培養學生邏輯推理能力的課堂活動設計

摘要：以“任意角”的教學為例，分析教師在教學中如何培養學生的邏輯推理能力，從而有效地促進學生核心素養的提升.

關鍵詞：任意角；課堂活動；邏輯推理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）27-0053-03

邏輯推理作為數學的思維方式之一， 可以培養學生的觀察能力和思維能力，是提高學生學習能力的關鍵.而培養數學能力的主陣地是課堂，所以本文將給出具體的課堂活動來培養學生的邏輯推理能力.

1學情分析

喻平教授曾指出幾乎所有的數學課會體現出兩種核心素養，分別是數學運算和邏輯推理.由此可見，教師在教學中需要加強對學生邏輯推理能力的培養.高中生已經有了自己的主觀意識，在課堂學習過程中也會尋找自己合適的方法[1].這時教師就要發揮自己在課堂中的主導作用，針對學生設計課堂活動，使學生適應高中的學習節奏，找到自己的學習方式，在這樣的學習過程中，學生的邏輯推理能力能得到很快的提升.

2教材分析

“任意角”是蘇教版高中數學必修一第七章第一節的內容，學生已經學習了函數的概念和性質以及指數函數、對數函數和冪函數.本節內容不僅是對初中所學角的進一步研究，同時還能引出函數的周期性，為今后三角函數的學習奠定了基礎.在角的概念推廣過程中，讓學生經歷由具體到抽象，由特殊到一般，重點提升學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養.下面筆者選取教學中的具體片段來闡述如何設計活動.

3教學過程

3.1情境引入

問題1（教師準備一個時鐘）現在是下午兩點半，而時鐘上還是一點，我們該怎樣把時間校準好？

學生：將時針順時針旋轉一周半.

設計意圖選取時鐘是為了便于學生進入上課狀態，而校準時間的問題則是埋下了兩個伏筆.“一周半”可以打破學生對角不超過360°的認知，“順時針”是給之后角的正負引入奠定基礎.

問題2這個一周半是多少度？初中有沒有這樣的角？如果沒有，是否可以認為初中的角的概念是錯的？下面請同學們小組討論.

設計意圖傳統教學是直接將初中和高中角的定義進行對比，這其實忽略了培養學生探索發現的能力.通過問題1給學生帶來了一個疑惑，促使學生會先回憶初中角的概念.大部分學生不會質疑知識的準確性，但是又清楚“一周半”其實是540°，因而會提出問題：角的大小可能不僅僅是在0°～360°之間，之前的有限角開始向無限角轉化.

教師此時提示學生，剛剛的“一周半”是旋轉而來的，再讓學生結合初中的定義就會發現，初中角的形成是靜態的，而現在角的形成是動態的.

3.2概念推廣

通過剛才的討論，使學生感受角化靜為動這個過程，從而引出高中角的定義.教師要注意不僅要有文字語言，還要有相關的圖形與符號語言.

如圖1，（1）始邊：射線的起始位置OA；（2）終邊：射線的終止位置OB；（3）頂點：射線的端點O.這時，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．然后再提出問題：為什么剛才校準時間要順時針轉540°？不能逆時針轉嗎？

學生：如果逆時針轉540°，那么不會到兩點半，而是變成十一點半.

教師：都是轉的540°，為什么結果不一樣？

學生：可能是轉的方向不同，結果就不一樣.

教師：那我們再想一想，之前有沒有因為方向不同導致結果不同的例子？

此時再讓學生小組討論，發現數軸中實數的正負是和方向有關，以此來推導出角的正負是和旋轉方向有關，討論的結果見表1.

這里教師可以給出兩道判斷題加強學生對概念的理解.

（1）經過1小時，時針轉過30°.（）

（2）終邊與始邊重合的角是零角.（）

設計意圖直接告訴學生逆時針是正角，順時針是負角，那學生就不會思考為什么要分正負.根據數軸上定義實數的正負作為類比對象，學生才意識到角的大小也是要注意方向的.

3.3自主探究

問題3畫出下列角：

30°，135°，-45°，760°，-480°.

問題4如何直觀地看出這五個角之間的區別與聯系？

設計意圖這兩個問題旨在讓學生認識到尋找“平臺”是研究問題的常用方法[2]. 這時教師需要指出，為了研究，我們通常把角放入平面直角坐標系中，一般都是以x軸正半軸為始邊.

問題5當我們把這五個角放入同一個坐標系中，它們有哪些區別？

學生：大小不一樣.

教師：這是最直觀的，那再想一想，其實本質上是哪個地方不同？

設計意圖學生只有經歷這個過程，才會認識到推理的重要性.學生會發現圖中角的終邊落的位置不一樣，那么象限角就能順勢引出來.

教師：我們根據角的終邊的旋轉方向將角分成三類，事實上，同一個事物可能會有不同的分類方式.剛剛我們提到，角的不同本質上是終邊不同，再回到我們畫的圖象上來，看看這些角的終邊的位置有什么聯系？

學生：落在四個不同的象限內.

教師：那我們可不可以再次對角進行分類？

引入象限角的定義：若將角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么角的終邊（除端點外）在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角.

教師追問：根據定義，135°是第幾象限角？90°是第幾象限角？

學生第一個問題好回答，但第二個問題就會反應不過來，因為此時還沒有給出軸線角的定義.教師可以換一個問題，如果點落在坐標軸上，那算不算在某一個象限內？這樣學生就能明白這種終邊落在坐標軸上的角不能稱之為象限角，而是叫作軸線角.

設計意圖從概念出發，通過引入矛盾來激發沖突，可以從正反兩面深化學生對象限角和軸線角概念的本質理解.通過這樣的教學，學生能更全面地掌握角的特性，提高解決問題的能力.

如果想讓學生加深對象限角相關概念的辨析，教師可以給出下面兩個判斷題.

（1）第三象限角一定比第一象限角大.（ ）

（2）鈍角一定是第二象限角.（ ）

問題6觀察下列角你有什么發現？

-300°，-150°，-60°，60°，300°，420°.

繼續讓學生畫圖并小組討論，這樣很容易得出第一個發現：-300°，60°，420°這三個角終邊重合，-60°，300°這兩個角終邊重合.

問題7剛才哪些角的終邊相同？具有終邊相同的角彼此之間有什么關系？你能寫出與60°角終邊相同的角的集合嗎？如何判斷兩個角的終邊是否相同？

設計意圖相比較上一題，本題的角度更加特殊，其目的是讓學生思考問題7，當學生都會寫出60°角終邊相同的角的集合后，再讓他們寫與75°，120°，260°角終邊相同的角的集合.由這些特例，最終讓學生合情推理出與任意角α終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+α，k∈Z}.接著再提出問題：角的概念推廣后角的范圍有怎樣的變化？終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？給學生以自主探索的時間和空間，把學生從傳統的課堂學習中解放出來，使學生由被動接受學習到主動探究學習.

3.4反饋與小結

（1）在①160°；②480°；③-960°；④1 530°這四個角中，屬于第二象限角的是（）.

A.①B.①②C.①②③ D.①②③④

（2）（多選題）下列說法不正確的是（）.

A.三角形的內角一定是第一或第二象限角

B.鈍角不一定是第二象限角

C.相差180°整數倍的角為終邊相同的角

D.鐘表的時針旋轉而成的角是負角

學生完成后可以小組自主校對和討論，教師可以針對錯得多的選項再次進行詳解，最后和學生一起總結本堂課的重點：

（1） 在平面直角坐標系內討論角時，相等的角的終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍.

（2）任何一個與角α終邊相同的角，都可以寫成角α與整數個周角的和的形式.

設計意圖習題的選取不需要太難，不能讓學生因習題難度過高而喪失學習興趣.教師應引導學生自主地總結本節課的學習內容，并通過自評互評的方式促進彼此的學習，這不僅有助于鞏固課程內容，還能深化他們對新概念的記憶與理解.

4教學反思

學習過程中包含的數學思想對學生認知結構的完善提供了幫助.所以在課堂的活動設計中，教師應當發揮自己的主導作用引導學生從初中到高中，從已知到未知，從零散到綜合.本文中情景導入的選擇更加貼近生活，角的概念的推廣不再是讓學生找初高中定義的不同，學生做的相關例題不單單為了鞏固知識，而更側重于讓他們去發現新的問題并進行猜想論證.小組交流以及后面的黑板展示，能夠充分發揮學生的主觀能動性.

5結束語

數學自身的發展需要邏輯推理，而討論培養邏輯推理素養的策略，本質上離不開課堂教學.不少學生的邏輯推理素養非常有限，其原因在于教師對散落在各個模塊中蘊含的推理知識點重視程度不夠，對邏輯推理素養的內涵和培養認識還不夠清晰.只有在教學實踐中探索學生邏輯推理素養培養的有效策略，才能從根本上發展學生的思維品質，提升教育教學質量.

參考文獻：

［1］ 吳建光.基于核心素養的高中數學邏輯推理能力強化分析[J].試題與研究，2023（23）：176-178.

［2］ 石鵬.活動導學，分層探究，自然生成：“任意角”的教學設計與教學反思[J].數學教學通訊，2018（12）：19-21.

［責任編輯：李璟］