巧用“數”突破新定義問題中“形”的困境

摘 要：近年來，新定義問題成為各地初中生考試的熱點問題.新定義問題不僅能培養學生發現與提出問題的能力，還能通過“數”與“形”之間的靈活轉換，培養學生的幾何直觀素養.

關鍵詞：新定義問題；幾何直觀；數形結合

“注重培養學生的幾何直觀”是新課改以來數學教育的熱點話題之一.《義務教育數學課程標準（2022年版）》多次針對“幾何直觀”提出明確要求.［1］幾何直觀是影響中小學生數學發展的重要因素之一.培養和發展學生的幾何直觀，是數學課程“圖形與幾何”領域的核心目標之一.培養和發展學生的幾何直觀，需要依托數學課程的每個領域，不僅僅是“圖形與幾何”領域的任務.有效的培養工作必須落實在課程內容和課堂教學細節之中.

新定義問題是指在問題中給出初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號的定義，要求學生讀懂題意并結合已學知識進行理解，然后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.近幾年新定義題目增添了不少需要借助數形結合思想來解決的類型.本文以兩道新定義問題為例，說明在課堂教學中如何巧用“數”突破新定義問題中“形”的困境.

1 考題教學策略分析

例1 在平面直角坐標系xOy中，已知點P和直線l1，l2，點P關于直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則稱d1+d2為點P關于直線l1，l2的“和距離”，記作d.特別地，當點P在直線l1上時，d1=0；當點P在直線l2上時，d2=0.已知點A（0，3），以A為圓心的圓的半徑為1，點P是以A為圓心的圓上的動點，直接寫出點P關于x軸和直線y=3x+6的“和距離 ”d的取值范圍.

在教學時，教師給學生充足的讀題、畫圖和思考的時間.

學生在解題時，出現困境.通過多次畫圖和度量，大致確定出“和距離 ”d 分別取最小值和最大值時的位置（如圖1、圖2），但是無法計算出d.

教師引導學生借助“數”突破“形”的困境.

如圖3所示，過點P作y軸的平行線，交直線y=3x+6于點G.

函數y=3x+6的圖象是一條與x軸正方向夾角為60°的直線.

用“數”表示“形”.

設點P（x，y），則G（x，3x+6）.

PG=3x+6-y，PB=3x+6-y2，d=PB+PC=3x+6-y2+y.

所以3x+y+6=2d，即y=-3x+2d-6.

用“形”表示“數”.

因為點P（x，y）在以A為圓心的圓上，所以直線y=-3x+2d-6與圓有交點（如圖4、圖5）.

過點A作AF⊥直線y=-3x+2d-6于點F.

E1（0，2d-6），E2（0，2d-6），AE1=2AF，AE2=2AF.

如圖6所示，AE1=3-（2d-6）=9-2d，AF=1.

所以9-2d=2×1，解得d=72.

如圖7所示，AE2=2d-6-3=2d-9，AF=1.

所以2d-9=2×1，解得d=112.

綜上72≤d≤112.

例2 在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于線段AB和x 軸上的點P，給出如下定義：將線段AB繞點P旋轉180°，可以得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為A，B的對應點），則稱線段AB為⊙O以點P為中心的“關聯線段”.

已知點E（m，1），若直線y=x+2m 上存在點F，使得線段EF是⊙O以點P為中心的“關聯線段”，直接寫出m的取值范圍.

在教學時，教師給學生充足的讀題、畫圖和思考的時間.

學生在解題時，出現困境.通過審題，得出點E′（0，1），通過多次畫圖和度量發現難以確定滿足條件的臨界圖形.

教師引導學生借助“數”突破“形”的困境.

E（m，1），因為點P在 x軸上，所以點E′在y軸上.又E′在⊙O上，所以E′（0，1），得P（m2，0）.

設F（x，-x+2m），則點F關于點P（m2，0）的中心對稱點F′（m-x，x-2m）.

因為x-2m=-（m-x）-m，所以點F′的軌跡在直線y=-x-m上.

又點F′在⊙O上，所以直線y=-x-m與⊙O有交點（如圖8、圖9）.

過點O作OH⊥直線y=-x-m于點H.

E（0，-m），O（0，0），OG=2OH.

如圖10所示，OG=0-（-m）=m，OH=1.

所以m=2.

如圖11所示，OG=-m-0=-m，OH=1.

所以-m=2，m=-2.

綜上，-2≤m≤2.

2 教學策略反思

2.1 代數推理在解決“形”的問題中起著至關重要的作用

新定義問題借助“數”突破“形”的困境，使數形結合更順暢，更有利于初中生幾何直觀的培養.學生在解決這兩道典型例題“形”的問題中均遇到了困境，教師引導他們通過形轉化為數，進行代數推理，將數轉化為一個新的函數關系式，再將“數”轉化為新的“形”，從而突破了原先僅用“形”難以解決的困境.培養學生的幾何直觀素養，不能只依賴“形”知識的培養，教師需要有意識地借助“數”的工具來助力幾何直觀素養的培養.

2.2 新的“形”實現了困境的突破

兩道例題最終得以突破，是通過新的“形”實現的.在問題解決的過程中，學生不斷地進行形與數的靈活轉換.數學中，“數”和“形”是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”［2］教師需要有意識地引導學生主動建立數與形之間的聯系，實現二者的自由轉換.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］華羅庚.華羅庚科普著作選集［M］.上海：上海教育出版社，1984.