他山之“圓”，可以攻玉

圓的相關問題常常與多種圖形相結合，這使得我們在解題過程中容易出錯。現整理我們易做錯的問題進行解析，以幫助大家查漏補缺，加深對圓的理解。

審題不仔細

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，若以C為圓心，r為半徑作圓，⊙C與斜邊AB只有1個公共點，則r的取值范圍是（ ）。

A.r=4.8

B.6＜r＜8

C.r=4.8或6＜r＜8

D.r=4.8或6＜r≤8

【錯誤解答】選A。

【錯因分析】本題僅從“只有1個公共點”得出直線與圓是相切的關系來求解而出錯，沒有關注到條件是“⊙C與斜邊AB”，而不是“⊙C與直線AB”。因為斜邊是線段，所以本題中圓與斜邊的關系應分類討論求解。

【正確解答】當⊙C與斜邊AB相切時，切點記為D，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理求得AB=10，根據面積法可得[12]AB·CD=[12]AC·BC，將相應數據代入，解得CD=4.8，即r1=4.8；當⊙C的半徑為r2（此時r2＞6，通過畫圖可知，如圖1），⊙C與斜邊AB也只有一個公共點，進一步畫圖嘗試，當r2逐漸增大到8時均符合題意，因此6＜r2≤8。綜上所述，選D。

隱含條件挖掘不夠

例2 已知△ABC中，AB=4，AC=3，當∠B度數最大時，求BC的長。

【錯誤解答】5。

【錯因分析】△ABC中，由于AB=4，AC=3，就認為BC=5。這是受勾股數3、4、5的影響所致。事實上，題目中并沒有∠A=90°這個條件，而當∠B取得最大值時，∠A也不是90°，所以我們不能毫無根據地解答問題，而應挖掘題目中的隱含條件：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點叫作圓心，定長叫作半徑。當題目中出現“定點”“定長”的條件時，我們可以考慮挖掘隱圓來輔助解題。

【正確解答】由題意，△ABC中只有AB、AC兩條邊長確定，這時它們的夾角∠A起到了決定性作用。但∠A在由小變大的過程中，點C到點A的距離始終等于3，聯想到圓的定義，可以發現點C的運動軌跡為以點A為圓心，半徑長為3的圓，即圖2中的⊙A就是要挖掘的隱圓。我們可以發現，當BC與⊙A相切時，∠B取得最大值，此時由勾股定理求得BC=[7]。

切線的證明方法有誤

例3 如圖3，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，⊙O與AB相切于點E。

求證：⊙O與AC相切。

【錯誤解答】設⊙O與AC的公共點為F，連接OE、OF。∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC。∴OE=OF。∵⊙O與AB相切于點E，∴OE⊥AB。∴OF⊥AC，且OF為半徑。∴⊙O與AC相切。

【錯因分析】切線的判定定理如下：經過半徑的外端，且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。而本題的已知條件并沒有明確⊙O與AC公共點的情況，所以“設⊙O與AC的公共點為F”是錯誤的，在此基礎上的推理也就沒有了依據。要證明一條直線是圓的切線時，常見思路有以下兩種：①若已知直線與圓的公共點，則采用判定定理法，即連接過該點的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可；②若直線與圓的公共點不明確，則采用數量關系法，即過圓心作直線的垂線段，證明這條垂線段等于半徑即可。

【正確解答】過點O作OF⊥AC。∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。∵⊙O與AB相切于點E，∴OE

⊥AB。∵OF⊥AC，∴∠OEA=∠OFA=90°。又∵AO=AO，∴△AOE≌△AOF（AAS）。∴OE

=OF。∵OE是半徑，∴OF也為半徑。

∴⊙O與AC相切。

（作者單位：江蘇省南京博頌學校）