深究教材例題，提高解決問題能力

本章中有許多與圓相關的基本圖形，這些圖形不僅僅包含豐富的幾何圖形的性質，還含有基本的數學思想方法。如果我們細細研讀這些圖形，并結合中考題做些思考，那一定會讓我們的解題能力得到較大的提升。

【蘇科版數學教材九（上）第57頁例3】如圖1，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，[AE]=[AB]，BE分別交AD、AC于點F、G。判斷△FAG的形狀，并說明理由。

本題包含了等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是直角、直角三角形的兩個銳角互余、等角的余角相等這些性質，呈現的圖形是圓中常見的基本圖形。

由“BC是⊙O的直徑”得到Rt△ABC，添加“AD⊥BC”，得到∠BAD=∠C，∠CAD=∠ABC，△ABC、△DBA、△DAC中任意兩個三角形是相似的，以上是最基本的結論。當然，在具體問題中，有時已知一條直徑，需要我們“連接AB、AC”來構造Rt△ABC；有時題目條件中沒有“AD⊥BC”，為了達到解決問題的目的而去“過點A作BC的垂線段AD”。

本例中由“[AE]=[AB]”得到∠ABE=∠C，這就將△ABG與△ADC建立了聯系，進而得到∠DAC=∠AGB。

2023年江蘇省蘇州市的一道中考題就與例題中的基本圖形有關。

如圖2，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC=[5]，BC=[25]，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E。

（1） 求證：△DBE∽△ABC；

（2） 若AF=2，求ED的長。

（1）根據“AB是⊙O的直徑”得到Rt△ACB，容易證明△DBE∽△ABC；解決第（2）問的關鍵是由“AF=2”，你能發現什么？已知△ABC的兩邊長，可以根據勾股定理求得它的斜邊長。F是斜邊上的一點，且AF=2，說明△ABC、△ACF、△CFB的形狀與大小是確定的。聯想基本圖形，我們可以過點C作CG⊥AB，垂足為G（如圖3），通過計算△ABC的面積或由△ACG∽△ABC都可得到“FG=AG=1”。我們發現，△ACF是等腰三角形（AC=FC），進而發現△BFD也是等腰三角形（BF=BD）。由這兩個發現，問題就迎刃而解了。

2024年安徽省的一道中考題，仍然與基本圖形有關，此題不同之處在于由條件去證明“CD⊥AB”，題目條件如下。

如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點，∠ACD的平分線交AB于點E，交⊙O于另一點F，FA=FE。

解決本題的關鍵是“直徑AB所對的∠ACB是直角”，通過FA=FE（△AFE是等腰三角形）得到△CBE是等腰三角形（BC=BE），由此∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°，即可得到∠CDE=90°，所以CD⊥AB。

通過對教材例題和兩道中考題的分析，我們能發現教材例題（也包括練習題、習題）的重要性，要借助基本圖形理解學習內容，強化數學問題的轉化（化未知為已知，化復雜為簡單），在應對問題的變化中，領悟知識之間的聯系，總結與提煉解決問題的經驗。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區桃紅初級中學）