模型建構、解釋及預測系列（3）：潮汐問題的建模

建模是科學家在處理問題時的常用方法，同時在分析過程中，可能還要根據模型，建立起模型中一些參數之間的關系，并進行適當推導，得出某些結論。我們可以模仿科學家處理問題的模式，對自己感興趣的問題進行簡化處理，并嘗試解釋現象或得出結論。

一、錢塘江潮現象的解釋

潮汐，是發生在沿海地區的一種自然現象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產生的周期性運動。古代為了表示海水漲落的時刻，把發生在白天的海水漲落稱為潮，發生在晚上的海水漲落稱為汐，統稱為潮汐。

海水每天都有漲潮落潮現象，但每年中秋節前后，錢塘江的潮水特別壯觀。由此我們可以提出一些問題：

①為什么錢塘江潮水特別大呢？

②潮汐的本質是什么？

③為什么大潮是在農歷中秋節？

④能否根據潮汐模型解釋或預測平時不注意的現象？

第1個問題可以從地理成因的角度進行分析，但是后面幾個問題就需要更復雜的分析了。

錢塘江有特殊的地理特點。

首先，從空中俯視，錢塘江的江面在出海口處突然變寬，形成很開闊的喇叭型杭州灣（如圖1）。當漲潮時，海水從寬廣的杭州灣進入較窄的錢塘江時，由于水基本上不可壓縮，水面自然會抬高，形成較高的潮面。

其次，從垂直高度看，錢塘江在出海口處河床高度變化劇烈，也會抬高水面。

由于這兩個地理特點，每年中秋期間海水由于受到月球和太陽的引力作用，大量海水從寬且深的杭州灣涌入窄而淺的錢塘江，與回潮相遇，就會形成高大的水墻（如圖2）。

那么潮汐是怎么產生的呢？

二、導致潮汐的引潮力

潮汐是一種自然現象，指海面有規律地漲和落。引起潮汐現象的是天體對海水的引力，通常稱為引潮力（潮汐力）。

1.潮汐力的定義

從地球公轉軸角度看（如圖3），地球O和某天體P的位置，以及地球上M點的加速度。地球半徑為Re，OP距離為L。其中[i]軸沿著地心與天體質心的方向，[j]與[i]垂直，[k]是地球公轉軸方向。

潮汐力定義為某天體P對地球邊緣點M與地心O處的加速度之差。注意，單位質量的力就是加速度，因此潮汐力可以認為是加速度，也可以認為是單位質量的力（后面不再區分）。

從運動學角度，如果用具體公式來分析加速度的關系，可以很清楚地得出相關結論。但是考慮到有的讀者不熟悉高等數學（由此看出跨學科的必要性，科學研究也需要數學），下面就用定性分析的方法進行處理。

2.利用慣性力解釋基礎海平面

我們知道海水的運動包括幾部分：地球自轉的影響、地球公轉的影響、天體引力的影響，以及相對地球的運動。潮汐是這些運動綜合的結果，利用慣性力的概念處理起來更容易。

先說明什么是慣性力。用橡皮繩連接小球，轉動小球時，會發現橡皮筋變長。這可以有兩種解釋：物體做圓周運動時，需要指向圓心的向心力F，而橡皮筋只有伸長，才能產生這個向心力（牛頓定律，中學物理的解釋）。另一種解釋是：物體有加速度時，產生反向的慣性力S，慣性力使橡皮筋伸長（動靜法，大學力學的解釋），在圓周運動中，慣性力也可稱為離心力（如圖4）。兩種解釋都可以，但是利用慣性力的解釋更簡單直觀。

下面利用慣性力解釋基準海平面。

假設海面M處的海水微元（可認為是一滴海水）受到重力G（指向地心）、離心力S（背離地心），因此在徑向方向海水總可以平衡。地球的引力和自轉引起的離心力使得海水形成球面，即基礎海平面（如圖5）。后面討論中就不再考慮地球引力和地球自轉的影響了。

3.太陽引起的潮汐力

地球繞太陽做圓周運動（公轉），不考慮地球自轉時，地球上各點跟隨地心一起運動（平動），地球上各點的加速度與地心加速度相同，因此各點慣性力S相同，與地心的加速度反向（如圖6）。

再把地球上各點受到的太陽引力畫出，可以看出各點受到太陽的引力大小和方向都不同。為了直觀，不妨假設各點的慣性力[S=9]，引力與距離有關，從8到10不等（如圖7），從而可以看出：A點合力向左邊，B點合力向右邊。從地球角度看，左右兩側的合力都是背離地心，潮汐力導致海水對稱鼓起（這一結論可能出乎很多人的意料）。由于各地慣性力相等，最大合力在地球左右兩側，即潮汐最大凸起在地球與天體質心連線上（如圖8）。

太陽引起的潮汐力，是太陽對地球上不同點的引力與該點繞太陽公轉產生慣性力的合力。

4.月球的潮汐力

對于月球引起的潮汐力，如何解釋呢？其實地球和月球是繞著兩者的公共質心運動著，只不過公共質心在地球內部（如圖9）。

注意這個事實：地心O、月球質心P和公共質心C總是共線的。

地球繞地球-月球系統的公共質心運動，完全類似于太陽潮汐力的分析，可以得出：月球引起的潮汐力，是月亮對地球上某點的引力與該點繞地球-月球公共質心公轉產生慣性力的合力。

綜合起來，潮汐力是天體對地球上某點的引力與當地慣性力的合力。

三、關于潮汐的一些常見疑問

相對于引力，潮汐力還是讓一些人感到疑惑。

1.太陽與月球對潮汐力的影響程度

根據詳細的計算，月球和太陽引起的潮汐力分別為

[δasunmax=0.5016×10-6 m/s]

[δamoonmax=1.1012×10-6 m/s]

即月球引起的潮汐力是太陽的2倍多。注意，太陽對地球的引力遠比月球對地球的引力大，具體為

[asun=5.9×10-3 m/s]，[amoon=3.3×10-5 m/s]

為什么太陽的引力大，但潮汐主要是由月球引起的？這里的證據是：如果潮汐主要是月球引起，大潮出現的時間必然與農歷有關，而如果潮汐主要是太陽引起，大潮出現的時間必然與公歷有關。實際上，太陽、月球的影響同時存在，每天的小潮是由太陽引起的，而每月的大潮是由月球引起的。

潮汐主要由月球引起，主要原因是：潮汐力不是引力，而是引力之差。

這可以用拍照來類比。用相機拍攝較遠的物體時，對準焦距后，整個物體都很清楚，即畫面不同點的清晰程度差別小；而拍攝較近的物體時，對焦的中心點很清楚，而稍偏離中心點，就比較模糊，即畫面不同點的清晰程度差別很大。

地球距離太陽很遠，地球上各點到太陽中心的距離差別不大，引力之差就很小（潮汐力小）；月球距離地球比較近，地球上各點到月球中心的距離差別就比較明顯了，引力之差就較大（潮汐力大）。

2.為什么潮汐是對稱的

也許有人會奇怪：當天體在地球某側位置時，海水涌向天體很好理解，為什么不是下面的示意圖呢（如圖10）？

圖10" 錯誤的潮汐觀念

注意潮汐力是引力與慣性力的合力。如果只考慮天體引力，海水會偏向天體一側；但是地球還有公轉，有慣性力存在，引力與慣性力的合力才是潮汐力，而潮汐力是兩邊對稱分布的。

3.為什么中秋前后潮汐最大

為什么大潮總是在每年中秋節前后，涉及地球、月球、太陽三者的相對位置。

農歷初一、十五時，地球、月球、太陽三者共線，但是實際中普遍觀察到十五的潮大于初一的潮。

這涉及月球在橢圓軌道上繞地球運動。根據觀察，月球離地球近地點距離為363300千米；距離地球最遠的遠地點距離為405493千米。

如果不考慮太陽時，月球繞地球做圓周運動；考慮太陽后，太陽的引力會影響月球的軌道。農歷初一時，太陽、月球在地球的同一側，這時月球受到太陽與地球的引力反向，可以理解為太陽引力把月球拉得遠離地球，月球處于橢圓軌道的遠地點；農歷十五時，太陽、月球在地球的兩側。這時月球受到太陽與地球的引力同向，可以理解為太陽引力把月球拉得更靠近地球，月球處于橢圓軌道的近地點（如圖11）。

圖11" 太陽對月球軌道的影響

根據前面分析，月球的潮汐力比太陽大，主要看月球的潮汐力。月球距離地球越近，潮汐力越大，因此農歷每月十五前后潮汐力比初一要大。

另外由于地球、月球的運行軌道并不共面（否則每個月都有日食、月食），月球與地球的距離也在變化（否則不會有日全食、日環食的區別），綜合起來，每年只有月亮最圓時（距離最近），潮汐力最大。

4.為什么潮汐會滯后于月球

實際上錢塘江潮通常在農歷十八最大，而不是農歷十五。

解釋如下：某處海面鼓起，就需要其他地區的海水流過來補充。由于最大鼓起基本上在地球-月球連線上，假設海水的運動與月球同步，月球按30天繞地球轉一圈，可以估算海水的速度為

[v=6378×2π30×24=55.6 km/h]

這一速度遠遠大于洋流的實際速度，例如墨西哥灣流最快的速度為9.5 km/h。因此，總體上最大鼓起A和B跟著月球運動，周邊海水流入補充，但是會滯后。這與實際情況符合，如錢塘江潮水通常在農歷十八最大。

如果類比，就像舞龍燈，前面火把（相當于月球）自由運動，龍頭（相當于潮汐）總是跟隨著火把運動，但是由于人的反應有延遲（相當于海水流速慢），因此龍頭總是會慢一點跟上。

（作者：清華大學航天航空學院教授，義務教育科學課程標準修訂組成員，“天宮課堂”策劃人）