聚焦單元整體教學關鍵課逆向設計，發展學生運算能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，結合整合教學內容，分析主題—單元—課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養。那么，在實際教學中，教師應怎樣組織單元整體教學呢？本期《特別關注》刊發一組文章，對“單元整體教學”展開研究，以期為一線教師提供參考和借鑒。

【摘 要】計算教學是義務教育階段數學教學的重要內容，知識內容多，覆蓋面廣，貫穿整個基礎教育階段學生數學學習過程。需要學生花費大量的時間和精力，學習和掌握各種計算的公式、性質、定律及計算技能等。在日常教學中，教師的教學有時也是在知識、技能等方面投入了大量的精力和時間，但效果往往不盡如人意，學生計算總是會出錯。教師、家長，甚至學生自己都認為僅僅是粗心、不仔細的原因，實則應該是理解上出了問題，正所謂“概念不清，道理不明，一算就錯”才是本質因素。

【關鍵詞】單元整體教學 關鍵課 逆向設計 運算能力

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展。運算能力有助于形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度。作為一線數學教師，經常思考如何站在學生的角度進行數與運算內容領域的單元整體教學設計，尤其關注關鍵課的教學逆向設計，是落實新課標要求、高效發展學生運算能力的重要一環。

一、聚焦計算方法之間的關聯，讓學生形成結構化認識

知識結構化，是指將逐漸積累起來的知識加以歸納和整理，使之條理化、綱領化，做到綱舉目張。知識是逐漸積累的，但在頭腦中不應bEKN370g1lqRtRNOfhQCAw==該是堆積的、零散的。結構化對知識學習具有重要作用，因為當知識以一種層次網絡結構的方式進行儲存時，可以大大提高知識應用時的檢索效率。凸顯學生對計算知識的結構化認識，可以促進學生對算理、算法的本質意義理解，可以讓學生在理解本質意義的基礎上實現自主遷移，從而實現運算能力的真正有效發展。正如史寧中教授所講，一定要關注數學課程的整體性和一致性，關注核心概念的意義的理解。

因此，運算教學中關鍵課教學內容應是知識體系的核心，這些知識猶如鋼架結構中的“結點”，是知識結構化的關鍵支點，要突出本質理解，有了這些關鍵支點的本質理解，才能把零散的知識連成線，最后織成網。數與代數主題要從認數的一致性、運算的一致性及運算的整體性（四則運算的關系）去整體關注學生的本質理解，幫助學生建立知識結構（圖1），凸顯關鍵課教學核心概念的本質理解。

凸顯計算知識的結構化認識，前提是要整體認識和把握教學內容，加強對整個計算教學內容間的聯系，深化對蘊含在具體顯性知識背后的本質意義的理解。如數的認識，教學時要突出數字符號加計數單位（核心概念）的本質理解，數運算教學要突出相同的計數單位才能直接“累加”的本質理解。新課標對數的認識、運算教學內容，在每個學段的目標和內容標準中，都提出了具體的要求，并配備了一定數量的案例。

凸顯知識的結構化認識就要重視算理的連續性和縱向聯系，教師對這部分內容的具體學段要求就必須做到心中有數。并且能夠結合教材有意識地在具體實施知識、技能教學時，加強知識間的縱向聯系，幫助學生從本質上加強對算理的一致性理解，從而達到發展學生運算能力的目標。

以整數乘法這條知識主線為例，從第一學段的20以內口算加法、表內乘法、百以內的口算加法、一位數乘兩位數、三位數的加法、一位數乘三位數、兩位數乘兩位數到第二學段的能計算三位數乘兩位數的乘法，這是一條縱向知識主線。教學過程中，要突出乘法的本質就是加法，在計算過程中，無論是口算還是筆算，用到的算理本質上就是“十進制”和“位值制”。加法豎式教學要突出相同數位對齊，因為只有相同的計數單位才能直接相加，相加后如何表示就要突出位值制，即幾個幾如何表示的問題，滿幾就向高一位進幾要突出的就是十進制。而乘法則不用突出相同計數單位對齊，因為乘法明晰計數單位后，直接考慮的是“幾個幾和幾個幾相乘得幾個幾”的問題。

例如39×24=，豎式計算過程中2×3表示的其實就是2個十乘3個十，即（2×3）×（10×10）得到6個百，再加上進位的1個百，所以是7個百，故7就寫在百位上表示7個百。這種理解必須具有連續性，達成這種理解不是一蹴而就的，它的發展必須從簡單到復雜、從低級到高級、從感性到理性的過程，最終目標是走向抽象、發展推理，有層次地逐步發展起來，并且這種發展可以在學生達到一定程度的理解后，實現自主遷移。

有了這種理解后，教師就可以根據學生運算能力發展進階要求，梳理出這條主線上的關鍵課。例如，20以內口算加法中的“9+幾”就是一節關鍵課，因為這節課中用到的湊十法的本質就是十進制和進位的處理，湊十法的本質理解也是后續學習復雜計算的基礎；表內乘法的起始課、兩位數乘一位數的口算及筆算也是關鍵課，前一節課要打通乘法與加法的本質聯系，后兩節課需要厘清口算與表內乘法的本質聯系及口算與豎式計算之間的本質聯系。這些本質理解都是后續學習多位數乘一位數及多位數乘多位數的基礎，因為幾乘幾解決了數量問題，單位乘單位決定了數量的單位，怎么記錄、怎么書寫比較方便就是方法的問題，可以根據需要靈活選擇。

突出知識的結構化認識，還要加強知識間的橫向聯系。小學階段，相同數域之間的運算要突出對本質算理的理解，加強知識間的縱向聯系，有意識地引導學生通過本質理解逐步走向遷移類推來學習新知、解決新問題，發展學生的推理意識，從而發展運算能力。其實，不同數域之間的運算也需要通過加強比較異同來突出本質算理理解，這是發展學生更高層次遷移類推能力的重要體現。例如，整數領域的運算與小數領域的運算從本質上來講，算理是完全一樣的，教師教學時必須有意識地從本質算理的角度去建立這種聯系。

二、關注核心概念的本質理解，讓學生自主遷移計算方法成為可能

運算能力的發展，很大程度上體現在學生能否實現在本質意義理解下的自主遷移能力的發展，即推理意識的發展。計算即推理，具有很強的邏輯性，異中求同抓本質，在計算教學領域的表現就是計算方法、形式可以多樣，但本質算理只有唯一；同中求異現靈活，在計算教學領域的表現就是抓住本質算理的理解，根據計算問題的復雜程度可尋求多樣、靈活、快速、準確的計算方法和形式。

數運算的本質理解（一致性理解）就是相同計數單位的“累加”，怎么“累加”體現在規則的制定和方法的多樣性上。根據數域及運算類別，小學階段的算法遷移可以分為兩類：一類是相同數域內相同運算的算法遷移，遵循從簡單到復雜的過程，最核心的理解就是相同的計數單位可以直接相加，計算后的結果根據十進位制規則進行記錄，如整數范圍內的加法計算，關鍵課就是“9+幾”，后續所有的整數加法計算都是“9+幾”的拓展和延伸；另外一類就是不同數域內相同運算的算法遷移，這類課的教學要關注知識間的橫向聯系，如小數的加法與整數的加法，其核心理解是一致的，相同的計算單位可以直接相加，不同的是參與計算的單位變成了小數單位，但是單位之間的進率和位值與整數是一致的。因此，小數加法起始課就是一節關鍵課，這節課要突出類比遷移，把整數加法自然遷移到小數加法。不管是哪一類的算法遷移，教學中一定要突出類比。在不同算法的比較中，意義的理解一定不能停留在形式上的簡單比較，要深入本質，才能形成本質的理解，這樣有助于發展學生的自主遷移能力。

例如，教學人教版數學五年級上冊“小數乘法”這一內容時，教材通過“想一想”（圖2），讓學生思考小數乘整數與整數乘整數有什么不同。以下是教學片段實錄：

想一想：小數乘整數與整數乘整數有什么不同？

師：同學們，請認真觀察并想一想，今天我們學習的小數乘整數與前面所學的整數乘整數有什么不同呢？

生：小數乘整數有小數點，整數乘整數沒有小數點。

師：你真善于觀察，一下子就發現了它們的不同。

師：你們都是這樣認為的嗎？

生：（齊答）是。

師：你們都太厲害了！

對于五年級的學生來說，這種外在形式上的細微區別被發現，還不能稱之為數學能力的真正發展。要達到算法意義的理解還得從本質入手，從尋找計算通法入手，計算從本質上來講就是基于對數位和計數單位個數的理解。因此，要理解這兩種數域內算法的不同，不能停留在形式上，還要引導學生往更深層次去思考、去發現、去理解，從而自然、自主地遷移至新問題情境中解決問題，以發展學生的遷移能力。

另外，學生的這種回答到底是針對結果找不同，還是針對參與計算的因數找不同？筆者通過課后調研發現，其實很多學生也沒有搞清楚，甚至有些教師也沒有搞清楚。如果是針對結果的話，計算結果根據最簡記錄要求，也不一定就有小數。因此，對于該問題的探討，還可以再深入一步。教師必須有這種抓本質的意識，讓教學走向深入，讓學生走向真正的深度學習。教學中，教師如果引導學生從計數單位和數位的角度去發現異同（圖3），這樣是有利于學生從本質算理去溝通整數乘法與小數乘法之間算法的聯系的，也有利于學生在今后的學習當中把整數乘法的計算方法、計算技能遷移到小數乘法，從而達到用舊知遷移類推新知的目的，真正發展學生自主遷移類推的能力。

三、注重單元整體教學逆向設計，不斷提升學生數學思維力的發展水平

查爾斯將數學大觀念定義為：對數學學習至關重要的觀念的陳述，是數學學習的核心，能夠把各種數學理解聯系成一個連貫的整體。注重單元整體教學關鍵課逆向設計，就是要站在學生發展的角度思考教師的課堂教學，以學生發展目標結果為始，真正做到以學定教。即不管教學哪種計算，方法、技能的掌握只是在算理理解后的一個必然結果，而理解掌握這些方法、技能的過程經歷才是學生核心素養發展的必要體現。因此，運算教學的單元整體教學關鍵課逆向設計就要以學生經歷計算方法、技能的形成過程，發展核心素養為目標設計導向。如乘法概念的教學，理解乘法與加法之間聯系的過程，就可以滲透數學優化的思想，引導學生感受數學的簡潔美，也可以讓學生體會到新知其實不新，不過是舊知的另外一種形式，從而激發興趣，增強學好數學的信心。尤其是根據需要追求簡便的這種創造性建模過程，是學生創新意識發展不可缺失的重要體驗和經驗積累。另外，乘法的計算方法，就可以根據這種聯系，通過遷移類推獲得，這個過程經歷也是學生推理意識的培養發展過程。教師要把這些數學關鍵知識、核心概念從本質上加以理解，并且要幫助、引導學生從本質上加以理解，以促進學生關鍵能力的發展；要有系統化的教學思維，讓教學既見樹木，也見森林。

因此，運算能力的發展可把數學思維—— 推理意識發展作為單元整體教學設計的隱性目標，以解決實際問題、發展學生應用意識作為單元整體教學設計的顯性目標，貫穿計算教學的始終。加強算理、算法意義的理解，打通不同算法之間的內在本質聯系，以實現學生自主遷移類推能力的發展，培養學生的推理意識；聯系生活實際解決問題，注重方法、策略的多樣性，以培養學生的應用意識。兩者兼顧，并行發展，最終達成發展學生運算能力的目標。

以人教版數學二年級下冊“除法的初步認識”為例，初步認識不應停留在形式上的簡單認識，也不應停留在僅僅只是記住幾個概念。理解除法的意義才是關鍵，因此，教學中就要思考這么幾個問題：除法的意義是什么？如何才算理解？如何幫助學生理解？除法跟其他運算之間有沒有聯系？如何幫助學生理解它們之間的聯系？筆者認為從四則運算的內容網絡結構圖（圖4）就能看見問題的本質，從而能很好地解決這些問題。這就是從整體視角來進行教學設計的好處。以下是一個教學案例片段：

【教學片段一】認識平均分

師：她想把這6塊糖分給爸爸媽媽一起吃，你覺得可以怎么分？

師：同學們以4人為小組，再交流一下。

師：老師已經看了你們完成的前置導學單，選了3種代表性的方法，請他們上來擺一擺。

預設1：● ●● ●●●

師：（一邊圈一邊說）這種分法是第一份擺1個，第二份擺2個，第三份擺3個。

預設2：● ● ●●●●

師：（一邊圈一邊說）這種分法是第一份擺1個，第二份擺1個，第三份擺4個。

預設3：●● ●● ●●

師：（一邊圈一邊說）這種分法是第一份擺2個，第二份擺2個，第三份還是擺2個。

師：每種分法都各有道理，但都是把6顆糖分成了3份。

師：三種方法有什么不一樣呢？（展開討論）

生：第1、2種每個人分到的糖果不一樣。

……

師：對，第3種分法比較特殊，每個人分到的糖果都一樣多。

師：像這種分法，每份都是同樣多，我們就把它稱為平均分。（齊讀）（板書定義）把“平均分”三個字再讀兩遍。

師：看來大家都知道什么是平均分了，我們來比一比誰的眼睛亮，下面哪種分法屬于平均分？為什么？

完成教材第8頁“做一做”第1題。

第一小題：為什么是平均分？

第二小題：這種分法其中有3份是同樣多，也是平均分嗎？

生：不是，因為最后一份只有1顆。

生：不管有幾份，每份都要同樣多。

師：（小結）我們在判斷是不是平均分的時候，要看每份是不是分得同樣多。

上述教學過程，教師帶領學生學習了一個新概念“平均分”。平均分雖然是新概念，但絕非新知識，可以認為是舊知識“減法意義”的另一種表征形式，如教學片段中的學生提出的3種代表性的方法，可以抽象表達為連減：

預設1：● ●● ●●● 即6-1-2-3=0。

預設2：● ● ●●●● 即6-1-1-4=0。

預設3：●● ●● ●● 即6-2-2-2=0。

學生所呈現的不同分法其實就是連減抽象算式的直觀表達，這在教學減法意義及連減的時候學生是有所理解的，預設3就是除法概念的直觀表示和抽象表示的另外一種形式，即除法就是平均分，也是連減中“減數都相同、得數為零”的減式的另一種表征方式，用除法表示就是6÷2=3。所以，教學平均分時，完全可以引導學生聯系減法及連減的意義和算式的表征形式，促進學生的理解和對知識的結構化認知。

【教學片段二】認識除法

師：剛剛通過分糖果的活動，我們知道了什么是平均分，功夫熊貓非常感謝大家，給你們帶了它最愛的竹筍，它想把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤有幾個？（板書：齊讀）

師：什么是平均放在4個盤子里？（課件圈出“平均放在4個盤子里”）

生：就是每個盤子里的數量同樣多。

師：在等分的過程中，思考兩個問題。第一，可以怎樣分竹筍？第二，到底每盤應放幾個竹筍？現在就請同學們拿12個小圓片代表竹筍，試著分一分吧。（2分鐘）

師：好了，再以4人為小組說一說你們是怎么分的？

學生匯報，以拖動課件的形式匯報3種分法，小組合作時教師要下去觀察。

師：在剛剛匯報的過程中，有的同學會“一個一個”地分，還有的同學會先“兩個兩個”地分，然后再把剩下的平均分。當然還有的同學“3個3個”地分。這3種分法，你們更喜歡哪種分法？

師：不管怎么分，結果是什么？能完整地說一說嗎？把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤放（ ）個。（多幾個人說）

師：你能將把12個竹筍平均放在4個盤子里，每盤放3個這件事情用一個算式表示出來嗎？

生：12÷4=3。

師：12、4、3分別表示什么？

……

師：（總結）通過剛才的學習我們知道了把一些物體平均分成幾份，求每份是多少，可以用除法算式表示。這就是今天我們要研究的內容。（板書課題）

知道份數，要求每份數。分的過程是多樣的，上述教學片段中呈現的3種分法是常見的分法，第1、2種方法是嘗試法（或者枚舉法），逐步尋找個數，第3種方法是經過一定思考后再分，基本能感受到每份所含有個數（數感比較強的學生能完成）。但是，有一個問題需要提出：“為什么沒有學生“4個4個”地去分呢？”從推理上來講，因為要分成4份，保證每份1個，所以可以4個4個地去分，能分幾次，自然就知道了每份的個數。就算學生開始沒有想到，但是教師繼續引領學生分下去，分一次減一次，減到為0止，再進行溝通，這樣的過程也是完全可以把除法跟減法聯系起來的。用減法表示就是12-4-4-4=0，減三次，得數為零，即分了3次，用除法表示更為簡單：12÷4=3。除法即減法，更準確地說是連減，只是減數都相同而已。從現實情境中來講，除法即均分，大家都要分得一樣多，并且這種現象在現實生活中很常見。均分有兩種類型：一種是知道每份分得的數量，求能分幾份；另外一種就是知道分成幾份，求每份所含的數量。但是這兩種類型實際上都是跟減法意義相關的。因此，除法不是新的計算，只是舊的計算形式的新表達。再類比乘法的概念（乘法即加法），學生對除法就一定不會覺得陌生，只會覺得親近，因為雖然是學新知，其實就是舊知的遷移和復習。概念的教學可以遷移類比，理解了算理，算法也可以進行自主遷移，這種理解多了，學生的推理意識就一定會得到有效發展，同時也會大大增強學生學好數學的信心。

所以，對于上述教學片段，在給出除法表達以后，教師如果能在總結之前再增加一個討論問題“探討平均分的過程與減法之間的關系，再深入一步探討除法與減法的關系，甚至與其他運算之間的關系”，學生對除法的認識就一定可以再上升一個臺階，達到本質理解，對四則運算就能形成結構化的認知。

小學生運算能力的發展基于四則運算算理的一致性理解、方法的掌握和熟練程度，缺一不可。基于真實情境抽象四則運算概念、定律的教學要關注知識間的內在聯系，關注學生對知識的結構化掌握，以發展學生的抽象意識；基于四則運算的內在聯系的算法教學，要注重算理的一致性理解，突出相同計數單位的“累加”，發展學生的自主遷移能力，以發展學生的推理意識；基于真實情境問題解決的教學，要關注知識的綜合、靈活應用和策略的合理選擇，以發展學生的應用意識。這些核心素養的發展需要教師從整體的視角來設計教學，實施過程中要注意學生運算能力發展的階段性，加強數學抽象意義和數學現實意義的雙重理解，以發展學生的運算能力。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.