基于數學實驗的高中數學探究式教學

【摘要】根據新課程標準要求，高中數學教學應當注重學生的自主探究能力發展，讓學生在親自探究的過程中形成學習體驗，發展數學邏輯思維，讓學生具備良好的發現問題、解決問題的能力.基于此，教師將現代教育技術與數學解題訓練相結合，提出了基于數學實驗的探究式教學模式.本文根據“2023年泉州一檢第16題”，分析基于數學實驗立體幾何探究式教學的思路，之后分別提出創建模型、設計實驗條件、數學實驗操作等探究式教學方法，為學生創建開放的數學實驗探究場域.

【關鍵詞】高中數學；數學實驗；解題教學

高中數學課堂教學中，教師開展數學實驗的探究式教學，應當靈活利用信息技術、希沃白板、幾何畫板等工具，為學生搭建開放的、自主的數學探究平臺，讓學生可以充分發揮主體性，根據自己的想法開展數學實驗.經過數學實驗，學生可以形成豐富的數學推理經驗，促使學生在推導的過程中運用數學知識分析題目內各已知量的關系，梳理題目信息，形成正確的解題思路^［1］.在實際過程中，教師可以根據特定題目搭建數學實驗模型，設計數學實驗條件，而學生則可以在模型之上進行實驗操作.這樣的探究學習，既可以讓學生驗證自己的猜想，幫助學生解題，也可以鍛煉學生的問題解決能力，具有良好的數學教學成效.

1 基于數學實驗的探究式教學的基本原則

G·波利亞認為數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學；另一方面，從創造數學的角度來說，數學學科應當是一門具有實驗性的歸納學科，其創造過程與其他學科知識的創造過程一樣.在證明一個定理之前，需要先進行猜測，通過實驗證明其正確性，之后根據數學實驗過程進行歸納總結.數學家的創造性工作，就是論證推理.從這個角度來說，基于數學實驗開展探究式教學，是一種十分契合數學學科特性的教學方法.要想有效發揮基于數學實驗的探究式教學的作用，應當遵循如下三點原則^［2］：

第一，以學生為主原則.在數學實驗的探究性教學中，應當充分發揮學生的主體作用，尊重學生的學習主體地位，為學生提供自主選擇的機會、自主操作與驗證的空間.只有讓學生真正經歷數學實驗的操作與推理，經歷數學定理的論證過程，才能夠讓學生形成對數學的深刻理解，同時發展數學學科思維.

第二，目的性原則.在高中數學的數學實驗探究教學中，教師應當為學生提供一個顯著的目標，比如解決某個練習題、論證某個定理的正確性等.只有讓學生具備明確的、具體的學習目標，才能夠激發學生的內在動力，促使學生主動參與實驗操作，主動將自己的設想融入數學實驗中，得到驗證，從而獲得良好的學習成果^［3］.

第三，遞進性原則.數學實驗的探究性教學，最主要的環節就是學生的探究過程.數學課堂中，學生利用數學實驗進行探究的過程，就是對猜想、定理循序漸進深入解讀的過程，是學生將所學知識消化吸收形成認知的過程.因此，教師組織學生開展數學實驗，在設計實驗條件時，應當設置一些貼合學生能力的條件，引導學生循序漸進深入探究.或者，教師需要選擇一個符合學生最近發展區的習題，作為學生開展實驗、自主探究的遞進引導.

2 基于數學實驗的立體幾何探究式教學——以“2023年泉州一檢第16題”為例

2.1 試題呈現

棱長為2的正方體容器ABCD－ABCD中，E，F分別是棱AB，BC的中點，在E，F，C處各有1個小孔（孔的大小忽略不計），則該容器可裝水的最大體積為___________.

2.2 選題依據

該題主要考查正方體的截面，棱柱、棱錐、棱臺的體積等知識點，考查學生的邏輯推理能力、運算求解能力；考查學生的化歸與轉化、數形結合的思想；考查學生的直觀想象、邏輯推理的素養水平.正是由于該題考查范疇廣，因此本次選擇第16題作為基于數學實驗的高中數學探究式教學的例題，創建數學實驗模型，為學生搭建數學自主實驗支架^［4］.

2.3 基于數學實驗的探究式學習活動思路

根據第16題題干信息可知，本道題是復雜的立體幾何問題，很考驗學生的直觀想象能力與抽象思維能力.學生開展數學實驗探究，需要一個立體化的正方體模型.因此，教師利用學校的多媒體計算機、大屏幕、GecGebra輔助軟件等工具，搭建立體化、交互化的數學實驗模型^［5］.學生們可以利用具體形象的數學模型分析題目信息，也可以通過改變模型中的變量數據，反復驗證、推導自己的設想，分析立體幾何模型中正方體、棱錐與棱柱之間的關系，分析幾何體與邊長、棱長之間的關系^［6］.學生們也可以利用軟件工具，在平臺上構造新的幾何模型，標記立體幾何模型中的特殊關系，從而根據立體化的模型進一步深入探究數學問題.

本次根據第16題開展的數學實驗探究式學習活動的教學目標是：

（1）熟悉基本幾何體特征，掌握立體幾何中組合體之間的關系；

（2）掌握畫直觀圖的方法；

（3）正確分析空間基本元素之間的度量、位置關系；

（4）明確標記空間中點在坐標系中的坐標，正確建立適當的空間直角坐標系， 能用空間向量分析解決問題；

（5）能正確分析幾何形狀特征，分析點、線、面之間的位置關系；

（6）能從復雜的組合體中區分基本幾何體，靈活轉換平面圖形與立體圖形.

3 基于數學實驗的探究教學方法——以“2023年泉州一檢第16題”為例

數學實驗的探究式學習活動中，教師首先需要明確地提出數學實驗、數學題目探究的目標.之后，教師可以根據題目創設ABCD-ABCD模型，根據題目內給出的已知量設計實驗條件，為學生搭建數學實驗探究支架^［7］.而學生可以根據審題之后獲得的信息，利用模型與實驗條件，通過改變變量或輸入假設信息，完成數學實驗，在實驗的過程中完成解題，形成清晰明確的解題思路.

3.1 創建數學實驗模型

根據題目信息可知，ABCD-ABCD是一個棱長為2的正方體，E，F分別是棱AB，BC的中點，因此可以按照題目信息，在軟件平臺上創建數學實驗模型（如圖1）.

在平面以此建立a，h這兩個滑動條，旋轉角α，其中a表示ABCD-ABCD的棱長，h表示正方體底面積在地面上時的水的高度，建立側棱AA、BB、CC、DD，建立AB，BC的中點E，F.

輸入ABCD-ABCD模型各點的坐標，其中A（0，0，0），D（0，a，0），C（-bcos（a），0，bsin（a）），B（csin（a），0，cos（a）），得到3D繪圖區中A、B、C、D四個點.之后，輸入h′=假設（h≤a），h是一個過渡變量.這樣設置的目的是根據現實情況容器內水的量的高度范圍，從而減少學生們進行數學實驗時做出不符合客觀規律的假設的概率.在平面上完成ABCD-ABCD模型的建立，推送給學生，便于學生利用終端進行數學實驗操作.

3.2 設計實驗條件

為了讓學生通過數學實驗生成解題過程，教師根據題目的“已知信息”——E，F分別是棱AB，BC的中點，在E，F，C處各有1個小孔（孔的大小忽略不計）.創設實驗條件，a=___________，h___________=時，隨著旋轉角的變化，可以容納水的體積分別是___________，___________，…， ___________.

3.3 數學實驗操作

已知數學模型與實驗條件之后，學生需要發揮自身直觀想象能力，根據正方體容器ABCD-ABCD的已知條件，結合模型中E，F，C三點的位置，進行連線，開展數學實驗，具體數學實驗的操作與探究過程如下^［8］：

學生小組假設E，F，C處小孔均位于容器內的水平面，并且改變模型內變量數據，將這些點連線，形成假設模型（如圖2）.

此時正方體內形成了ABC—BEF棱臺，體積為V=2/3（2+1/2+1）=7/3，此時容器內可以裝水的最大體積應當是正方體模型內多面體（AEFCDACD）結構的體積，為V=8-7/3=17/3.另外兩個學生小組，則分別假設只有一個小孔位于水平面上、C處的小孔位于容器內的水平面上，且紛紛調整模型變量，利用軟件功能完成連線，獲得不同情況之下的“可裝水的最大體積”的立體幾何模型，獲得結果.

4 結語

綜上所述，數學實驗是依托現代化教育技術開展的新型數學學習模式，主要是根據已知題目信息，創建實驗模型，讓學生們在模型中填入新的數據量，通過改變變量觀看模型的變化，從而對數學題目進行探究.相較于簡單的解題訓練，基于數學實驗的探究式教學，能夠充分發揮學生的主觀能動性，利用技術支持學生的自主實驗，讓學生在反復實驗的過程中加深對題目內各數量關系、幾何關系的理解，把握題目內已知量之間的關系，形成清晰明確的解題思路.同時，將數學實驗運用到高中數學課堂中，可以讓學生在探究的過程中逐步鍛煉問題分析與解決思維，提高學生的數學學習能力.

【本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題《指向拔尖創新人才培養的高中數學探究活動模型的研究》（立項批準號Fjxczx23-287）階段性研究成果】

參考文獻：

［1］劉晨凡.基于信息技術的高中數學探究式教學研究［J］.數理天地（高中版），2023（23）：93-95.

［2］陳麗艷.探究式教學在高中數學教學中的應用研究［J］.智力，2023（28）：44-47.

［3］楊慧，韓龍淑，王文靜.基于GGB的高中數學課程可視化教學研究［J］.教學與管理，2023（28）：33-36.

［4］李必船，何園園.基于GeoGebra軟件的立體幾何數學實驗［J］.安徽教育科研，2023（27）：102-105.

［5］侯社會.探究式教學在高中數學教學中的應用思考［J］.學周刊，2023（25）：51-53.

［6］沈洪輝.探究式教學模式下建模教學對高中數學教學的影響構架［J］.教育界，2023（21）：44-46.

［7］李必船.智慧課堂環境下高中數學實驗研究——以一道立體幾何習題為例［J］.中小學數字化教學，2023（04）：65-69.

［8］程大慶.探究式教學在高中數學教學中的應用探析——以“二面角”教學為例［J］.數學學習與研究，2022（21）：134-136.