借數(shù)學之“手”，破物理難題

【摘要】解題教學是高中物理課程教學的重要組成部分，學生解題能力的提升是一線教師關注的焦點話題.本文從高中物理解題視角出發(fā)，重點剖析用數(shù)學思維解決物理問題的具體方法與手段，以期實現(xiàn)物理難題的突破，進而提升物理解題的效率.

【關鍵詞】高中物理；數(shù)學思維；解題教學

在新課改背景下，落實立德樹人的根本任務是高中物理教育教學的重要要求，從高考評價體系的視角來看，試題注重考查學生對物理基礎知識與規(guī)律的探究以及學生的科學思維能力.本文從典型試題入手，重點探討利用數(shù)學知識解決物理問題的具體方法和教學建議，以期助力高中物理課堂教學.

1 借助數(shù)學圖象剖析物理問題

以圖象方式表征文字陳述和物理公式的物理試題，在各級大型質(zhì)量測試中經(jīng)常出現(xiàn)，解決這類物理試題主要從數(shù)學函數(shù)圖象斜率、縱橫軸截距、圖象交點、極值等角度進行思考，在解決物理問題的過程中不斷提升學生分析問題、解決問題、科學推理和綜合應用能力，助力學生科學思維能力的提升.

例1 如圖1所示，電動機牽引質(zhì)量為2 kg的物體沿著傾角θ＝30°的光滑斜面上升，圖2是0～6 s時間內(nèi)物體運動的v－t圖象（其中0～1s，5～6s時間段的圖象為直線，1～5s時間段的圖象為曲線），1s以后電動機以額定功率工作.（重力加速度g＝10m/s2）試求：

（1）物體沿著斜面上升的最大速度；

（2）0～5 s內(nèi)物體沿斜面上升的位移.

解析 （1）在0-1s內(nèi)，加速度a=v1t=5m/s2，

F1-mgsin 30°=ma，即F1=20N，

電動機的額定功率P=F1v1=100W，

最大速度vm=Pmgsinθ=10m/s.

（2）0-1s內(nèi)物體勻加速直線運動的位移x1=12v1t1=2.5m，

1-5s內(nèi)Pt2－mgx2sinθ=12mvm2-12mv12，

即x2=32.5 m，

則x=x1+x2=35m.

點評 本題以v－t圖象為解題的入手之處，利用速度圖象的斜率表示加速度，面積表示位移，結合汽車啟動模型和動能定理的靈活運用進行解題.可見，在物理課堂教學中教師應該引導學生關注數(shù)學斜率知識在物理解題中的有效應用，同時也提醒學生關注圖象的截距和面積的含義及應用.

2 借助幾何關系解決物理問題

數(shù)學作為一門工具型學科，在物理教學中應用十分廣泛，帶電粒子在勻強磁場中運動問題是考查的重點，此類問題主要涉及畫軌跡、找圓心和求半徑，不少學生對此類問題感到比較困難，解題效率不高，實際上可以利用數(shù)學幾何關系進行求解，往往能夠達到意想不到的效果，學生在解題中獲得物理思維素養(yǎng)的提升.

例2 在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)存在足夠長的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里，如圖3所示，平行x軸的邊界線將磁場劃分兩個區(qū)域，區(qū)域I的寬度為L，區(qū)域Ⅱ的寬度為2L，y軸上P點處的離子源沿紙面內(nèi)向磁場區(qū)域不斷發(fā)射質(zhì)量為m，電量為q的正離子，速度方向與水平方向夾角為53°，忽略離子重力和正離子之間的相互作用，試求：若離子速度大小v=5qBLm，則離子進入?yún)^(qū)域Ⅱ與邊界的夾角θ.

解析 以v=5qBLm進入磁場區(qū)域I運動軌跡如圖4所示，做勻速圓周運動的半徑r=mvqB=5L，根據(jù)幾何關系可知，離子勻速圓周運動的圓心至區(qū)域Ⅱ邊界的距離d=rcos53°+L=4L，則cosθ=dr=0.8，即θ=37°.

點評 帶電粒子在磁場中的運動問題是高中物理考查的重點和難點，解決此類問題主要是根據(jù)題意畫軌跡，根據(jù)圓周運動特征找圓心，再根據(jù)數(shù)學幾何關系求半徑，結合洛倫茲力提供向心力列方程進行求解.此類問題解決的關鍵是“數(shù)學幾何知識”求半徑的過程，物理教師應該重視引導學生運用數(shù)學幾何知識求解問題.

3 借助微元思想求解物理問題

物理解題方法的探討一直是一線教師關注的焦點，解題方法的靈活運用是高效解題的重要保障.微元法是從數(shù)學視角對研究對象進行無限截取微小單元，對該微元進行物理分析及規(guī)律運用進行解決問題.微元思想方法能夠有效處理變量問題，特別是電磁感應中的相關問題.

例3 在水平面內(nèi)固定一個頂角θ=45°的金屬導軌MON，如圖5所示，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌向下，質(zhì)量為m的導體棒與ON垂直，在水平外力作用下以恒定速度v0沿導軌MON向右滑動，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸；t=0時，導體棒位于頂點O處，在水平外力作用t0時刻后撤去，試求：導體棒移動的最遠水平距離.

解析 根據(jù)題意，撤去外力后，設任意時刻t導體棒的運動距離為x，速度為v，取很短時間Δt（很短距離Δx）.

如圖6所示，在t～t＋Δt內(nèi)，由動量定理得－BIlΔt＝mΔv，

根據(jù)歐姆定律可得

I=ER=Blv2+2lr=Bv2+2r，

則－∑B22+2rlvΔt=∑mΔv，

B22+2rΔs=mv0，

在此過程中掃過面積ΔS=x0+xx－x02=x2－x202，（x0＝v0t0），

可得x=22+2mv0rB2+v0t02.

點評 本題主要涉及電磁感應中的變速運動問題，導體棒撤去外力后做加速度不斷減小的減速運動，常規(guī)的勻變速運動公式難以處理，對于這類變速問題處理的常見手段是微元法，選取微元Δt、Δv、ΔS，讓變量視為衡量處理，再利用微元累積求和實現(xiàn)難點的突破與求解，不斷提升學生數(shù)學思想方法融合物理解題的應用能力.

4 結語

總而言之，數(shù)學思想方法是解決物理問題的一種重要手段，物理教師在教學實踐中應該引導學生靈活運用數(shù)學知識與規(guī)律解決物理問題，讓學生實現(xiàn)物理問題向數(shù)學問題的轉化，達成數(shù)學思維在物理解題中有效應用的目標，進而培養(yǎng)學生物理學科的思維素養(yǎng)，促進學生物理學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

［1］陶德泉.數(shù)學知識與思想方法在高中物理解題中的應用探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（22）：130-132.

［2］劉長強.數(shù)學定理在高中物理力學解題中的有效應用研究［J］.中學理科園地，2022（03）：65-68.