函數概念引入初中數學教學中的案例研究與效果分析

摘要：函數是初中數學的核心概念之一，對于學生數學學習具有重要意義.通過探究多種典型的函數案例，包括直線運動問題、等邊三角形的邊長與高的關系及人口增長問題等，分析其在初中數學教學中的應用效果.研究結果表明，這些案例能夠幫助學生直觀理解函數的概念，培養學生建模思維，為后續函數知識的學習奠定基礎.最后對初中數學函數概念引入教學提出了建議.

關鍵詞：初中數學；函數概念；引入案例；教學效果

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）26-0018-03

函數是初中數學教學的重點，涉及一次函數、二次函數、三角函數等多種類型，深刻理解函數概念是學生后續數學學習的基礎.在初中數學教學中，結合生活實際有效引入函數概念，培養學生的函數思維，一直是數學教學研究的重點問題.

1函數概念引入的典型案例

1.1直線運動問題

在初中數學教學中，直線運動問題是一個非常典型的引入函數概念的案例.設物體在某一時間內的路程s與時間t成線性關系，即s=at+b，其中a和b為常數.通過觀察和分析這種關系，可以幫助學生理解一次函數的概念及其特點.

例如，某汽車從A地出發，以恒定速度v行駛到B地，全程耗時t小時，則汽車行駛的路程s與時間t滿足函數關系s=vt，其中v為汽車的速度.通過觀察和分析這一函數關系，學生可以發現路程s隨時間t成正比例變化，即s與t成線性關系.這樣學生不僅可以理解一次函數的定義、函數值等基本概念，而且能夠認識到一次函數圖象是一條直線，斜率表示速度大小等特點.

在教學過程中，教師可以通過設置不同初始位置和時間

，引導學生分析函數關系式中參數a和b的實際意義.例如，若s=5t+20，則初始位置為20米，速度為5米/秒.通過這種分析，學生可以深入理解一次函數的表達式和圖象與實際問題之間的對應關系，培養其將實際問題轉化為數學模型的能力.這有助于學生直觀認識函數概念，為后續學習其他類型函數打下良好的基礎.

1.2等邊三角形的邊長與高的關系

等邊三角形是初中階段非常重要的幾何圖形，其邊長與高線長之間存在函數關系.設等邊三角形的邊長為a，其高線長為h，則h與a之間滿足函數關系h=3a/2.

通過分析這種函數關系，可以引導學生思考問題：邊長a與高線長h之間存在怎樣的聯系？邊長a的變化如何影響高線h的長度？例如，若邊長a增加1個單位長度，則高線長增加多少？學生可以通過計算發現其中蘊含的一次函數概念和特點.這不僅有助于學生理解函數概念，也為后續學習二次函數的性質奠定基礎.

在教學過程中，教師可以設計一些具體的等邊三角形，讓學生測量邊長和高線長，并繪制相應的函數圖象.通過觀察和分析圖象特征，學生可以進一步理解h與a之間的函數關系.這種探索性的學習方式有利于培養學生的數學建模能力.

1.3人口增長問題

人口增長問題是初中數學教學中常見的引入函數概念的案例.某地人口數量P隨時間t的變化可用一次函數P=at+b描述，其中a和b為常數.

通過分析這種函數關系，可以幫助學生理解人口數量隨時間的變化趨勢，并思考影響人口變化的因素，如出生率、死亡率、遷移等.例如，某城市2010年人口為數量50萬，

如果每年增加5萬人，那么可用函數P=50+5t來表示該城市t年后的人口數量.

在教學過程中，學生可以代入不同的時間t，計算出相應的人口數量，并繪制函數圖象.通過觀察圖象的特點，如a表示人口變化速度、b表示初始人口數量等，有助于學生理解一次函數的定義和性質.這種具體案例分析有利于培養學生的數學建模意識和函數思維，為后續學習其他類型函數打下基礎.

總的來說，上述三種案例都體現了函數概念在初中數學教學中的重要應用，為學生理解函數的本質特征提供了生動直觀的素材.教師可以根據教學目標和學生實際情況，靈活選擇和設計相關案例，引導學生主動探索函數概念，培養其數學思維能力.

2案例應用效果分析

2.1有利于學生直觀理解函數概念及特點

這些案例都來源于實際生活，具有直觀性和可視性，有助于學生直觀理解函數的基本概念.以直線運動問題為例，學生可以通過測量汽車在不同時間的位置，發現二者成線性關系s=at+b，進而理解一次函數的表達式、圖像特點等.例如，某學生測得汽車在0秒、1秒、2秒的位置分別為20米、25米、30米，由此建立函數模型s=5t+20，直觀感受一次函數中參數a和b的具體意義.

同樣地，在等邊三角形的邊長與高的關系案例中，學生可以計算三角形的邊長和高線長，并繪制函數圖象，直觀感受二者之間的線性關系.例如，當邊長a增加2厘米時，高線長h將增加3厘米.這種直觀的觀察和分析過程，有助于學生對函數概念及其特點形成深刻印象.

2.2有利于培養學生抽象建模思維

這些案例不僅能幫助學生理解函數概念，還能培養他們的數學建模能力.例如，在人口增長問題中，學生需要根據已知信息，如初始人口數量和年增長率，建立一次函數模型P=at+b描述人口數量的變化情況.某城市2010年人口為50萬，近5年平均每年增加3萬人，那么可建立函數模型P=50+3t來預測未來人口變化.

通過這種由實際問題抽象到數學模型的過程，學生不僅掌握了一次函數的知識，而且培養了分析問題、識別數學關系、建立模型的能力.這種數學建模思維對于學生今后解決復雜問題具有重要意義，也是核心素養培養的重要目標之一.

2.3有利于促進知識遷移和綜合應用

這些引入函數概念的案例，為學生后續學習其他函數類型打下了良好的基礎.例如，在學習二次函數時，學生可以結合生活中的拱橋進行思考.已知水位線、警戒線、水位上漲速度，通過計算出水位線淹沒橋頂所需時間，以此理解二次函數的概念和特點，為學習指數函數和反比例函數奠定基礎.

研究發現，當學生在初中階段對函數概念有了較為深入的理解后，在高中數學學習中表現明顯優于其他學生［1］，他們不僅能夠掌握函數的基本性質，還能靈活運用函數思維解決實際問題.如運用一次函數分析路程問題，利用二次函數優化設計方案等，體現了函數概念引入對數學學習的深遠影響.

3初中數學函數概念引入教學建議

在初中數學教學中，為使學生深入理解函數概念，提高

其運用函數知識分析問題和解決問題的能力，提出以下針對性教學建議.

3.1拓展案例選擇，貼近學生生活

除了上述三個案例，在選擇引入函數概念的案例時，教師應充分考慮學生的興趣愛好和生活經驗，設計更加豐富多樣的案例.

例如，在學習三角函數時， 可以引入建筑學中測量與設計問題，當需要測量建筑物的高度時，可以通過測量建筑物底部與觀測點的水平距離及建筑物頂部的仰角，然后利用三角函數關系計算出建筑物的高度.這種方法利用三角函數的性質和幾何知識，將實際問題轉化為三角函數問題.

這樣的案例不僅貼近學生的生活實際，

而且能與其他知識緊密結合，如物理定律、圖形特性等，有助于學生構建知識體系，增強學習的整體性和針對性.

在初中數學教學中，教師還可以引導學生分析問題情境，討論相關的數學概念和公式，并設計實踐活動，讓學生親身體驗數學建模過程.這不僅有助于他們理解函數概念，而且能培養其動手操作能力、數學建模思維等綜合素質.3.2注重數學建模過程，提升綜合素養

在引入函數概念時，教師應注重分析問題和解決問題的具體過程，培養學生的數學建模能力，引導他們體驗數學在現實生活中的應用價值.

例如，在學習二次函數時，可引入投球問題.在投籃時，球的高度可用二次函數h=-4.9t2+vt+h0描述，其中h為高度，t為時間，v為初速度，h0為初始高度.學生需要分析問題情境，確定已知條件和未知量，建立二次函數模型，最后進行分析和求解.

通過這一過程，學生不僅能理解二次函數的性質，如

極值、圖象等，而且能感受到數學在實際應用中的作用.他們需要運用所學知識分析問題，選擇合適的數學模型，并對結果進行解釋和檢驗［2］.這種基于實際問題的數學建模訓練，有助于培養學生的綜合素養，如邏輯思維、問題解決能力等.3.3注重多元探究，激發學習興趣

在函數概念教學中，教師還應創設多元的探究情境，激發學生學習興趣，引導學生主動參與學習，培養他們的探究精神和創新能力.

例如，在學習反比例函數時，可以設計一個有關投資收益的案例.某人想投資一家校服生產公司，公司的收益率與投資金額成反比例關系，即xy=k，其中y為收益率，x為投資金額，k為常數.學生可以通過假設不同的投資金額，預測公司的收益率，并探討如何選擇最優的投資方案.

在這一過程中，學生需要分析問題情境，建立反比例函數模型，并根據實際需求進行計算和分析.這種以學生為中心的探究式學習，不僅有助于他們理解反比例函數的特點，還能激發他們的好奇心和創新意識，培養獨立思考、團隊合作等能力.

函數是數學中最基本的概念，它描述了兩個或多個量之間的依賴關系.函數概念包括函數的定義域、函數值、函數圖象等內容.教師可以通過梳理不同類型函數的共性，引導學生認識函數的本質特征，如變量之間的對應關系、函數值的唯一性等［3］.

除此之外，教師還可以引導學生思考函數的數學抽象性特點.函數概念體現了從具體事物到數學模型的抽象過程，強調了數學語言的簡潔性和一般性.這有助于培養學生的數學抽象思維，增強他們對函數概念的整體把握.

通過對函數概念本質的深入剖析，并結合豐富多樣的案例教學，學生不僅能掌握函數的基本特征，而且能培養數學建模思維，提升數學應用能力.這種融合理論和實踐的教學方式，有助于提高初中數學教學質量，提升學生的數學核心素養.

4結束語

在初中數學函數教學中，教師需緊密聯系學生現實生活，引入具體的函數案例，幫助學生理解函數的定義和性質，培養其數學建模思維，提高其運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：［1］

劉思余，周學勇.基于核心素養的數學概念教學案例設計與分析：以初中《函數的概念》的教學為例［J］.科技風，2021（8）：62-63.

［2］丁琳琳.案例教學法在初中數學教學中的應用［J］.新課程，2023（18）：70-72.

［3］曹小紅.初中數學函數概念起始課的有效教學案例研究［J］.數學學習與研究（教研版），2018（21）：115-116.

［責任編輯：李璟］