直觀表征促理解，緊扣本質促遷移

【摘 要】運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。運算能力主要體現在三個方面，其中之一就是能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系。在乘法的運算教學中，教師要引導學生理解數和運算所表示的意義，經歷算理和算法的探索過程，體會數的運算與數的組成之間的密切聯系，感悟運算本質的一致性，培養運算能力和推理意識等核心素養，進而發展學生的數學思維。文章以人教版數學三年級下冊第四單元中“兩位數乘兩位數（不進位）”筆算乘法為例，探究如何基于單元整體視角下，聚焦運算本質，提升學生的運算能力。

【關鍵詞】運算本質 直觀表征 運算能力 推理意識

一、課前思考

乘法運算的本質就是計數單位的累加，除了能用口訣直接得到結果的以外，其他的都是把數按計數單位進行拆分，先分別求積，再求和，也就是“先分后合”。同時，這也是乘法分配律的本質所在，如32×13=32×（10+3）=32×10+32×3=（30+2）×10+（30+2）×3=30×10+2×10+30×3+2×3。而不同位數的筆算乘法，只是豎式中積的層數不同，方法是完全可以遷移的。

“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”可以說是整個乘法運算的關鍵課。學生在這之前已經學習了“表內乘法”、“多位數乘一位數”和“兩位數乘兩位數口算乘法”，之后將在四年級學習“三位數乘兩位數”。本課重在讓學生利用轉化思想，將兩位數乘兩位數轉化成兩位數乘整十數和兩位數乘一位數，來理解算理、遷移算法，同時又重在建構豎式雙層積的模型，為后續多位數乘多位數的學習實現自主遷移。

通過學生訪談與問卷，教師發現大部分學生知道算式的結果，卻不能正確地表征算理和算法，出現了第二層積寫錯位置的現象，究其原因還是學生沒有理解每一步的意義。教材在編寫時，特意加入了點子圖這一直觀模型，它既能簡潔形象地表征數和算式的含義，讓學生從不同的角度充分地感悟“分”的多樣化及“合”的一致性，又能幫學生理解算理和豎式計算方法，感悟到乘法運算中根據計數單位拆數，再將相同計數單位累加的本質。

因此，本課的教學目標定為：

1.經歷自主探究“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”的過程，借助點子圖理解算理、掌握算法，發展運算能力和推理意識。

2.在操作、分類、比較、歸納中優化算法，培養學生將新知轉化為舊知解決問題的遷移類推能力。

3.感受知識與知識之間、知識與生活之間的聯系，培養學生自主遷移的能力，激發學生的學習興趣。

教學重點：理解兩位數乘兩位數的算理，掌握豎式計算方法。

教學難點：理解豎式第二步積的位置書寫，體會乘法運算的本質。

二、課堂實踐

（一）情感熏陶，提出問題

師：今年的4月23日，是第29個世界讀書日，主題是“閱讀推動未來”。我們學校的讀書活動也如火如荼地開展，同學們讀經典、誦美文，都沉浸在了書香的世界里。

課件視頻播放學生讀書活動并出示圖片，如圖1。

師：為了豐富圖書品種，學校決定購買一批圖書。

根據這些信息，你能提出什么數學問題？

生：一共買了多少冊？

【思考】教師以世界讀書日為背景，在潛移默化中引導學生樹立讀書意識。接下來從學生真實的生活問題引入，激發學習興趣。

（二）自主探索，嘗試解決

1.表征原型，理解算式本質

師：要解決這個問題怎么列式？

生：14×12。

師：為什么用乘法呢？

生：因為每套書有14冊，有12套，也就是求12個14是多少，用乘法比較簡便。

師：你對乘法的意義理解得真好。如果我們用一個圓點來表示一冊書，那這一行就是14冊，有12行，要求一共有多少冊，也就是要求12個14的和。

課件動態演示，如圖2。

（師板書：14×12）

【思考】數的運算要基于理解數的結構和運算的意義，教師借用點子圖幫助學生理解14×12的本質是求14個12的和是多少或者是12個14的和是多少，直觀表達乘法的意義，為后續揭示乘法運算本質埋下伏筆。

2.勾連舊知，感悟轉化思想

師：這是一道兩位數乘兩位數的算式。結合我們之前學習多位數乘一位數、兩位數乘整十數的經驗，用什么方法來幫助我們解決這個新問題？

生1：我覺得可以用轉化的方法，把其中的一個兩位數拆分成一位數加一位數，再來算。

生2：也可以轉化成整十數加一位數。

【思考】轉化思想在乘法運算中有著至關重要的作用，通過喚醒學生已有的學習經驗，將“先分后合”的方法遷移到兩位數乘兩位數，促進學生思維能力的發展。

3.直觀操作，探究算法多樣

師：從舊知識中想到了解決新問題的方法，真了不起。現在請同學們獨立思考，試著用橫式寫出計算方法，并用點子圖把自己的方法表示出來，再和小組成員說一說自己的想法。

課件出示探究要求，如圖3。

探究單

1.想一想：14×12應該怎么計算？

2.寫一寫：把想法用橫式表示出來。

3.圈一圈：試著用點子圖表示出自己的想法。

4.說一說：和同桌說一說自己的想法。

計算方法：

學生自主探究，組內交流，教師巡視指導并收集作品。

生1：我把12分成了2個6。上面圈的部分表示6個14，下面也有6個14，都可以用14×6=84來計算，再把兩個部分合起來，可以用84+84=168，也可以直接用乘法84×2=168。

展示學生作品1，如圖4。

生2：我把12平均分成了3個4。先算14×4=56，表示每份點子圖都是56，一共有3個56，直接用乘法56×3=168。

展示學生作品2，如圖5。

生3：我把12分成2和10。先算14×2=28，表示2個14，也就是上面這2行點子圖的數量。再算14×10=140，表示10個14，就是下面10行點子圖的數量。最后算28+140=168，表示一共有12個14。

展示學生作品3，如圖6。

生4：我是把每行的14拆成了10和4。先算左邊的12個10，12×10=120，再算右邊的12個4，12×4=48，最后合起來120+48=168，也算出了14×12的結果。

展示學生作品4，如圖7。

師：同學們不僅找到了這么多的計算方法，還能通過點子圖說明其中的道理，真是了不起。

【思考】通過橫式寫一寫、點子圖圈一圈、小組說一說等系列活動，放手讓學生從不同的角度充分地感悟“分”的多樣化，達到了橫式表征、圖形表征、語言表征的一致性，在數形結合中幫助學生直觀充分地理解“先分后合”的算理。

4.對比辨析，優化計算方法

師：對比這4種方法，它們有什么相同和不同之處嗎？

生：它們都用到了“先分后合”的方法。作品1和作品2是把12平均分，作品3和作品4是把其中一個數分成了一個整十數和一個一位數。

師：為什么要先分后合呢？

生：通過分一分，我們可以把兩位數乘兩位數，轉化成以前學過的兩位數乘一位數或是乘整十數這樣的舊知識。

師：說得真好！帶著轉化的思想去學習，我們可以輕松地解決很多的新問題。在這些方法中，你最喜歡哪種方法？為什么？

生1：我最喜歡作品1表示的方法，14×6=84，84+84=168，平均分兩份，容易口算。

生2：我不太同意你的看法。如果是13×23，這兩個數都沒有辦法平均分得到整數。

師：發現這個問題了嗎？（生點頭）

生3：我喜歡作品3表示的方法，14×2+4×10= 168。因為兩位數乘整十數非常容易口算，更重要的是任何一個兩位數，我們都可以把它拆成一個整十數和一個一位數。

生4：我也喜歡作品3表示的方法和作品4表示的方法。多位數乘一位數，我們是根據計數單位把數進行拆分，所以我覺得兩位數乘兩位數應該也是這樣。

師：在同學們的辯論中，我們清楚地看到了，根據計數單位把兩位數乘兩位數轉化成兩位數乘整十數、兩位數乘一位數來計算，是一種基本的計算方法，它與筆算也有著重要的聯系。

【思考】通過關鍵問題，讓學生對比辨析不同算法的特點，引導學生從計數單位的角度去理解運算的意義，打通了學生對數的意義與運算一致性的理解，發展了學生的運算能力和推理意識，為建構豎式模型奠定基礎。

5.圖式結合，建構豎式模型

師：現在，你能試著用豎式來計算14×12嗎？在學習單上寫一寫。

學生自主完成，教師巡視收集典型作品展示，如圖8。

方法一（1號） 方法二（2號）

師：對比這些方法，你覺得哪種方法能夠清楚地表示出計算的過程呢？

生：我覺得是2號作品，它這里有兩層，能看得出先算了2×14=28，再算10×14=140，最后再算28+140=168。

師：（問1號作品學生）你覺得呢？

生1：確實比我的更清楚，能看出每一步是怎么計算的。

師：那我們請2號作品的創作者，結合點子圖來說說自己的計算過程。

生2：我把12分成10和2，第一步算點子圖的上面這個部分，14×2=28，把積寫在第一層；第二步算點子圖的下面這個部分，14×10=140，把積寫在第二層，最后把兩層的積加起來是168。

生3：老師，我還有發現。我們在計算時，做了4個乘法，第一個是2乘4得8；第2個是2乘1得2，但這里的1表示一個10，所以是20；第三個是1乘4得4，1表示一個十，所以是40，4寫在十位上；最后一個是1乘1得1，這兩個1都表示一個十，所以是100，1要寫在百位上。

師：把兩位數乘兩位數轉化成了4個表內乘法，再根據計數單位寫在相應的數位上。你能這么深入地理解，真是太棒了！為了讓同學們看得更明白，你能在點子圖上把這四個部分分別圈出來嗎？

學生圈寫，如圖9。

師：謝謝你用圖讓我們清楚地看到了過程。老師還收集到了一幅作品，我想請作者來說說自己的想法（指學生作品錯誤處，圖10）。

生5：（不好意思）我也是先算14×2=28，在算14×10=140時，我把它直接想成14×1=14，寫積的時候沒有對齊數位，就發現自己錯了。

師：很善于發現問題。那要提醒大家注意什么？

生5：就是計算第二步的時候，要記住這個1表示的是1個十，1個十乘4個一，得到的是4個10，這個4要寫在十位上。1個10乘1個10得到的是1個百，這個1要寫在百位上，也就是說乘出來是什么單位，就要寫到什么數位上。

師：針對他修改后的寫法，大家有沒有什么疑問的地方？

生6：140的個位上沒有寫0，可以嗎？

生5：我覺得個位上的0寫不寫都不會影響結果，因為1寫在百位上了，4寫在了十位上，借助數的位置我們可以清楚地看出這是14個10。

生7：加號也可以省略不寫嗎？

生5：數學不是講究簡潔美嗎？除法中的減號可以省略不寫，那乘法中的加號也可以省略不寫吧！

師：在同學們的一問一答中，我們的知識不斷地完善。正如同學們所說的那樣，我們在筆算兩位數乘兩位數時，第二個乘數十位上的數乘第一個乘數的積，個位上的0可以省略不寫，但數位一定要對齊。我們一起把這個過程寫一下，你們說，我來寫。

教師板書學生計算過程。

師：觀察豎式計算、橫式計算和相應的點子圖（手指板書），它們之間有什么關聯？和同桌交流交流。（圖11）

學生同桌交流，教師巡視，學生匯報。

生：它們表示的意思相同，算法也是一樣的，都是把12分成10和2，先算兩個乘法，最后算加法。

師：說得真好。筆算其實就是把3道口算綜合在一個豎式中，這樣計算就更加簡便了。結合到例題，誰能說一說每一步分別表示的是什么意思？

生：14乘2表示的是兩套書的冊數是28，14乘10表示的是10套書的冊數是140，28加140表示是的12套書的冊數是168。

【思考】在學生借助點子圖充分理解兩位數乘兩位數的算理后，順勢讓學生嘗試創造出體現計算過程的豎式。再借助點子圖，讓學生將豎式計算中的每一步與圖形同步表征，促進了學生對兩層積位置的理解。通過對比點子圖、橫式與豎式三者之間的關聯，將抽象的數與直觀的形緊密結合，幫助學生形象地建構起兩位數乘兩位數形象的豎式模型。

（三）鞏固應用，拓展深化

1.做一做

學生獨立完成（圖12），代表板演反饋，集體訂正。

2.算一算，填一填

學校舉行讀書節成果匯報展示，圖13是三年級全體學生的列隊圖。

三年級一共有多少名學生？

生獨立計算后，反饋交流發現豎式中的每一步都可以在圖中表示出來。

3.介紹面積圖和鋪地錦

師：通過點子圖和表格，我們直觀形象地理解了乘法運算“分與合”的算理。除了這些方法，我們的古人還會用這樣的面積圖和“鋪地錦”的方法來計算兩位數乘兩位數，我們古人把這種方法叫作鋪地錦。見圖14。大家看看，它是怎么做的？

生：它也把數按計數單位拆分開，分別計算有幾個一，幾個十和幾個百。

師：是的，看來同學們對乘法有了非常深的感悟。

【思考】通過基本筆算、點子圖說理練習和數學文化的拓展，學生再次清晰了兩位數乘兩位數的算法，強化了“幾個幾和幾個幾相乘得幾個幾”的算理。

（四）梳理總結，類推遷移

師：誰再說一說這節課有什么樣的收獲？

學生匯報。

師：對比兩位數乘兩位數和兩位數乘一位數，它們之間有什么相同和不同之處？

遷移：根據這些學習經驗，這樣的三位數乘兩位數213×32怎么計算？學生課后探究。

【思考】教師通過往前看多位數乘一位數，往后看三位數乘兩位數，凸顯了乘法運算本質算理的理解，突出了知識的結構化認識，引導學生認清知識本質，遷移類推來解決新問題，進而培養了學生的推理意識，提高了運算能力。

三、課后思考

小學生運算能力的培養，不能盲目地認為熟能生巧，而要站在學生的立場，從單元整體視角的高度，引導學生經歷有形有思的探究過程，體會運算本質及運算之間的關聯，這樣才能對運算進行融通理解，形成合理的認知結構。

一要關注知識的本質理解，實現結構化的認識。計數單位是任何運算教學的核心概念，教師在教學時要充分研究數和運算的意義，從計數單位的角度去引導學生理解“法”與“理”。在本課教學時，結合三年級學生的特點，教師充分借助點子圖，讓學生經歷了14×12的意義表征、算法多樣化的探究、以圖說算理、豎式建模與第二層積的位置理解、橫豎式和點子圖的對比等活動，讓學生理解了兩位數乘兩位數的本質是把數拆分，分別進行幾個幾、幾十個幾、幾百個幾累加的過程，也就是計數單位的累加，連通了“位”與“值”，幫助學生實現了乘法運算的結構化認識。

二要注重知識的前后關聯，感悟運算的一致性。史寧中教授說，培養運算能力，就是要讓學生學會從已知到未知。教學中，通過喚醒學生已有的兩位數乘整十數、兩位數乘一位數的學習經驗，感悟到“轉化”思想的重要性。課堂小結處，教師讓學生回顧兩位數乘兩位數和兩位數乘一位數的同與不同之處，再拓展多位數乘多位數，為學生不斷打通乘法運算之間的壁壘，找尋到知識的關聯之處和生長之源，使學生深切地感悟到運算的一致性，推動了學生運算能力和推理意識等核心素養的發展。