代理模型； 主動學習； 尾部概率

中圖分類號： O324； O322 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）09-1485-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.005

引 言

過去數十年里，為適應復雜結構的工程可靠性設計，結構隨機響應［1?2］研究得到了長足發展，產生了隨機有限元［3］、隨機攝動［4］、概率密度演化［5］和隨機模擬［6］等分析方法。但大部分方法在實際應用中仍面臨兩個挑戰，一是很難深度嵌入商業用軟件，二是對極小概率事件估計的計算成本過高。

為了解決第一個問題，基于代理模型的隨機模擬法被提出來［7］。代理模型是對原始復雜模型的近似，它能夠在保持合理精度的同時，大幅降低計算成本，更加便捷地實現直接隨機模擬分析，從而為工程不確定性量化估計提供更具效率的解決方案。

高斯過程模型［8］是目前常用的代理模型，作為一種非參數模型，可以靈活擬合復雜的非線性關系，更重要的是，它能夠量化估計響應預測的不確定性，并得到預測結果的置信區間，這對于提升評估預測結果的有效性具有顯著作用。另外，近些年快速發展的神經網絡模型也成為代理模型的有效備選方案［9］。結合高斯過程的不確定性量化特性和深度學習的高表達性的深度高斯過程［10］是目前最前沿的方向之一。

KAYMAZ［11］首次將高斯過程模型作為代理模型引入結構隨機響應分析領域，但需要通過進一步的自適應實驗設計策略對該模型進行優化。BICHON等［12］和SCH?BI等［13］提出主動學習策略，通過專門設計新增實驗樣本以優化模型。ECHARD等［14］通過幾個算例驗證了該主動學習策略對處理高非線性、不可微、非凸等問題的有效性。但文獻［14］采用的算法的優化目標僅限于估計指定閾值的失效概率，而工程中往往更關注高風險區間的分布函數，因此該方法只能逐一迭代地更改閾值，利用離散的計算結果來表征隨機響應，分析效率尚不能滿足實際工程分析需求。

基于主動學習的高斯過程算法（Active Learning?Based Gaussian Process， AL?GP）能同時估計累積和互補累積分布函數［15］。相較于傳統的針對特定閾值的方法，該算法采用以某個區間為優化目標的策略，能夠更清楚地描述概率分布。

一些罕見但危害重大的事故通常呈現為小概率的分布函數的“尾部”事件［16］，現有的AL?GP方法提供了估計尾部概率的解決方案，但在實際工程應用中，對尾部概率估計的精度仍然不足，尤其是在計算復雜非線性結構響應的尾部概率時，其計算效率需要進一步提高。

為了使AL?GP更精確、高效地估計尾部小概率，本文提出一個對尾部區間更具智能關注能力的搜索函數，并建立相應算法，顯著降低非線性結構響應的單側尾部估計誤差。另外，為了驗證本算法在實際工程結構上的計算效率，實現算法程序與商業有限元軟件的交互結合，開發出一個隨機響應分析平臺，以便快速求解結構響應的單側尾部概率。本文以來自實際工程的案例——地鐵隧道環梁和襯砌間的粘結滑移行為分析，驗證了算法的有效性。

1 針對單側尾部的AL?GP算法

結構隨機響應分析中，給定輸入的聯合隨機參數x，需要關注輸出的結構響應Y的隨機性。從x到Y的確定性映射關系G（·）為：

（1）

雖然式（1）形式簡潔，但G（·）在復雜結構中代表著一個計算成本極高的數值模型。這使得基于式（1），難以通過直接隨機模擬法估計Y的隨機性。直接隨機模擬法，即蒙特卡羅模擬法（Monte Carlo Simulation， MCS）適用性極強，可以應用于非侵入式有限元計算，但由于它需要對每個隨機參數樣本執行一次完整的數值模擬計算，因此應用在規模龐大的復雜結構中會非常耗時。故本文提出了尾部敏感的學習算法，不僅擬合出了替代G（·）的快速代理模型M（·），還對單側尾部的計算實現了優化。

（2）

式中 F（·）為分布函數；y為結構響應Y的變量形式；n為隨機參數樣本總量；為指示函數，其中時=1，否則= 0。

1.1 針對單側尾部的AL?GP算法的流程

如圖1所示，本節介紹的算法是對AL?GP算法的針對性改進，使其更適用于具有單側尾部風險的分布。為了滿足關注單側尾部的要求，開發了一個搜索函數，分析步驟如下：

（1）使用拉丁超立方抽樣法，針對變量——混凝土強度、鋼材（螺栓）屈服強度、極限強度、彈性模量生成初始訓練集Xs，再用G（·）計算出對應的精確輸出變量Y，本文中為螺栓滑移量。

（2）使用訓練集｛Xs ， Y｝訓練高斯過程代理模型，核函數選用高斯核函數。

（3）生成一個大樣本量的備選集Xc，計算對應的三重估計。

（4）計算損失函數，如果停止準則被滿足，則結束算法，否則進入步驟（5）。

（5）利用本文提出的搜索函數，找到誤差最大的。

（6）在Xc中搜索，找到使學習函數最大的樣本x*，并計算出其對應的真實值y*。

（7）將｛x*，y*｝增加進｛Xs ， Y｝。

（8）返回到步驟（2）。

1.2 樣本初始化

初始訓練集Xs可由分層抽樣法得到，如拉丁超立方［17］抽樣法。本文的初始訓練集樣本個數設置為20個。雖然這個數量可以是任意值，但考慮到唯一確定包含n個變量的二次多項式需要至少［（n+1）?（n+2）/2］個樣本（樣本數量需要大于系數數量，變量n的二次多項式具有［（n+1）（n+2）/2］個系數），本算例中變量個數為4，那么樣本個數最好大于16。保守起見，初始訓練集樣本個數取為20。

備選集Xc可根據變量的概率密度函數用直接抽樣法得到， 樣本規模為106。此樣本規模確保了當尾部概率大于10-3時，變異系數始終小于5%。

1.3 的三重估計

在利用訓練集Xs完成高斯過程代理模型的超參數取值后，下一步要預測備選集Xc的響應量。高斯過程預測的具體原理［18］不在此贅述，主要介紹如何對初步訓練后的高斯過程模型進一步優化。最終不僅要得到確定性的預測值，還需要得到預測結果的置信區間，以便衡量代理模型的不確定性，為后期優化提供依據?；诟咚惯^程中對所有輸出變量具有多元聯合高斯分布的假定，任意一個輸出值都符合高斯分布。故只需要在中心預測的基礎上加減一定的標準差得到上、下限值，被稱為三重預測：

（3）

式中 ；為新增訓練樣本的預測均值；為新增訓練樣本的預測標準差；k值代表置信水平。對，的三重預測模型分別為，，。比如，意味著用 作為備選集Xc對應的Y。

綜上，根據式（2）和（3）， 結構響應Y的累積分布函數（Cumulative Distribution Function， CDF）同樣具有三重預測：

（4）

式中 。備選集Xc 需要保持一致以確保。

1.4 誤差函數

雖然三重預測提供了置信范圍，但還需要一個綜合指標（即誤差函數）評估模型的不確定性。當置信范圍較小時，預測的確定性程度較高；而當置信范圍較大時，預測的不確定性較高，可能無法滿足工程分析需求，就需要修改代理模型。為了衡量模型的不確定性以便做出是否修改模型的決策，需要將這個置信范圍積分，具體表示為：

（5）

式中

（6）

為了避免式（6）中的分母為0，將積分范圍由原始范圍變換為（）。這個新的積分范圍就是工程分析需要關注的概率分布區間。式（6）的分母形式有助于關注雙側尾部。

閾值ε可設置為：

（7）

式中 為一個特定值，表示式（6）應該平均地小于，一般設為0.1。

1.5 學習函數

在完成上述定量評估后，如果誤差沒能低于閾值，就需要優化代理模型。對高斯過程模型來說，增加訓練樣本數量是最直接的優化方式，然而，如何增加訓練樣本決定了優化的效率，定義學習函數為：

（8）

式中 為誤分類概率；Φ［·］為標準高斯分布的CDF；y'為結構響應Y的關鍵值；為新增訓練樣本的中心預測值。式（8）意味著新增的樣本既要接近y'，又要預測標準差高，才能使誤分類概率最高。通常情況下，使誤分類概率最高的樣本是最值得學習的樣本。因此，如何發現最優的y' 就成為一個關鍵問題，為此本文提出了一個新穎的搜索函數來尋找y'。

2 帶激活函數的搜索函數

提出一個帶激活函數的搜索函數是本文對原有AL?GP方法最主要的改進。在原始的AL?GP算法中，有一個關注單側尾部的方案，即將式（6）分母改為或?？梢杂^察到這個關注單側尾部的方案并不是原方法精心設計的，因為原方法的本意是對偶地關注雙側尾部。受到函數形式的限制，它對單側尾部的重視能力是有限的，這可能導致它無法滿足實際工程對單側尾部估計精度的要求。在實際工程中，極端災難事件往往只發生在結構響應量分布的單側尾部，但造成的損失又是巨大的，其風險不可忽略，需要更精準的估計。

因此，有必要通過改進，賦予搜索函數一種智能的關注功能，加大對極端事件的關注程度，以提高對風險極大的單側尾部的估計精度。在式（5）中對誤差函數定義的基礎上，常規做法是定義搜索函數為找到使誤差函數W*（·）最大的y'。但如上所述，還要考慮極端事件的風險，故不妨從風險視角出發，對誤差函數加權，形成新的搜索函數，具體表示為：

（9）

式中 表示一個以 y' 為中心，且參數為ω的高斯核函數，用于實現誤差的局部化而不僅僅只考慮點誤差；α（y'） 表示激活函數；的形式見式（6）。

由于風險函數往往是單調非線性的，神經網絡中的激活函數正好具有這種性質，因此選取了三種激活函數作為可能的選項，分別是Sigmoid，tanh和ReLU。本文提供的函數形式是遞增的，意味著關注程度隨響應量值的增加而增加，即搜索函數更關注分布的右尾。另外，簡單地用代替即可實現關注對象的對稱翻轉，以便關注分布的左尾。下面介紹最終的搜索函數。

激活函數，式（9）展開為：

（10）

式中 ；的定義域為［-3， 3］。

激活函數，式（9）展開為：

（11）

式中 ；的定義域為［0， 1.85］。

激活函數，式（9）展開為：

（12）

式中 ；的定義域為［0，0.95］。

三種函數的值域上限都約為0.95，以方便等效對比。

該搜索函數將模型不確定性和風險相結合，定義了一個評價結構響應Y關鍵程度的指標。使這個指標最大的就是式（8）的學習函數定義中的關鍵值：

（13）

其中高斯核區域被［ylower， yupper］截斷，歸一化常數Z設置為：

（14）

σ（y'）在下式中求解，這是AL?GP的簡化方法。基本原理是在Xc中找到y'的最近點，用最近點的σ值代替σ的精確值。

（15）

通過搜索函數，找到了結構響應Y的關鍵值，為隨后學習函數的使用掃清了障礙。有了，問題重新回到最初，即尋找使學習函數最大的新增訓練樣本：

（16）

3 算例分析

盾構隧道是城市地鐵首選的施工方法，具有許多優點。然而，在軟土地區，地鐵運營過程中可能會出現不均勻沉降，這會影響盾構隧道的長期性能?？紤]到中國有些大型城市位于軟土地區［19］，不均勻沉降的潛在風險值得關注。

如圖2所示，在盾構管片和車站后澆環梁的連接段，由于兩者在結構形式和荷載方面存在顯著差異，縱向不均勻沉降更容易發生。在這種情況下，如果埋入環梁的螺栓錨固長度不足，可能導致螺栓與混凝土發生較大的相對滑移，進而導致縱向環縫張開［20］，引發滲漏問題，甚至可能導致盾構管片與車站后澆環梁受拉破壞。這不僅會影響地下結構的防水性和耐久性，還有可能威脅整個地下空間的安全。

如果按照可靠性規范嚴格設計，這種事故發生的概率很小，但一旦發生，可能造成巨大損失。因此，這屬于典型的小概率大損失事件?？墒褂帽疚奶峒暗姆椒炕烙嬤@種災害風險。

以某地鐵車站為例，盾構管片與車站后澆環梁連接段構造如圖2所示，后澆環梁采用C35混凝土；盾構管片采用C50混凝土。管片與后澆環梁縱向通過10根M27螺栓連接，螺栓機械強度為8.8級，長0.5 m，細部構造如圖2所示。連接段螺栓左端通過手孔與管片連接，與混凝土沒有接觸；右端預埋入后澆環梁，埋入長度為0.25 m。

3.1 結構參數隨機性

結構隨機源及其分布統計量［21?22］如表1所示：

3.2 新增訓練樣本的分布

過大的滑移量是鋼筋混凝土結構粘結錨固破壞的重要表征。因此需要重點關注滑移量分布函數的右尾。為了對比AL?GP和本文算法，之后討論的AL?GP算法是式（6）分母改為的關注單側右尾的形式。從圖3反映的計算結果可以看到，與既有的AL?GP算法相比，本文提出的針對單側尾部的算法能夠更有效地將新增訓練樣本集中在單側尾部區域。這為代理模型在結構響應的尾部具備更出色的預測能力打下基礎。另外，顯然不同的激活函數導致不同的樣本點分布，這與激活函數的形式有關。在高斯過程預測中，預測值是訓練樣本輸出值的線性組合，特定概率區間內投入的訓練樣本越多，預測不確定性就會越低。而由圖3可以看出，相比Sigmoid，ReLU函數將更多的樣本投入在極端小分位點區域，因此ReLU函數更適合事故分位點極端小的結構響應，而Sigmoid函數則適合分位點較大的結構響應。

3.3 單次算法運行中的誤差迭代

誤差是評價模型不確定性的指標，在向右尾新增更多訓練樣本后，誤差的迭代變化反映了模型精度的變化。由于只關注右尾的模型精度，因此將誤差積分范圍［ylower，yupper］設為。由于沒有對誤差積分范圍細化，三種激活函數的表現近似，這里僅對比AL?GP 和采用Sigmoid激活函數的本文算法的表現，結果如圖4所示。盡管高斯過程模型由于超參數選取導致其具有固有的隨機性，誤差下降并非完全連續，但仍能觀察到誤差下降呈現先急后緩，逐漸收斂的趨勢。而值得注意的是，本文算法隨著迭代次數的增加，誤差下降速度更快，并且收斂到一個更低的水平。該結果源于高斯過程預測可以看作線性平滑器［18］，預測值是訓練樣本輸出值的線性組合。由圖3可以看出，在相同迭代次數下，采用本文算法投入的訓練樣本，輸出值更多地分布在單側尾部，因此該區域的預測誤差會更快下降。而由于高斯過程是一種概率模型，它對于任意給定的輸入，會輸出一個概率分布而不是一個確定的數值。隨著樣本數量的增加，模型的不確定性可能會減小，但不會完全消失。因此本文算法只能有限度地提高精度。

3.4 算法大量運行后誤差的統計量

為了避免計算僅僅運行一次可能存在的偶然性，本節需要觀察多次運行后計算誤差的統計量，結果如表2所示。本文算法在誤差期望上相較于既有算法降低了30%，這意味著代理模型在右尾上能達到更高的收斂精度。而且，極低的標準差意味著結果的穩定性好?？傮w來看，相較于既有算法，采用Sigmoid激活函數的本文算法在滑移量的右尾部分能夠實現更為精確的預測，并且結果表現穩定。

3.5 互補累積分布函數的迭代

雖然上述結果表明代理模型的誤差足夠小，但仍然存在一個疑問，即代理模型是否足夠接近于復雜結構數值模型。因此需要驗證基于代理模型預測的結構響應量的分布函數是否與復雜數值模型一致。相較于概率密度函數，本文選擇了互補累積分布函數［23］（Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF），因為它更能反映結構響應量的右尾部分。將AL?GP算法和本文算法中CCDF函數的迭代情況進行了比較，結果如圖5所示。

正如3.3和3.4節所述，相較于AL?GP算法，本文提出的算法訓練的代理模型具有更低的不確定性，這在CCDF圖中表現為灰色區域更為緊湊。同時，紅色實線與藍線高度重合，說明代理模型與真實復雜結構模型得到的隨機響應極為接近，充分驗證了代理模型的正確性。這進一步證明了本算法在處理復雜非線性結構模型時的有效性。

4 結 論

本研究旨在改善結構隨機響應分析的預測精度和計算效率，提高對結構響應單側尾部的關注。提出了一種基于主動學習的高斯過程算法。設計了針對單側尾部的AL?GP算法的流程，包括學習函數和搜索函數，以便更有效地尋找新增訓練樣本，實現主動學習的模型優化。得到的主要結論如下：

（1）由于導入本文提出的搜索函數，本文算法在新增訓練樣本的選擇和分布上能夠更好地關注單側尾部，更好地擬合復雜結構模型的尾部概率分布。誤差迭代結果顯示本文算法在誤差下降速度和最終收斂水平上表現得更加出色，誤差降低了30%。多次運行的誤差統計量分析也驗證了本文算法的優勢。

（2）在驗證代理模型的準確性方面，比較了本文算法與復雜結構數值模型的CCDF函數，結果表明本文提出的代理模型預測的結構響應量的分布函數與真實模型非常接近。

本文提出的算法能夠更有效地擬合結構非線性隨機響應的尾部概率分布，有利于更準確地評估結構響應的風險。

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A surrogate algorithm for the one?sided tail of structural random nonlinear response

YIN Wei?hao1， YANG Hai?ting1， HUANG Yan?wen1， YANG Cheng2， Lü Da?gang3

（1.School of Civil Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China； 2.National Engineering Research Center of Geological Disaster Prevention Technology in Land Transportation， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China； 3.School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract： In the realm of stochastic nonlinear response analysis for large and intricate structures， the Monte Carlo simulation method stands out as a pivotal approach. However， its widespread practicality is hampered by its exorbitant computational cosJHR0wxztfnXsLPNmehNr4A==ts. To surmount this challenge， researchers have endeavored to develop the active learning?based Gaussian process surrogate model algorithm. Despite its promise in reducing computational expenses， the optimization strategy associated with active learning necessitates further refinement to meet the exacting demands of engineering applications. For this purpose， we introduce a search function endowed with ‘intelligent’ attention capabilities. This function is meticulously crafted to concentrate on exceedingly high?risk one?sided tail events in engineering scenarios. By incorporating this search function， we have engineered an algorithm that surpasses existing methodologies. Our algorithm finds successful application in the analysis of complex adhesive anchoring structures within subway tunnel rings and linings. Compared to conventional methodologies， our algorithm exhibits a remarkable 30% reduction in the estimation error of single?tailed probabilities. This advancement facilitates a more precise estimation of the one?tailed probability distribution governing the stochastic response of complex structures. Consequently， it enhances the precision of assessing the occurrence probability of extreme events. These findings yield invaluable insights for decision?making processes in pertinent engineering domains and insurance sectors.

Key words： random vibration； nonlinear response；Gaussian process surrogate model；active learning；tail probability

作者簡介： 尹煒浩（1999―），男，碩士研究生。E?mail： 1134343712@qq.com。

通訊作者： 楊 成（1977―），男，博士，副教授。E?mail： yangcheng@swjtu.edu.cn。