巧添輔助線，妙解“圓”問題

要學(xué)好平面幾何，學(xué)會(huì)添加輔助線是解題關(guān)鍵。添加合適的輔助線對(duì)于解決圓的問題至關(guān)重要。輔助線的添加方法有很多，我們平時(shí)除了要關(guān)注圖形結(jié)構(gòu)，還要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

圓的有關(guān)計(jì)算

關(guān)于弦長(zhǎng)、弦心距、半徑的計(jì)算，我們通常利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解。求圓中角的度數(shù)，主要利用圓中有關(guān)角的定理來(lái)求解。

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 。

解：如圖2，設(shè)⊙D與y軸相切于點(diǎn)M，連接MD并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)N，連接BD。易得OM=2。設(shè)圓D的半徑是r，∴DB=r，DN=4-r。∵BD2=DN2+NB2，∴r2=（4-r）2

+22。∴r=[52]。∴MD=[52]。∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（[52]，2）。

點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外；直線與圓的位置關(guān)系有：相離、相切、相交。

例2 如圖3，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC∥PB交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若∠P=α，則∠PBC的度數(shù)為（ ）。

A.90°+[12]α B.90°-[12]α

C.180°-α D.180°-[12]α

解：如圖4，連接OA、OB。∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°。

∵∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，

∴∠AOB=180°-α。∴∠ACB=[12]∠AOB=90°-[ 12]α。∵AC∥PB，∴∠PBC+∠ACB=180°。∴∠PBC=180°-（90°-[12]α）=90°+[12]α。故選A。

正多邊形與圓

把一個(gè)圓n等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的多邊形是該圓的內(nèi)接正多邊形，該圓是該正多邊形的外接圓。正多邊形外接圓的圓心叫作正多邊形的中心。正多邊形是對(duì)稱圖形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。

例3 如圖5，⊙O與正六邊形ABCDEF的邊CD、EF分別相切于點(diǎn)C、F。若AB=2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為 。

解：如圖6，連接CF、OC、OF，過點(diǎn)D作DG⊥CF于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥CF于點(diǎn)H。易知△CDG≌△FEH，進(jìn)而可以得到四邊形EHGD是矩形。∴HG=DE=2。∵EF=CD=2，∠DCG=∠EFH=60°，∴FH=CG=[12]EF=1。∴CF=4。

過點(diǎn)O作OM⊥CF于點(diǎn)M。∴CM=[12]CF=2。∴OC=[433]。

圓的綜合題

圓的綜合題包括了圓的基本性質(zhì)、重要定理、切線的判定與性質(zhì)以及圓的應(yīng)用等方面的內(nèi)容。

例4 如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)F。（1）求證：AC=BC；（2）連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，若AO=5，OF=3，求OE的長(zhǎng)。

（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴[AC]=[BC]。∴AC=BC。

（2）解：如圖8，延長(zhǎng)AE交⊙O于點(diǎn)G，連接BG。∵AG為直徑，∴∠ABG=90°。∵CD⊥AB，∴∠AFC=90°。∴∠ABG=∠AFC。

∴FC∥BG。∴△COE∽△BGE。∴[OCGB]=[OEGE]。

∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AF=BF，即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)。∵點(diǎn)O為AG的中點(diǎn)，∴OF為△ABG的中位線。∴OF=[12]BG。

∵OF=3，∴GB=6。∵AO=5，∴OC=OG=5。∴[56]=[OE5-OE]。∴OE=[2511]。

（作者單位：江蘇省南京東南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）