立足關聯·選好起點·心納法則

【摘 要】文章以教師A、教師B執教的兩節視導課為載體，通過兩位教師的課堂教學，揣摩其課堂組織的立意，在講好運算與推理故事的宏觀引領下，提出心納法則、選好起點、教好歸納、講好道理的數學課堂教學觀點，并認為教師要學會傾聽，做好課堂教學忠實的組織者、引導者、發現者，呵護好學生的奇思妙想，培養學生的數學核心素養。

【關鍵詞】運算法則；教學起點；歸納推理；傾聽

運算與推理是數學的“兩條腿”，缺一不可，這就為日常教學提供了宏觀引領——講好運算與推理的故事。代數的核心在于算（運算），幾何的焦點在于證（推理），且推理與運算是不可分割的整體。一定意義上說，運算也是一種推理，而推理是講依據的，要步步有依，言必有據，不可恣意而為。這就給我們透視出數學的本質，將數學與推理無形中捆綁在一起。本文基于兩節數學運算法則課，對教學進行思考，并提出一些建議。

一、心納法則：對數學運算法則及其教學的認識

法則就是規則，“不以規矩，不能成方圓”，數學莫不如此。雖然這個規則是公理化體系下的設定，也就是數學內部自圓其說的一種規定，但教師需要讓這一規定深入學生內心，讓學生深感認同。因此，在教學中，教師要想方設法把數學的學術形態轉化為數學的教育形態，增進學生的心理認同感，從現實生活到已經建立起來的數學規則發展的角度，加強學生的規則意識，深入學生內心，如此法則教學才算是到位。若“一個法則、三項注意、大量練習”式的教學必然讓學生陷入不講道理的死記硬背中，既固化了學生的思維，又給學生的記憶增加了外在心理負荷和認知負荷。教師讓學生在沒有真正心理認同下去守規則，其實就是一種教育教學的“強權”。“強權”下的霸道往往會引起人的反感，縱然能讓學生“屈從”，但如此屈從可想而知結果會如何。因此，法則課，尤其是法則起始課，重心就是想方設法贏得學生的認同，以展現數學既要講推理，更要講道理的本色。

法則教學是初中數學教學的重點，如何讓學生真正理解法則、掌握法則是教學的難點。其“根”“本”就是讓學生親歷法則的形成過程，將帶有生硬規定性的法則變成學生的自然生成，充分淡化生硬的規定痕跡。因此，教學中，教師應立足學生的生活經驗、數學學習經驗、已有知識水平等現實，讓學生通過對巧妙設計的情境問題的解決，有效促進法則的生成。如此，不但讓學生感知到法則是已有知識自身發展的內在邏輯（學術形態），讓法則順理成章，而且讓學生體悟到法則的“深情厚義”，入情、入心、入理，根植學生腦際（教育形態），從而讓法則的出現自然而然。誠然，只有讓學生心納了，讓學生認識到規則的脈絡相連，學生學得才有意思，教師的教才更有意義，學生才會心悅誠服地去執行、去落實，進而增進理解。

二、選好起點：數學課堂教學成敗的關鍵

本文選取兩節數學運算法則課進行論述，一節是教師A執教的“有理數的乘法”起始課，使用了“蝸牛爬行”的生活情境展開研究，并延伸到多個數相乘的法則及運算；另一節是教師B執教的“有理數的除法”起始課，直接給出“怎樣計算8÷（-4）”這一問題。這兩節課均是典型的法則課。作為兩個法則的第一課時，獲得法則是教學的重點，如何獲得法則成為教學的關鍵，其中對隱匿于法則來龍去脈中的思想方法的挖掘是教學的難點所在。這兩節課的教學起點在哪里？具體是什么？這是值得我們深入思考并研究的關鍵問題。

1.有理數的乘法

有理數乘法的教學起點主要取決于學生的認知起點，從邏輯起點來說應是有理數的加法和小學范圍內非負數的乘法。選好了起點，教學才能更好地逼近學生認知的最近發展區，讓學生產生思維共振，使新、舊知識的界限變淡，使得新知成為舊知的自然生長。如此，杜威“教育即生長，教育即經驗的改造”的論斷就成為教師施教的理論依據。基于此，用好學生這些已有的認知就成了教學的關鍵。教師A有了這種應用意識，也對各種類型進行了歸類，但最開始的復習散而不聚焦，沖淡了本節課的教學，對關鍵的負數乘以正數揭示不夠，關于它的教學不夠凸顯。另外，教師A選擇了“蝸牛爬行”問題，生活味較濃，一定程度上增進了學生的興趣，但其中的表達比較繞，增大了學生的外部認知負荷。從實驗版教材實施的調研結果來看，很多學生對此認識有難度，故現行人教版教材調整了這一入題的素材，變成當下的全程規律“歸納”問題，更具有數學味道。

基于此，對于“有理數的乘法”的導入環節，筆者建議如下：

一是基于有理數加法引入乘法。可用“（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=？”借力小學學過的乘法意義，學生不難想到上式可轉換為“（-3）×7=？”。如此，一個關鍵性問題呈現出來，使得小學與初中，初中的先與后密切地關聯起來。這展現的是整體化思維，對學生思維的發展意義重大。

二是可基于小學的乘法引入，通過對小學乘法的分類——正數乘以正數、正數乘以0，增補初中有了負數參與運算后的負數乘以負數、負數乘以正數、負數乘以0的分類，讓有理數乘法悉數呈現。在排除正數乘以正數、正數乘以0兩類情況下，展開對其他類型的研究。

2.有理數的除法

有理數除法的起點類似于前面談到的乘法，一是小學學過的除法運算，二是脫胎于有理數乘法，這種乘除互逆的運算關系值得重視。教師B直接給出一個除法：怎樣計算8÷（-4）？這也是教材中開門見山的問題，但如此直接呈現給人一種空降之感。此處無妨從乘法切入，通過互逆運算關系順理成章地生長出除法運算，這樣才更體現數學本身的邏輯性，更有數學韻味。即用“（-4）×？=8”“？×6=-36”提出問題：“如何確定兩個算式中的問號？”如此一來，“8÷（-4）=？”的除法運算就自然呈現了。

如此瞻前顧后抓聯系、選起點的切入，乘除運算之間的關聯再次被強化，數學運算的發展就在這樣的脈絡上得以自然延伸。

三、教好歸納：“有理數的乘法”起始課的應有之義

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在十大核心詞“創新意識”中指出，獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。［1］《課標（2011年版）》把歸納與創新連接在一起，給了歸納重要的地位。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）同樣在“創新意識”核心素養中提出，初步學會通過具體的實例，運用歸納和類比發現數學關系與規律，提出數學命題與猜想，并加以驗證。［2］可見，教好歸納是教師義不容辭的責任，而“有理數的乘法”就給了教師教好歸納的諸多機會。

數學中基本的思想主要有三類：抽象（分類、集合、數形結合、符號表示、對稱、對應、有限與無限），推理（歸納、演繹、公理化、理性類比、逐步逼近、代換），建模（簡化、量化、函數、方程、優化、隨機、抽樣統計）。這些均是史寧中教授提出的上位思想，它直接對接數學的核心素養。其中，推理中的歸納法（歸納推理）是整個代數學的基本大法和基本功。因此，教好歸納就是落實學生學科核心素養的行動。對于“有理數的乘法”起始課，從人教版數學教材來看，通篇自始至終透射出歸納的痕跡，這種思想的揭示與涵育將成為這節課的重中之重。因此，本節課挖掘出歸納推理并教好歸納推理就映射出教師對教材的理解是否到位的問題。“用教材教而不是教教材”，也就是要“教好教材”，把教材專家的集體智慧利用好，變成教學的智慧，如此才會有教學的豐實與扎實。

另外，歸納中必然有抽象、概括的助力，歸納的過程就是歸納推理、抽象概括等數學核心思想共情的過程。久而久之的歷練，學生就會慢慢積淀下這些思想的種子，再遇到類似情境就可能讓遷移真實發生，并逐漸培養起數學核心素養。

若把歸納放在“有理數”整章的高度去認識，不難發現，“有理數”一章自始至終彰顯了歸納這一主線（歸納一詞顯性出現至少9次，隱性的地方更多，至少20次，僅在本節教材中就顯性出現了5次）。教材從相反數、絕對值、數軸等概念到有理數的加法法則（含運算律）、減法法則、乘法法則（含運算律）、除法法則、乘方法則，一貫而下，然后通過“乘方”一節的例題以及后面的“拓廣探索”，以歸納、探尋規律的方式具體化、顯性化。可見，教材編寫者的良苦用心，教師應審慎地解讀教材，充分挖掘教材專家的集體智慧。

很多時候，教師責備學生不去思考、不會思考，其實是教師把學生思考的機會錯失了或取代了，甚至是丟棄了。課堂教學中，教師只有善于挖掘教材、用好教材，并在施教過程中捕捉契機，讓學生在新知的探索與形成過程中，嘗試歸納與概括，經歷抽象，使學生感知思維的脈動，借機向學生展示思維之道，才能更好地解決學生“怎么想”“怎么想到”的問題，進而提升學生數學理解的層次，培養學生的創新能力，發展學生的核心素養。

四、講好道理：三個及以上數相乘法則從何而來

講道理離不開推理，更離不開經驗，杜威的教育觀點“教育即經驗的改造”很好地說明了這一點。由兩個數相乘到多個數相乘，為什么能不加說明地把兩個數相乘的法則搬用？其間的道理何在？把兩個數相乘的法則直接用到三個及以上的數相乘，依靠的是運算的慣性，還是直接搬用了小學學過的非負數的多個數相乘？諸多疑問由此而生。其實教師不加說明地沿用兩個數相乘的法則到多個數是不講道理的行為，不能認為沒出狀況就可以這樣教（沒出狀況的原因是這個終極結果是對的），如此之教，會讓學生下意識地跟隨教師養成不講依據的習慣。教師應先解決兩個有理數乘法的交換問題，然后再解決乘法的結合問題。由此，從左到右就可以把前兩個數相乘的結果依次和下一個數結合，完成多個數的乘法運算，也就是要把乘法運算律前置至此（有理數的加法運算律就是安排在多個數相加學習之前），才能更好地展示數學的講道理。故此，不管是為了講好道理的生活邏輯，還是為了講好推理的數學邏輯，都需要把教材進行調適（《課標（2022年版）》對應的七年級上冊教材已經調了過來，把運算律與多個數相乘的法則進行了換位，與有理數加法運算形成一致性）。因此，教學中，教師應著眼于兩數相乘法則的獲得及應用，多個數相乘不應該在本節出現，如此而為會沖淡教學重點。

五、學會傾聽：教師在課堂上的應有姿態

教師要學會傾聽，既要聽懂學生外化的語言，也要洞察學生內心的思緒，這樣才能做出正確判斷，更好地落實“串聯”，以學定教才有可能。

課堂是師生思維碰撞的交互場，是教學相長的生活共同體，一位教師面對的是眾多學生，學生的群體智慧遠遠超越教師。在開放的課堂上學生的思維活躍，有創意的奇思妙想不時出現，這些突如其來的生成如何面對，對教師來說是一種挑戰，當然，若把握好也是出彩的機會。特別是出現了意想不到且把握不準的問題時，教師不可輕易否決或肯定學生的認識，此時不妨做一名忠實的傾聽者，可通過追問讓學生的想法顯現。教師在傾聽中去識別、去判斷、去串聯，審思學生的想法，或把問題拋給學生，組織學生討論交流。在這個過程中，群策群力澄明模糊認識，能讓教師贏得主動，從而做出合理的判斷，把隨機生成組織成一次探究活動。在本次“有理數的除法”課堂上，就出現了這種“意外”。一個學生提出了一種看似怪誕的做法，對于分數除以分數的運算，她使用了分子除以分子得分子，分母除以分母得分母的做法。這種做法看似荒誕，實則光點閃爍，創意躍然紙上，可惜創造的心門讓教師的一句“不可以”給斷然關閉了。故此，教師應敬畏課堂、敬畏學生，不可輕言“不可以”，要調節好自己課堂上的姿態，真真切切地為學生的可發展性服務，做好課堂教學忠實的組織者、引導者、發現者，呵護好學生的奇思妙想。

對問題認識的深度決定了教師教學立意的高度。教師只有理解好教材、理解好學生、理解好數學、理解好教學，才能更好地提升教學立意的高度。課堂是一門遺憾的藝術，我們永遠行走在課堂優化的路上，沒有最好，只有更好。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2011.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

（責任編輯：羅小熒）