淺談“設而不求”技巧在初中數(shù)學解題中的應用

摘 要：在常規(guī)數(shù)學解題中，教師都是按照“先設后求”的方式引導學生完成問題的解答.在面對復雜的數(shù)學問題時，固定的數(shù)學思維常常導致學生進入困境.鑒于此，教師在優(yōu)化解題教學時，必須靈活運用“設而不求”的方法，引導學生積極搭建條件和所求問題的橋梁，開拓學生數(shù)學解題新思路、新方向，最終提升學生的數(shù)學解題能力.

關鍵詞：“設而不求”；初中數(shù)學；解題教學；思維能力

數(shù)學作為初中階段一門基礎類必修學科，素有“思維體操”的美稱，具有抽象性、邏輯性等特性，承擔著培養(yǎng)學生思維能力的重任.鑒于數(shù)學學科的特點，以及初中數(shù)學學科素養(yǎng)下的要求，培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學解題能力，是當前課堂教學的重中之重.在調查中發(fā)現(xiàn)，目前教師基本上都是遵循“先設后求”的方式引導學生圍繞問題進行分析和解答.一旦數(shù)學問題難度變大，這種固定的解題思維和模式就變得“無能為力”.面對這一現(xiàn)狀，教師要想幫助學生順利解答問題，唯有徹底轉變這種固定的解題思維和模式，適當融入“設而不求”的思想，使得學生在“設而不求”中找到新的解題方向.本文以此切入，結合大量的例題，針對“設而不求”在初中數(shù)學解題中的運用技巧進行了詳細的探究，為教師提供參考.

1 “設而不求”的意義 “設而不求”是一種非常重要的數(shù)學解題技巧，教師將其應用到數(shù)學解題中，可達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果，幫助學生從新的視角切入問題，形成新的解題思路，高效完成數(shù)學題目的解答.具體來說，“設而不求”就是根據(jù)題目條件，在不求解的前提下，假設某個對象存在，并將其設置為未知數(shù)，用符號表示出來.學生以此作為過渡，獲得一種全新的問題解答方法.在初中數(shù)學解題中，“設而不求”作為一種全新的解題思路，可促使復雜問題簡單化，使得學生在“設”的過渡中，順利找到新的解題思路.

在“設而不求”解題中，首先，這種被“設”的對象可以是題目中的已知條件，也可以是經過推理得出的結論，或者是假設的存在；其次，針對“為什么‘設’”這一問題，從根本上來說是為了解決某一個問題，學生在數(shù)學求解，或者數(shù)學證明的過程中，需要用到某一個量，就可以將其“設”出來，以此作為過渡，進行后續(xù)的推導求解.［1］

2 “設而不求”在初中數(shù)學解題中的具體應用

2.1 利用“設而不求”比較分數(shù)大小

在初中數(shù)學學習中，分數(shù)是一個重要的知識點，在關于分數(shù)大小對比中，學生常常會遇到一些復雜的分數(shù)問題.此時，如果按照傳統(tǒng)的思維進行解答，學生需要先進行通分，這些復雜的分數(shù)通分需要經過大量的運算，不僅浪費了學生的解題時間，還會出現(xiàn)計算性的錯誤.鑒于此，教師在指導學生進行解題時，就可充分借助“設而不求”的數(shù)學思想，尋找一種新的、簡便的計算方法.

例題 比較368972764797、368975764804的大小.

解析：從題目類型上來說，本題目就是單純的分數(shù)比大小，解題思路非常明確.但是在具體解答時，如果按照常規(guī)的思路進行解答，學生需要先進行通分，但是對這兩個分數(shù)來說，計算過程十分復雜.此時，通過觀察分析得知，由于兩個分數(shù)的分子、分母都比較接近，即可借助“設而不求”的思想，將其中一個分數(shù)設為ba，從而可將另一個分數(shù)化為b+常量a+常量，如此，即可在兩個分數(shù)之間建立聯(lián)系，以便進行對比.在本題目中，就可將368972764797設為ba，則368975764804可轉化為b+3a+7.如此，學生只要計算ba-b+3a+7即可得出結果.經計算得ba-b+3a+7=7b-3aa（a+7）.又7b-3a＞0，可得ba-b+3a+7＞0，即368972764797＞368975764804.可見，在這一復雜的分數(shù)比大小中，通過“設而不求”方法的運用，將其轉化成為一個特殊的問題，不僅減少了學生的計算量，也提高了學生的解題準確率，并使學生在解題中提升數(shù)學思維能力.［2］

2.2 利用“設而不求”解決方程問題

方程是初中數(shù)學中最為重要的知識點，也是中考的熱點.在初中階段，學生遇到的方程問題一般比較簡單，但偶爾也會遇到一些特殊的問題，尤其是一些分式方程、一元二次方程相關問題，部分題目難度系數(shù)比較高，學生用傳統(tǒng)的解題思路和模式不能解決問題.面對這一現(xiàn)狀，教師即可引導學生借助“設而不求”的數(shù)學思想，將復雜的方程問題進行簡化，降低問題的求解難度.

例1 解分式方程x-45+x+54=5x-4+4x+5.

解析：在這一道分式方程的求解中，如果按照常規(guī)的思路進行解題，學生需要在對方程進行去分母、去括號、移項、合并、簡化系數(shù)等操作后求解.這需要學生進行大量的計算，不僅浪費了時間，也對學生的計算能力提出了更高的要求，稍有不慎就會出現(xiàn)錯誤.鑒于此，教師在優(yōu)化方程解題教學時，可對其進行觀察、分析，鑒于x-45和5x-4、x+54和4x+5互為倒數(shù)，即可融入“設而不求”的數(shù)學思想.假設x-45=m，x+54=n，則原來復雜的分式方程可轉化為m+n=1m+1n.圍繞這一方程去分母，得出m2n+mn2=n+m，對其進行移項合并，最終得出（m+n）（mn-1）=0.由此，得出m+n=0或者mn-1=0.最終得出x-45+x+54=0，或者x-45·x+54=1.如此，即可將原本復雜的分式方程轉化為兩個簡單的方程，降低了學生的解題難度.

例2 若一元二次方程x2-11x+（30+k）=0存在兩個根，且均大于5，求實數(shù)k的取值范圍.

解析：這一道題涉及一元二次方程的知識.同樣，學生如果按照常規(guī)的思路進行求解，就會出現(xiàn)碰壁的現(xiàn)象.因此，教師可引導學生融入“設而不求”的數(shù)學思想，設x2-11x+（30+k）=y，將一元二次方程轉化為函數(shù)問題.由于該方程存在兩個根且均大于5.所以結合二次函數(shù)的性質得出，當x=5時，對應的點在x軸的上方，即y＞0.因此，52-55+（30+k）＞0，解不等式，可得出k＞0.又方程有兩個根，所以Δ=112-4（30+k）≥0，解得k≤14，所以0<k≤14.由此可見，在一些比較復雜的方程問題中，當常規(guī)解題思維受限時，教師即可引導學生尋找已知條件和所求結論的關系，借助“設而不求”的數(shù)學思想，對其進行化簡、轉化等，以便于快速解答這一問題.

2.3 利用“設而不求”解決幾何問題

在初中數(shù)學學習中，幾何問題占據(jù)極大篇幅，是歷年中考的熱點.但是在一些比較復雜的幾何證明題中，學生僅僅依靠題目中所給的點、線、面之間的關系，很難形成明確的證明思路，甚至證明過程異常繁瑣.針對這類幾何問題，教師在引導學生解答時，即可運用“設而不求”的方法.

例1 假如在一條直線上依次存在四個點，分別為A、B、C、D（如圖1）.請對A、B、C、D四點之間的關系進行證明，即證明AD·BC+AB·CD=AC·BD.

解析：在這一幾何題目已知條件中，并未說明A、B、C、D四個點之間的關系，也沒有明確指出線段和線段的關系.在這種情況下，學生如果按照常規(guī)的思維就會無從下手，無法進行證明.因此，教師在引導學生證明該題目時，即可融入“設而不求”的思想，將這一幾何問題進行轉化，使其成為代數(shù)問題.假設AB=a，BC=b，CD=c.據(jù)此，即可將線段圖中點與點之間的關系進行轉化，即AD=a+b+c，AC=a+b，BD=b+c.即可將所要證明的關系式轉化為AD·BC+AB·CD=（a+b+c）b+a·c=ab+b2+bc+ac=b（a+b）+c（a+b）.又因為AC·BD=（a+b）·（b+c）=ab+ac+b2+bc=b·（a+b）+c（a+b）.

因此，AD·BC+AB·CD=AC·BD.

在這一幾何證明題中，由于在題目中并未給出相關的條件，學生按照常規(guī)的思路很難完成其證明，運用“設而不求”的數(shù)學思想，將其進行轉化，問題就迎刃而解.

例2 如圖2所示，在△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且BD=BA，點E在BC的延長線上，且CE=CA，隨著∠B的變化，∠DAE的度數(shù)會變化嗎？請說明理由.

解析：這一題目考查的是“三角形中邊的等量關系到角的等量關系轉化”.在題目中，∠B發(fā)生變化，∠DAC、∠CAE度數(shù)也在發(fā)生變化.在這種情況下，要想求出∠DAE的度數(shù)就相對比較困難.鑒于此，就可融入“設而不求”的思想，設∠B=x，∠ACB=y.

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=12（180°-∠B）=90°-12x.

∵CE=CA，

∴∠CAE=12∠ACB=12y，∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-（90°-12x）=12x.

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12x+12y=12（x+y）=12×90°=45°.

在這一題目的解答中，學生根據(jù)題目中已有的條件，很難做出正確的判斷，難以形成明確的解題思路.此時，唯有借助“設而不求”的思想，引入?yún)?shù)，將圖中所需角用符號表示出來，即可借助條件中所給的數(shù)量關系進行求解.

2.4 利用“設而不求”解決函數(shù)問題

在初中數(shù)學學習中，函數(shù)問題是重中之重，其不僅是考試的熱點，還是考查的重點，常常占據(jù)很大的比例.就初中階段而言，學生所接觸到的函數(shù)知識主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等.同時，在一些綜合性的問題中，函數(shù)問題常常與幾何等知識聯(lián)系起來，題目極具綜合性，這也在很大程度上增加了學生的學習難度.學生面對這些已知條件比較少的函數(shù)問題，即可運用“設而不求”的思想進行解答.

例題 如圖3所示，點A為函數(shù)y=9x（x＞0）圖象上的一點，連接OA，與函數(shù)y=1x（x＞0）的圖象相交于點B.點C是x軸上的一點，且AO=AC，則△ABC的面積是多少？

解析：在這一問題中，已知條件非常少，僅僅只有兩個反比例函數(shù)的解析式，學生根據(jù)題目中已有的條件，無法求出A、B、C三點的坐標.在這種情況下，如果按照常規(guī)的思維進行解題，就會導致學生陷入困境.此時，學生如果借助“設而不求”的數(shù)學思想，將點A、B的坐標用a、b兩個參數(shù)表示出來，還可通過點C的坐標，將a、b之間的關系表示出來，最終轉化為三角形的底和高，完成面積的求解.即設點A的坐標為a，9a，點B的坐標為b，1b.∵點C位于x軸上，且AO=AC，∴點C坐標為（2a，0），即OC=2a.

設過點O（0，0）、Aa，9a直線的解析式為y=kx，則ka=9a，解方程，得k=9a2.

又點Bb，1b在y=9a2x上，則9a2×b=1b，解方程，得b=a3或b=-a3（舍去）.

∴S△ABC=S△AOC-S△OBC=2a×9a×12-2a×3a×12=6.

這一道題難度系數(shù)比較高，題目將反比例函數(shù)和三角形問題整合到一起，給出的條件則又非常少，傳統(tǒng)的解題思路受限.面對這一現(xiàn)狀，教師即可引導學生借助“設而不求”的數(shù)學思想，設坐標，但又不求坐標，利用其數(shù)量關系，將三角形的面積順利地求出來.

2.5 利用“設而不求”解決實際問題

實際問題具有極強的綜合性，常常集多個數(shù)學知識點于一體，并與學生的實際生活緊密相連，這就在很大程度上增加了問題的難度.在解答這一類型數(shù)學問題時，學生如果傳統(tǒng)解題思路受限，即可運用“設而不求”的數(shù)學思想，開辟問題解答的新思路.

例題 有A、B、C三種貨物，已知購買A貨物3件，B貨物7件，C貨物1件一共需要花費415元.如果買A貨物4件，B貨物10件，C貨物1件一共需要花費520元.則買A、B、C貨物各1件一共需要花費多少元？

解析：這一道實際應用問題涉及“三元一次方程”中的知識點，根據(jù)題目中已知條件，學生如果要分別求出A、B、C貨物各1件時的費用，存在很大的困難.此時，學生即可借助“設而不求”的方法，將A、B、C貨物的單價分別設為x、y、z元，結合題目中已知條件可列出一個方程組，即3x+7y+z=415，

4x+10y+z=520.結合所學的知識，將該方程組進行變形，使其成為2（x+3y）+（x+y+z）=415，

3（x+3y）+（x+y+z）=520.如此，即可通過解方程得出答案.

這一題目難度系數(shù)比較低，學生在解答的時候，只需要將各個貨物的單價設出來，無需進行求解，并將x+y+z作為整體，求出x+y+z的值即可完成本題目的解答.

3 結語

面對復雜、綜合性的數(shù)學問題，學生在解題的時候，難免會陷入困境，致使解題思路頻頻受限.面對這一現(xiàn)狀，教師唯有轉變傳統(tǒng)的解題教學觀念，引導學生借助“設而不求”的數(shù)學思想，將原本復雜的數(shù)學問題進行轉化，進而為學生營造一個全新的解題視角，以便開拓學生的解題思路，真正提升學生的數(shù)學解題能力.

參考文獻

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［2］張琳.“設而不求”巧解初中數(shù)學競賽題［J］.初中數(shù)學教與學，2022（9）：45-46.

［3］胡敬婷.例談“設而不求”技巧在初中數(shù)學解題中的應用［J］.新課程導學，2022（9）：60-62.

［4］丁鵬儒.“設而不求”解題技巧在初中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)學大世界（上旬），2021（6）：79.

［5］曹志芳.“設而不求”解題技巧在初中數(shù)學解題中的應用策略探究［J］.考試周刊，2020（97）：63-64.

［6］丁榮軍.“設而不求”在初中數(shù)學解題中的運用探析［J］.理科考試研究，2016（22）：48.