循規為圓，以智為徑

在本章中，有一類問題，題目中不能直接發現圓，若我們沒有轉化分析出題設中有關圓的信息，則難以直觀地解決。這里，我們將對解決此類問題的策略方法進行總結，希望對同學們有所幫助。

動點到定點等于定長

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=6，BC=8。點F在邊AC上，并且 CF=2， 點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點Р處，求點Р到邊AB距離的最小值。

【解析】因為E是動點，所以EF、EC、EP都在變化。但是FP=FC=2是不變的，故點P到點F的距離是“定長”，等于2，即點P在⊙F上運動，如圖2。由“垂線段最短”可知，當FH⊥AB時，FH最短，故當F、P、H三點共線時，PH最短。又因為△AFH

∽△ABC，所以AF∶FH∶AH=5∶4∶3。又因為AF=4，故FH=3.2。又因為FP=2，故PH最短為1.2。

【方法總結】①發現圓：出現定點、定長；

②構造圓：以定點為圓心，定長為半徑作圓。

[圖示 lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-3.tifgt; 特點 平面內，點A為定點，點B為動點，且AB為定長 結論 B的軌跡在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上 ]

例1中通過翻折得到相等線段，圖3中旋轉也可以構造定點、定長。我們發現，確定定點、定長往往需要理解題意，利用翻折、旋轉、對稱等知識找到所需要的條件，分析出動點的軌跡，構造出輔助圓，將動態問題轉化為靜態問題。

四點共圓

例2 如圖4，點B在直線l上，過點B構建等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，且AB=AC，過點C作CD⊥直線l于點D，連接AD。將射線AD順時針旋轉90°交直線l于點E，求出線段AD、BD、CD的數量關系。

【解析】由∠BAC=90°，且AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=45°。由∠BAC=∠BDC=90°，推出A、B、C、D四點共圓，所以∠ADB=∠ACB=45°。由題意，可知△EAB≌△DAC，所以BE=CD。由AE=AD，∠EAD=90°，可知△ADE是等腰直角三角形，推出CD+BD=EB+BD=DE=[2]AD。

【方法總結】①發現圓：出現兩個三角形有一條公共邊，且這條公共邊所對的兩個角相等；

②構造圓：利用同弧（同弦）所對的圓周角或圓內接四邊形對角互補，構造四點共圓（提示：可用反證法證明）。

[類型 圖示 特點 結論 同側型 lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-6.tifgt; AB為△ABC和△ABD的公共邊，點C、D在AB的同側，且∠C=∠D 點A、B、C、D在同一個圓上 lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-7.tifgt; AB為△ABC和△ABD的公共邊，點C、D在AB的同側，且∠C=∠D=90° 點A、B、C、D在同一個圓上，且AB為圓的直徑 異側型 lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-8.tifgt; AB為△ABC和△ABD的公共邊，點C、D在AB的兩側，且∠C+∠D=180° 點A、B、C、D在同一個圓上 lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-9.tifgt; AB為△ABC和△ABD的公共邊，點C、D在AB的兩側，且∠C=∠D=90° 點A、B、C、D在同一個圓上，且AB為圓的直徑 ]

定弦對定角

例3 在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點P是△ABC內一點，滿足∠CBP=∠ACP，則PA的最小值為 。

【解析】因為∠ACB=90°，∠CBP=∠ACP，易證∠CPB=90°，所以點P在以BC為直徑的圓上運動。在△APO中，AP≥AO-OP，所以當點P在線段AO上時，PA有最小值。而PO=CO=BC=3，在Rt△ACO中，易得AO=5，所以PA的最小值=5-3=2。

【方法總結】①發現圓：出現“定邊”且邊所對的角為“定角”；

②構造圓：作含“定邊”“定角”的三角形的外接圓，則“定邊”為圓的一條弦，“定角”為弦所對的圓周角。

[圖示 lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-11.tifgt; lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-12.tifgt; lt;d：＼jr工作＼初中生＼9年級＼10＼陸青-13.tifgt; 特點 在△ABC中，AB=a為定長，∠C=α為定角 結論 當α＜90°時，點C在優弧[ACB]上運動，∠ACB=[12]∠AOB 當α=90°時，點C在⊙O上運動，弦AB為直徑 當α＞90°時，點C在劣

弧[AB]上運動，[12]∠AOB+

∠ACB=180° 推論 構成等腰三角形時，點C到AB的距離最大，且此時△ABC的面積最大 ]

（作者單位：江蘇省南京東南實驗學校）