多元表征明算理，遷移類推通算法

摘 要：口算是諸多運算中的一種最基本的運算，但是口算教學不是一件容易的事情。口算教學能幫助學生明晰算理，遷移算法，提高運算能力，滲透數學思想。文章以人教版三年級下冊“口算除法”為例，通過分析不同版本教材、教師教學現狀以及學生學情，發現問題并進行思考與探究，旨在探索教學策略，巧解教學疑慮。

關鍵詞：口算除法；多元表征；算理；算法遷移

計算能力是數學的基本技能之一，而口算則是這種技能的關鍵環節，同時在“數與代數”的研究中占據著極其重要的地位。掌握口算技巧，理解算法，對于后續的估算和筆算學習有很大幫助。因此，教師需要依據學生的理解和實際學習狀況，構筑一個讓學生研究和理解數字運算的平臺，協助他們解讀不同算法之間的深層聯系，指導他們進行數學的深度學習，從而進一步鞏固他們的數字運算能力。

一、聚焦現狀，直面教學問題

“口算除法”一課是人教版三年級下冊第二單元“除數是一位數的除法”的教學內容，筆者在查閱資料后發現本節課在教學中存在以下問題。

（一）教師“簡單”教

教師往往覺得傳統口算教學的內容單薄，沒有深入研討的價值。在實際教學中，教師也發現學生可以快速根據“想乘算除”或者“去0添0”簡化成表內除法的形式來計算。上課時，聽到學生的正確回答聲，使不少教師覺得口算除法教學輕松，學生學得也輕松。這就會造成學生表面上是學會了算法，但是對算理的理解并不深刻。

（二）學生“淺顯”學

對于口算除法，學生覺得難度不大，自己完全可以掌握，看到算式往往就會不假思索地寫上得數。在口算遷移的過程中，學生就只會機械套用口算的“簡化”外形，用“去0添0”法來進行計算，但并沒有深刻理解其中的道理，而且不能把算法算理聯系起來，導致學生在計算口算除法時數位錯誤，特別是像200÷5，4000÷8這樣的口算除法。同時，學生覺得口算除法簡單，就算出現錯誤也是覺得是自己粗心所致，并不會深究其中的原因。

二、追根溯源，了解學習起點

“口算除法”這堂課是屬于算法簡單，但是算理值得細究的一堂計算課。那么如何讓學生自主探究發現計算過程中的道理呢？筆者從學生、教材、教學入手，努力解決這些困惑，并參考相應的文獻資料，提出促使學生在有效的探究活動中，能夠在已有的知識經驗、算法遷移、思維提升等方面感知算理、遷移算理的有效措施。

（一）教學分析

筆者對比了人教版、北師大版和蘇教版三個版本的數學教材，發現三個版本的內容是相同的，只是知識的編排順序和位置不太相同。人教版教材例題情境圖是將手工紙設計為10張一沓，一共6沓平均分給3人；北師大版教材是將10根胡蘿卜為一捆，一共6捆平均分成2份；蘇教版教材是將10支鉛筆為一捆，一共6捆平均分給3個班。三個版本教材都以動態呈現分物品的方式，為學生理解算理提供支撐。其中，人教版教材的反饋環節重點呈現了算理：6個十除以3等于2個十。而北師大版和蘇教版同時呈現算理和算法，算法有“想乘算除”法和“去0添0”法，但是算理算法的呈現并不分明。

（二）學情分析

學生在對口算除法的學習已經具備一定的學習基礎。那么之前的學生的計算能力能為本節課提供哪些服務？又會出現哪些學習困惑？為此，筆者設計了學習前測單，以此了解學生的學習起點，評估學生的學習水平，助力學生對運算本質的深度理解。對于前測結果，筆者從兩個方面進行研究。研究一：學生在課前能口算得出除數是一位數的除法算式的答案嗎？研究二：學生在課前能表示口算除法的算理嗎？

數據表明，學生對算法有所感知，從“研究一”的前測結果看出大部分學生對于口算除法都能得到正確的結果，與60÷3相比，120÷3的正確率有所降低，像200÷5這樣最高位不夠除的口算除法，學生有一定的困難。在“研究二”不難發現，大部分學生用了“去0添0”法來計算，但是卻不明白其中的道理。幾乎沒有學生能表征出真正的算理：把60看成6個十，6個十除以3等于2個十。

通過對不同版本教材的分析以及前測結果，筆者認為本節課教學中應給學生提供豐富的素材進行多元表征，數形結合，為學生理解算理提供直觀支撐，同時給學生足夠的時間，讓每一個學生深入地去探究、做到“理”“法”分明，提供不同層次的練習，在趣味練習中突破學生的難點，引導學生遷移算理和算法，為后續學習做好鋪墊。

三、教學實踐，尋求多維策略

（一）算法先行，巧質疑

本節課的算法簡單，所以可以一開始就充分“暴露”學生已有的知識經驗，讓算法先“立”起來，這就是“算法先行”。

【片段1】

1. 出示題目，理解題意。

把60支水彩筆平均分給3人，每人分得多少支？

師：你能列出算式嗎？為什么用除法列式？60÷3怎么口算？

生1：因為20×3＝60，所以60÷3＝20。

生2：我把60的0先去掉，計算6÷3＝2，再添上0就是20。

2. 提出質疑，引發思考。

師：為什么可以這樣計算呢？請你先靜靜地想一想。

本課以解決問題的方式引入，借助“你是怎么口算的”“為什么可以這樣算”等關鍵問題，激發學生學習動機，促進學生對算理的思考，自發運用已有的知識去解決新的問題。

（二）多元表征，巧說理

為了讓學生能更好地理解算理，需要呈現多元化的素材，為學生探究算理提供直觀形象的支撐，這不僅可以促進學生對數學知識本質的深刻理解，還可以積累豐富的數學活動經驗。

【片段2】

1. 研究60÷3＝20。

師：為什么60÷3可以用“去0添0”的方法來計算呢？你可以選擇合適的材料（小棒圖、計數器圖），把你的想法用畫一畫或者寫一寫的方式表示出來。

2. 反饋交流。

3. 小結算理。

師：原來“去0添0”的方法，實際上就是把60看成6個十，6個十除以3等于2個十，就在2的后面添上0。

學生借助小棒圖、計數器等多種表征方式，直觀感受6捆÷3＝2捆，6顆十位上的珠子÷3＝2顆，也就是20。利用不同材料，讓學生進行多元表征，引導學生構聯不同方式之間的聯系，從中逐步抽象出算理。在生生互動的過程中，在一次次圖示和算理的溝通中內化理解口算除法的算理。

（三）借助教具，巧聯系

引導學生將口算除法的算法和算理進行遷移，借助形象的計數器教具，找到6÷3，60÷3，600÷3，6000÷3這4個算式之間的聯系。

【片段3】

1. 動畫出示計數器圖。

在十位上有6顆珠子，平均分成3份，表示60÷3＝20。

2. 這6顆珠子還能放在哪里？該怎么列式？

①個位：6÷3＝2；②百位：600÷3＝200；③千位：6000÷3＝2000。

3. 600÷3，6000÷3這兩道題怎么口算？能不能結合圖說說你的想法。

生：6個百除以3是2個百，就是200。6個千除以3是2個千，就是2000。

4. 觀察討論，溝通聯系。

師小結：整十、整百、整千數除以一位數，我們可以看成幾個十、幾個百和幾個千去除以一位數。所以口算時可以用“去0添0”的方法轉化成我們學過的表內除法來進行計算。

在課堂上充分利用計數器的動態展示，不僅豐富學生的認知，還為知識結構化的形成提供了載體。通過直觀的計數器，展現這些算式都是以6÷3＝2為基礎拓展的，這過程將口算除法的算理串聯起來，并通過練習對比，使學生總結計算整十、整百、整千數除以一位數，都可以把被除數轉化成幾個計數單位去除以這個一位數。在學生經歷比較的過程，明確算理的一致性，滲透轉化思想。

（四）遷移類推，巧轉化

學習完例1的口算除法知識后，大部分學生能運用所習得的方法獨立解決例2的問題，實現知識、方法的自主遷移類推。

【片段4】

1. 出示習題，獨立完成。

2. 錯例分析，比較探究。

3. 師小結：并不是被除數有幾個0，商的末尾也有幾個0，我們要看清楚到底去掉了幾個0，才能在商的末尾添上幾個0。

對于120÷3的口算沒有什么難度，讓學生說一說其中的算理，學生也都能掌握。而對于400÷8這樣的題目，屬于學生計算的易錯點，也是難點。以錯例的出示讓學生避免產生思維定式，明確整十整百、整千數除以一位數，商末尾0的個數和被除數末尾0的個數不一定一致。

（五）趣味練習，巧拓展

練習是鞏固知識的重要載體，教師更要設計有趣的口算游戲、新穎的口算題型來激發學生的學習興趣。同時，使學生在基礎知識得到鞏固的基礎上適當地拓展延伸，讓學生體會學習知識的樂趣。

四、反思回溯，探索教學本質

（一）凸顯運算本質，實現運算一致性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出“教學評一致性”的教學理念。而數的運算與數的概念一樣，其本質上的一致性離不開計數單位這一核心概念。正如本節課中，讓學生通過多元表征來明晰算理，整十、整百、整千除以一位數可視為數個十、數個百、數個千除以一位數，即將被除數視為數個計數單位進行計算，使學生深刻體會到數的運算本質上是以計數單位的運算為基礎的，從而形成運算能力，形成推理意識，使后續學習兩位數除以一位數以及四年級學習除數是整十數的口算除法的過程中，實現了知識的遷移，凸顯了運算本質上的一致性。

（二）多元表征、遷移類推，實現深度學習

多元表征可以促進學生對數學知識本質的深刻理解，從不同的表征方式中抽象出算理，突出口算除法的算理內涵。引導學生運用所學知識自主探究新知，培養了學生遷移類推的數學思想，能夠為學生未來的長遠發展奠定基礎。正如這節課，學生通過多元表征抽象出算理，建立算理模型。在說理辨析中，深入探究算理結構。在知識的遷移類推中，拓展算理結構，形成算法模型。這不就正是深度學習的發生。對于口算教學，教師要有類的意識，巧用結構化教具建立口算的模型，讓學生從一道題到一類題，充分發揮口算教學單元起始課的作用，為后續筆算教學奠定基礎。

（三）精心設計，把口算教“簡單”

深度研讀教材是做好教學設計的前提，讀懂學生心理是進行有效教學的關鍵。

在開始設計這節課時，筆者認為這節課的內容太少，在深入研究后才意識到這節課可以上得如此豐富。本節課重點是引導學生構建算理的模型，并且在理解算理的基礎上概括算法，從而明晰算理，遷移算法。通過“算法先行，巧質疑；多元表征，巧說理；借助教具，巧聯系；遷移類推，巧轉化；趣味練習，巧拓展”這五個精心設計的環節，使知識之間縱橫連接、凝結成塊，形成學生的數學核心素養。

對于計算教學，作為教師應該要教“簡單”，而不是“簡單”教。計算教學還有很多的理念和策略值得我們去研究和深思。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］顧志能.理法更分明 教學更合理［J］.教學月刊·小學版（數學），2023（10）.

［3］吳夢媛.單元整體視角下“口算除法”教學的“破”與“立”［J］.小學數學參考，2023（11）.