實施單元整體教學 促進運算能力提升

【摘 要】運算教學中要讓學生感悟數的運算以及運算之間的關系，體會運算一致性。實施單元整體分析，開展單元整體設計與教學，能夠較好地促進學生對運算一致性的理解。以整數乘法運算為例進行大單元分析，能讓學生體會筆算加法與筆算乘法之間的聯系，理解用“先分后合”計算整數乘法的方法一致性。基于單元分析，對人教版數學三年級上冊“筆算乘法”進行單元內容統整，對關鍵課實施單元整體教學，能有效地促進學生對算理的理解，促進學生實現整體理解與知識遷移，進行深度學習，促進運算能力的提升。

【關鍵詞】單元整體教學 運算一致性 運算能力

人教版數學三年級上冊第六單元“多位數乘一位數”是在學生學習了表內乘法的基礎上進行編排的，它是對表內乘法計算的突破和延伸，需要用“先分后合”的方法（本質是乘法分配律）對多位數乘一位數進行轉化拆分計算，而這種方法將統領整數乘法計算，因此本單元學習在整數乘法大單元中至關重要，而此單元中“筆算乘法”第一課時是首次學習用列豎式的方法進行計算，是運用“先分后合”進行豎式計算表達的“種子課”，在本單元和整個“整數乘法”大單元中有重要作用和意義。為此，筆者從單元整體教學的視角出發，就“如何讓學生體會運算的一致性”進行了實踐研究。

一、研究思考

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：要讓學生感悟數的運算以及運算之間的關系，體會運算一致性，注重單元整體教學設計。整數乘法運算的一致性體現在哪里？“多位數乘一位數”單元是筆算乘法的學習起始，它在整數乘法運算體系中起什么作用？針對以上兩個問題，筆者從單元整體視角出發對多位數乘一位數的筆算教學進行了分析和研究。

（一）基于整體視角下的單元教材分析

1.教材編排分析

縱觀教材，整數乘法編排了四個階段（圖1），是按增加乘數位數的思路來編排的，本課例屬于第二階段的內容。第二階段的內容是在乘法的意義和表內乘法的基礎上進行編排的，它是表內乘法的知識拓展和延伸，新知生長點是需要借助整數的組成和乘法的意義進行拆數乘，把多位數乘一位數轉化成學過的乘法計算（以下統稱“先分后合”）。

圖1

三年級上冊“多位數乘一位數”：23×3=（20+3）×3=20×3+3×3。

三年級下冊“兩位數乘兩位數”：23×32=23 ×（30+2）=23×30+23×2。

四年級上冊“三位數乘兩位數”：123×32=123 ×（30+2）=123×30+123×2。

從上述例子可以看出，雖然乘數的位數在增加，但計算的道理不變，都是用“先分后合”算乘法。“先分后合”的算法其本質就是乘法分配律，這是整數乘法運算的一致性。

本單元作為探索“先分后合”算乘法的起始單元，既是表內乘法的突破和延伸，又是后面學習乘法運算的重要基石，它在整數乘法這個大單元體系中是一個關鍵單元。

2.教材地位分析

本單元的教材編排可以分為兩部分：第一部分是口算教學，例1是整十、整百乘一位數，例2是兩位數乘一位數；第二部分是筆算教學，包括6個例題，類型包括不進位、一次進位、連續進位、乘數中有0的乘法。

從關聯的角度分析本單元教學內容之間的聯系，其結構圖如圖2。

口算乘法和筆算乘法的計算道理其實是一樣的，都運用乘法分配律進行“先分后合”計算，不同的是：豎式計算是通過結構化的豎式來記錄算的過程。本課是教材初次編排乘法豎式計算，重點理解豎式計算和橫式計算的一致性，掌握豎式計算的基本模型，體會與加法數理的一致性，為后續學習進位乘法奠定基礎。

_{vhcAmVMvgMuLjneyJVARrt6QWMfgWNpsu3TQF5XDgsQ=}（二）基于單元整體視角的單元學情分析

乘法是加法的簡便計算，乘法和加法的計算有一致性。在學習乘法中學生出現的兩種情況值得關注：

情況1：多位數乘一位數不進位乘出現漏乘百位上的數（圖3）。

做一做

典型問題 主要表現 成因分析

百位上的數不乘，直接抄下來 沒有從“先分后合”的角度來思考

通過教材分析和學生談話，發現其原因之一是：乘法口算的教材只編排了兩位數乘一位數的口算，造成本節課部分學生未能實現遷移。

從一致性的角度來分析，不管是幾位數乘一位數，其口算方法都一樣。教材只編排兩位數乘一位數的口算，可能是出于避免大數口算的考慮，但如能增加編排簡單的三位數乘一位數口算，將是一個培養學生遷移類推能力的好機會，也是讓學生體會到運算的一致性的好機會。在這樣的編排下，即使是四位數乘一位數，甚至是需要進位的乘法，相信學生也能完成遷移學習。

情況2：筆算13×8，學生之前只在筆算加法中學習了“滿十進一”，因此絕大部分學生都知道向十位進“2”，且能說出其中的道理。說明進位的方法學生是能自主推理學習的。

基于以上分析，為了更好地發展學生的運算能力和推理意識，感受運算的一致性，教材可做再編排的單元整合設計。

（三）基于理解與遷移的單元教材整合

1.口算乘法編排做“加法”

教材編排新增123×3的學習，讓學生提前完成兩位數乘一位數計算方法的遷移，增強對整數乘法的一致性的感受。

2.筆算乘法編排做“減法”

筆算內容刪除不進位乘法筆算，直接學習16×3有進位的乘法。本課例就是整合后的課例教學，其教學目標定位如下：理解多位數乘一位數的算理，掌握多位數乘一位數不進位、一次進位的筆算方法，會正確地進行計算；經歷多位數乘一位不進位、一次進位的筆算方法的探究過程，體驗計算方法的多樣化，體會運算的一致性，促進學生運算能力和推理意識的發展；初步形成數學表達的意識和良好的計算習慣，體會數學學習的樂趣。

二、課堂實踐

（一）情境導入，明確對象

（1）播放視頻：

展示《動物世界》節目中各類動物冠軍，出示陸地上的跳高冠軍袋鼠的相關信息：

一只袋鼠身高16分米，跳高的高度是身高的3倍。

（2）提出問題：這只袋鼠一次能跳多高？

（3）列出算式：16×3。

（4）明確運算對象及意義：說一說為什么這樣列式？

生：要解決的問題其實就是求3個16是多少

（二）自主探究，明理定法

1.自主計算，喚醒舊知

師：它的積是多少呢？你能快速口算出來嗎？

生1：把16分成10和6，先算6×3=18，再算10×3=30，18+30=48。

師：用“先分后合”的方法能快速口算出來，真棒！

生2：我是用連加的方法來計算的，16+16+16=48。

師：其實我們還可以列豎式計算。這節課我們就一起來學習筆算乘法。（揭示課題）

【評析】喚醒口算教學中的計算方法，為筆算教學遷移作好鋪墊。

2.自主探究，概括方法

（1）自主嘗試：先思考乘法豎式怎么列？ 怎么乘？然后在草稿紙上動手試算。

（2）小組交流：4人小組交流，重點說一說你是怎么乘的？在豎式中如何記錄乘得的積？說清其中的道理。

（3）方法展示，全班交流。

①判斷對錯

師：老師搜集了3個同學的方法（圖3），分別寫在了黑板上，你覺得他們算對了嗎？

方法一： 方法二： 方法三：

生：我覺得前兩個同學的方法是對的，第三個同學算錯了，我們口算就知道是48，不是28。

②方法匯報

師：前兩個同學列的豎式有點不同，請他們上臺，分別給大家講講他們是怎么算的。

方法一：

生1：先算6×3=18，向十位進1，個位寫8。再算1×3=3，3+1=4，十位上寫4，合起來就是48。

師：能指著黑板講，真像一個小老師，那大家有什么問題需要跟他交流嗎？

問題一：3乘了個位上的6，為什么還要乘十位上的1？

生1：因為16×3里面有3個6和3個10，所以3要分別乘6和1，要乘2次。（自發的掌聲）

師：誰聽明白了其中的道理呀？

生2：……（重復道理）

問題二：為什么是加上進位的1，而不是乘進位的1？

師：乘法計算中為什么還有加法呀？這個問題很有意思！

生1：因為16乘3里面有3個6和3個10，18里面還有一個10，所以要加上這一個10。

師：你們聽懂了他的意思嗎？

生：我聽懂了，進位的1就是個位相乘得到1個10，所以要加上進位的1，就表示一共4個10。

問題三：為什么先算6×3，而不是先算1×3？

生1：如果從十位乘起，那個位進位就進不到了。

師：如果要加上進位的數，那我們得怎么辦呀？

生1：要把十位上的數擦掉，再重新寫加上進位后的數，那太麻煩了！

師：看來，從十位乘起也是行的，只是遇到進位的情況會比較麻煩，所以大家習慣從個位乘起，考慮得真周到。

方法二：

生1：先算6×3=18，十位上的1就是10，再算10×3=30，最后算18+30=48。

師：你們覺得方法二與方法一有什么聯系嗎？

生2：計算方法是一樣的，都是先乘個位上的數，再乘十位上的數。

生3：積的寫法不一樣，個位相乘時，方法二是直接寫18，方法一是向十位上進1，個位寫8。

師：聽了你們的發言，老師也明白了，其實計算方法是一樣的，只是記錄乘積的方法不一樣。兩種記錄方法，你認為哪種更簡潔清楚？

生：我覺得方法一更簡潔清楚，個位相乘的積是18，就像加法一樣，滿十就向十位上記“1”就可；30就是3個10，在十位上寫3就能表示3個10。

（4）板書示范，規范豎式計算過程。（略）

（5）直觀演示，促進理解。通過課件動態直觀演示，進一步理解算理。

（6）分析錯題，小結算法。

師：誰來說一說方法三錯在哪里？出錯的原因是什么？

生：只算了6×3，沒有算10×3。他可能以為像加法一樣，相同數位上的數才能計算。

師：如果讓你來當小老師，教大家計算的方法，你會怎么教？

生：先乘個位，再乘十位，滿十進一。

（三）鞏固練習，內化提升

1.第一關：猜猜“□”里藏著幾

重點關注進位的方法，通過專項練習概括進位方法。

師：觀察三道題目（圖4），為什么它們向十位進的數不一樣？

生：因為個位相乘的積不一樣，6×3=18，滿10所以進1，5×6=30，滿30所以進3，9×5=45，滿40所以進4。

師：那以此類推，相乘的積滿50、滿60，應該向前一位進幾？你能用一句話來概括一下進位的方法嗎？

生：滿幾十就向十位進幾。（板書：相乘滿幾十就向前一位進幾）。

2.第二關：比比誰算得更仔細

乘數位數由兩位數增加到三位數，通過對比練習實現算理和方法遷移類推，進一步概括算法，發展學生的推理能力。（圖5）

3.第三關：比比誰選得對

一只螞蟻的體重只有3毫克，但它能舉起的重量是體重的128倍，它能舉起多少毫克的重量？（圖6）

此題可以通過觀察積的個位、推斷積十位上的數和精算等兩種方法來作出選擇，旨在培養學生觀察數據特點的意識和推理能力，提高運算能力。

（四）總結評價，拓展延伸

師：通過今天的學習，你有什么收獲？

生：我覺得不管是加法、減法、乘法還是除法的筆算，都是要從個位算起。

師：學習乘法，能聯想到其他的運算，非常好！但除法筆算是不是從個位算起更方便，還有待我們去探索。

師：根據今天所學的方法，你覺得我們還能解決哪些乘法問題？課后可以思考思考。

三、課后反思

（一）實施單元整體教學設計，適度整合教學內容

數學學科是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯系。有時根據知識之間的聯系，從整體視角出發作適當的整合教學，能實現整體教學效率大于各部分分割教學之和的效果。整數加法筆算和整數乘法筆算有著密切的聯系。學生對整數加法中不進位加和進位加有了整體把握，教師再把乘法的不進位乘和一次進位乘兩個課時整合在一起教學，學生就能更好地從整體上感受整數乘法筆算和整數加法筆算的關聯，實現整體上的認知遷移。

比較筆算乘法和筆算加法，兩者之間存在許多一致性。筆算都會存在進位問題，進位處理方法是一致的；在乘的順序上是一致的，都要從個位算起，避免出現進位后十位上改數的問題；在記錄每一步計算的結果時，都是在結構化的豎式中進行的，通過數位和位置來簡潔表示。從以上課程W7Wyf8Myad50nQfzepzO/vnVQKK57m53IPoFlc2g2dY=整體的角度來看，學習筆算乘法，關鍵在于讓學生理解一位數要與多位數的每一位相乘的道理，其他都能依托已有的豎式計算經驗來實現遷移。而理解一位數要與多位數的每一位相乘的道理，在口算乘法整合課中已經完成了，并概括出了“先分后合”的方法，所以整合教學并不會增加學習的難度，反而讓學生學得更加靈活。

（二）注重對比勾連，促進數運算一致性的理解

數學學習貴在求聯。只有從更廣泛的角度，即用聯系的觀點進行分析和思考，才能達到更深層的認識。本課的勾連發生了四次。第一次是筆算乘法與口算乘法的對比勾連，學生通過對比理解了口算乘法與筆算乘法在本質上是一樣的，都是運用“先分后合”的方法計算，實現了方法的聯系統一；第二次發生在研究從個位乘起時，學生自覺與加法筆算溝通聯系，聯想到當計算需要進位時，從個位算起更便利；第三次是兩種乘法豎式計算的方法對比，體會借助數位和位置來進行記錄的簡潔性；第四次發生在全課總結階段，這是本課最有意義的對比勾連，學生從整數乘法要從個位算起，自覺發散聯想到四則運算，提出加、減、乘、除的筆算都是從個位算起的觀點。最重要的不是正確與否，而是學生有了整體的意識，能用對比的眼光自覺勾連知識之間的聯系，這正是單元整體教學課堂中追求的樣態。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.