用填數規則填聰明數格

小朋友，前幾期中，我們介紹了3×3和4×4的聰明數格的填寫，知道已知數和特殊的結果（特殊的和、差、積、商）是填寫這種謎題的突破口。其實，在填寫聰明數格時，還可以用填數規則來填數。下面，我們一起來學習5×5聰明數格的填寫。

例題1 圖1 是一個5 ×5 的加減聰明數格。你能在空格內填入1 ～5 ，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和或差嗎？

為了便于敘述，我們可以像圖2這樣標注方格所在的列和行，用字母與數的組合來表示方格的位置，如橙色方格可以記為A1，綠色方格可記為E5。這道題有兩個已知數，A1處填2，E5處填5（如圖2）。

A列最下面框中3個數之和是12，而每列中5個數的和是1+2+3+4+5=15，可知A2填15-12-2=1。根據第2行中的差4可知B2填4+1=5。E列中，E1填15-5-7=3。因為第1行中已經出現了2，所以第1行中的差1只能是4-3=1，可知D1填1+3=4。根據每行中的數不重復，第1行中已經有2，3，4，可知第1行中剩下兩個空格中的數是1和5，又因為B列中已經有5，所以B1填1，C1填5，1與5的和正好是6（如圖3）。

C列中，C5填15-8-5=2。因為B列中已經出現了1，所以第5行的差1只能是3-2=1，可知B5填1+2=3。A列中的和12只能是3+4+5=12，可知和12所在框中的3個數是3，4，5。因為第5行中已經有3和5，所以A5填4。根據每行中的數不重復，第5行中已經有2，3，4，5，可知D5填1。根據D列中最下面的差1可知D4填1+1=2。根據每列中的數不重復，D列中已經有1，2，4，可知D列中剩下兩個空格內的數是3和5，又因為第2行中已經有5，所以D2填3，D3填5，5減去3的差正好是2（如圖4）。

觀察圖4中5所在的位置，你會發現A列中沒有5，第4行中沒有5，運用排除法可知A4填5。因為A列中和12所在框中的3個數是3，4，5，所以A3填3。根據每列中的數不重復，B列中已經有1，3，5，可知B列中剩下兩個空格內的數是2和4，又因為第4行中已經有2，所以B3填2，B4填4（如圖5）。

剩下的“和8”與“和7”，從“和7”突破比較容易，和7只能是4+2+1=7，和7所在框中的三個數是4，2，1。因為第4行中已經有2和4，所以E4填1。因為第3行已經有2，所以E3填4，E2填2。剩下的空格，用唯一法可以填出，C2填4，C3填1，C4填3。4，1，3三個數的和正好是4+1+3=8。最終的答案如圖6所示。

例題2 圖7 是一個5 ×5 的混合聰明數格。你能在空格內填入1 ～5 ，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和、差、積或商嗎？

為了便于敘述，我們可以像圖8這樣標注方格所在的列和行。這道題中沒有已知數，可以用一些特殊的“和”或“差”來進行推理。

E列中，和9只能是4+5=9，和9所在框中的兩個數是4和5，商2只能是2÷1=2，商2所在框中的兩個數是1和2。根據每列中的數不重復，E列中已經有1，2，4，5，可知E5填3。D列中，積6只能是1×2×3=6，所以積6所在框中剩下的兩個數是1和2，積15只能是3×5=15，積15所在框中的兩個數是3和5。根據每列中的數不重復，D列中已經有1，2，3，5，可知D1填4（如圖9）。

第1行中的積10只能是2×5=10，積10所在框中的兩個數是2和5。根據每行中的數不重復，第1行中已經有2，4，5，可知第1行中剩下2個方格內的數是1和3，再根據第1行中的差1可知C1填3，E1填1（如圖10）。

第5行中的商5只能是5÷1=5，商5所在框中的兩個數是1和5。因為積6所在框中剩下的兩個數是1和2，且第5行中已經有1，所以D4填1，D5填2。根據每行中的數不重復，第5行中已經有1，2，3，5，可知A5填4。根據A列中的商2可知，A4填4÷2=2（如圖11）。

根據每行中的數不重復，A列中已經有2和4，可知A列中剩下3個方格內的數是1，3，5。因為第1行中已經有1和3，所以A1填5。根據第1行中的積10可知B1填 10÷5=2。第2行中的積4只能是1×4=4，積4所在框中的兩個數是1和4，由此可知A列中A2填3，A3填1。因為D列中積15所在框中的兩個數是3和5，且第2行中已經有3，所以D2填5，D3填3（如圖12）。

觀察圖12中3所在的位置，你會發現B列中沒有3，第4行中沒有3，運用排除法可知，B4填3。因為B列中已經有2，所以B列中的差1只能是4-3=1，可知B3填1+3=4。因為第2行的積4所在框中的兩個數是1和4，且B列中已經有4，所以B2填1，C2填4。根據每列中的數不重復，B列中已經有1，2，3，4，可知B5填5。根據第5行的商5可知C5填5÷5=1（如圖13）。

根據每列中的數不重復，C列中已經有1，3，4，可知C列中差3所在框中的兩個數是2和5，又因為第4行中已經有2，所以C3填2，C4填5。剩下的空格，可用唯一法填出，E2填2，E3填5，E4填4，最終的答案如圖14所示。

小朋友，你有沒有發現，在5×5混合聰明數格的填寫中，我們不僅要充分運用一些特殊的和、差、積與商，還要用到同一數所在的行和列來排除填數，有時還要用到每行或每列中5個數的和是15。

怎么樣，你學會了嗎？下面你來填一填圖15～18的5×5聰明數格吧！

填寫要求：在空格內填入1～5，使得每個數在每行、每列中都不重復，且每個實線框中左上角的數正好是這個框中其他數的和、差、積或商。