高中數學教學中融入數學建模思想的實踐研究

摘 要：數學學科的強大功能應得到重視，一方面，教師在教學中融入數學建模思想能夠提升教師專業教學能力；另一方面，學生在學習中培養數學建模思想能夠幫助學生強化數學學習能力.教師把“如何將數學建模思想融入高中數學教學中”作為重要研究課題，通過有效性教學思想的應用，體現高中數學教學實效性，為學生發展核心素養助力.

關鍵詞：高中數學；建模思想；核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出，建模思想是數學核心素養重要組成內容.［1］教師將“數學建模思想”融入高中數學教學中，幫助學生了解數學學科的重要地位，啟發高中生的數學思想，為培養數學核心素養提供重要依據.本文針對數學建模思想融入高中數學教學，提出基本教學原則和方法，以“用樣本估計總體”為例進行教學分析，將建模思想融入教學設計和教學案例中，致力于培養高中生的數學建模能力.

1 統計模型研究內容

1.1 教材分析

“統計”是高中數學知識點的重要組成部分，統計能力是學生的數學基本能力.在統計教學中，教師應結合高中數學知識點之間的關系，進行多知識點并聯、串聯教學活動，突出“統計”教學的重要地位.統計學知識在高中數學教材中占有重要地位，結合義務教育階段數學教材中介紹的“統計學”知識，高中“統計學”教學在此基礎上進行深化和創新.數學教師主要指導學生自主收集相關數據，并且嘗試在數據分析、數據處理的過程中理解“統計”的含義，達到培養學生數學思維的目標.人教B版數學教材中，設計了“樣本估計總體”的教學內容.教師為學生提供帶有明顯特征的數字樣本，要求學生借助樣本來猜測“數據總體”的特征.通過實施“用樣本估計總體”的數學教學，使學生掌握具體抽象方法和數字特征，強化對樣本數據的學習處理能力，為學生發展統計學思維，強化統計學能力提供重要依據.

1.2 教學目標

（1）傳授知識，培養技能.教師引導學生明確“統計”的概念，選取教材中的相關實例引入統計概念.結合生活實例，啟發學生嘗試運用樣本來推測數據總體的特征，保證學生明確“集中趨勢參數”的含義與特征，培養學生結合數學例題來分析統計樣本的能力，并且結合方差等重要的數學概念，歸納“離散程度參數”在數學統計中的重要性.

（2）注重過程，探索方法.統計學的教學過程應當緊密結合生活實際，教師要注重學生的探索過程，而不是僅限于重視數學解題的正確率.［2］教師引導學生運用“數學建模思維”來分析統計學的相關例題，培養學生良好的解題綜合能力.

（3）提升認識，塑造觀念.本課程的教學目標在于塑造學生的科學價值觀，指導學生養成善于統計的習慣.教師啟示學生運用科學態度來分析相關的生活問題，引導學生嘗試運用數學思維來建構模型.教師在教學時應注重學生的科學精神培養，引導學生在數學解題中做到嚴謹、耐心，培養學生的建模觀念、邏輯推理觀念.

1.3 教學重難點

本課程的教學重難點如下.

教學重點：隨機選取數學統計樣本，要求學生采取直觀觀察、數學建模等方法，大膽猜測總體數據的特征.

教學難點：要求學生掌握“分層抽樣”的含義及其實施方法，借助分層抽樣的做法來評估數據樣本的特點.

2 統計模型教學過程

2.1 情境教學，做出假設

問題情境：下面是我們班級與隔壁兩個班級的88名學生身高數據（單位：cm）.計算這組數據的總體平均數和總體方差，可以用哪些抽象方法.針對這一總體可以選擇哪種抽樣方法.此樣本的平均數和方差與總體的平均數和方差存在怎樣的關聯性.

161，168，166，168，152，152，164，170，167，166，153，165，168，167，163，157，160，159，153，169，173，170，162，157，152，180，178，158，162，164，172，165，155，163，178，159，168，161，168，165，158，166，174，175，165，160，161，177，163，170，155，156，161，169，167，151，156，158，165，179，161，176，162，168，153，169，155，165，163，166，172，160，173，164，172，164，171，149，158，155，169，150，173，170，162，165，165，155.

【設計意圖】這一教學活動從學生熟悉的“身高”知識點著手，引出本節課的知識點，能夠培養學生探究學習興趣.情境教學能夠引導學生復習以往知識點，增強數學學習能力，強化學生問題解決能力.

2.2 自主探究

教師將4～6名學生分為一組，指導各組學生在總體樣本中，運用隨機的方式來抽取數量為10的樣本.教師鼓勵學生運用所學的統計學知識嘗試算出選取樣本的方差與平均數.教師選取三個學習小組展示探究成果.

【設計意圖】教師利用小組合作學習，讓學生體會知識獲取過程，掌握學生實際學情.教師利用小組合作學習探究，增強學生自主學習能力和合作探究能力，增強學生隨機抽樣操作規范性能力.

2.3 建立模型、分析模型

師：同學們在小組合作學習中，能夠規范抽樣步驟.下面我們研究、討論三個學習小組的數據和總體數據，請同學們描述自己的體會與收獲.

生1：經過計算得到的樣本平均數、樣本方差，其結果不完全吻合數據總體的平均數、方差值.

生2：經過計算得到的樣本方差、樣本平均數，非常近似數據總體的方差、平均數.

師：大家都回答得很好.那么經過探究計算，我們主要能夠得到如下結論.

（1）只要采用了合理、適當的方法來抽取樣本，就能夠保證數據總體的特征與樣本特征相吻合.

（2）利用樣本數字特征估計總體數據特征，能夠節約統計時間，提升統計速度.

（3）用樣本估計總體，存在誤差.設總體平均數記為μ，樣本平均數記為x ，m和x 大小存在μ>x ，μ=x ，μ<x三種可能性.

【設計意圖】在這一學習中能夠鍛煉學生觀察能力、配合能力，提高學生樣本數據與總體數據對比分析能力，由此培養學生數學建模思想.

2.4 模型求解，檢驗模型

教師利用多媒體教學工具，對總體數據進行隨機抽樣，通過數據驗證獲取數據的準確性.教師利用計算機抽樣，啟發學生認識到自動計算得到的樣本方差、樣本平均數非常近似真實的數值，二者之間通常存在極小的誤差.因此，在采取合理抽樣方法的基礎上，借助科學計算手段能夠分析得到正確的數據總體特征.

【設計意圖】利用模型求解，再驗證模型的過程是學生建模思想培養的重要過程.這一過程對發散學生數學邏輯思維具有促進性作用，對提高學生數學問題解決能力具有現實意義.

2.5 應用模型

2.5.1 創設情境，導入知識

問題情境：某學校高一教師需要統計學生的身高，教師現在隨機抽取了女生15名、男生20名作為統計樣本.在此基礎上，經過計算得到男生平均身高為170cm，方差為16cm2；經過計算得到女生平均身高為165cm，方差為25cm2.求“數據總體”的方差與平均數.

2.5.2 學生討論，模型假設

生1：我們可以直接通過樣本的選取，計算“數據總體”的方差與平均數，因為樣本與總體之間幾乎不存在差異.

生2：這一做法缺乏有利依據，且所得數據不夠精準，容易造成較大誤差.

生3：分別算出兩層樣本平均數和方差的算術平均數，以此為總體數據，即估計總體平均數為 170+1652=167.5 cm，估計總體方差為 16+252=20.5 cm2.

生4：這一方法不夠嚴謹，原因是難以體現出分層抽樣特點.

生5：將各層中數據組合為整體，重新計算.

【設計意圖】教師組織學生多角度討論分析，考慮多種計算能力并針對不同方案提出合理分析、討論具體結果.若學生遇到困難，教師給予指導，提高“教”與“學”的質量和效率.

2.5.3 建立模型，拓展思維

假設通過分層抽樣的方法抽取了m名男生，n名女生，其中m 名男生的身高為x1，x2，…， xm ，平均數為x，方差為s2； n 名女生的身高為y1，y2，…， ym，平均數為y ，方差為t2.設樣本的平均數為a ，方差為b2.分析總體樣本數字特征與分層樣本數字特征有什么關系.

（1）平均數.∵ x =x1+x2+…+xm m=1m mi=1xi，y =y1+y2+…+yn n=1n ni=1yi，

∴a =x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn m+n=mi=1xi+ni=1yim+n=mi=1xim+n+ni=1yim+n.

又∵x =1m mi=1xi ，

∴ mi=1xi =mx，同理可得，ni=1yi=ny.

∴a =mm+n+nm+n=m +nm+n.

（2）方差.由方差定義可知，s2=1mmi=1xi-2，t2=1n ni=1yi-2.

b2=1m+nmi=1（xi-a）2+ni=1yi-2=1m+n·mi=1xi-+-2+ni=1yi-y+y-2.

mi=1xi-+-2=mi=1xi-+-2 =mi=1xi-2 +mi=12xi-- +mi=1-2.

∵mi=1xi-2 =ms2，mi=12xi-- =2-·mi=1（xi-）=2-mi=1xi-mi=1 =2-（mx -mx ）=0，mi=1-2=m-2，

∴mi=1xi-2=mi=1xi-+-2=ms2+m-2.

同理可得，mi=1yi-2=ni=1yi-+-2=nt2+n-2.

則b2=1m+nmi=1xi-2+n i=1yi-2=1m+n［（ms2+nt2）+m-2+n-2］.

【設計意圖】學生在方差推理中能夠感受到這一知識點的“難度”.鑒于此，教師在講解過程中要及時與學生進行溝通、獲取真實反饋，與學生在互動性學習中，加強對“方差推理”步驟、方法、技巧的分享，使學生提高對方差推理知識難點的解讀能力，提高學生數學解題能力.

2.5.4 模型求解，拓展認知

由已知條件，m=20，n=15，=170，=165，s2=16，t2=25，代入得，=167.86，b2=26.49.

最后得到，樣本的平均數為167.86，樣本方差為26.49.

【設計意圖】教師利用模型求解過程，幫助學生夯實數學知識點，提高數學模型思想建構質量，增強學生綜合學習能力.

2.5.5 模型檢驗，夯實基礎

在模型檢驗中，為了起到夯實學生平均數與方差基礎知識的作用，教師給出上述20名男生和15名女生身高具體數據.

【設計意圖】要求學生掌握“數學模型檢驗”的基本操作步驟，嘗試通過選取樣本來猜測總體的某些特點.培養學生的數學建模思維，結合“分層抽樣”的教學形式予以實現.教師鼓勵學生運用整體分析的思維來判斷各數據樣本的特征，進而引導學生猜測樣本數據與總體數據的關聯性.學生通過分析、推理、討論，最終得出具體結論.

3 總結與反思 教師在高中數學教學中融入“數學建模思想”，有利于培養學生數學思維意識，強化學生數學綜合能力，促進學生實現全面發展目標.高中數學知識具有抽象性、復雜性等特征，通過培養學生數學建模思想，能夠提升學生對知識點的解讀能力，增強學生數學綜合學習技能.鑒于此，高中數學教學中融入數學建模思想十分必要，師生要重視建模思想的融入，以此為依據強化數學學習能力，致力于培養良好的學科核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］范志曄.核心素養下高中數學的深度學習研究［J］.數理化解題研究，2024（12）：24-26.