定點巧判定，探究妙應用

摘 要：圓錐曲線中的定點問題可以有效地實現解析幾何問題中“動”與“靜”的和諧統一，實現“幾何”與“代數”的深度融合，是高考數學中的常見題型之一.本文對圓錐曲線中的定點問題及其基本解題方法進行分析，并結合實例加以探討，總結歸納出相應的結論，旨在能夠有效地指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：圓錐曲線；定點；直接法；逆推法

在平面解析幾何中，有關直線或曲線（圓錐曲線等）的定點問題及其綜合問題是歷年高考數學試卷中的一個考查難點與命題熱點，倍受各方關注，一般為中偏高或高檔次的難度級別.它涉及的數學運算比較多，而且邏輯推理過程比較繁雜，因此具有非常好的育人選拔性和高考區分度.特別是圓錐曲線背景下的直線過定點問題，借助直線上的點在圓錐曲線上的運動，即“動態問題”，結合題設背景下某相關條件的限制，即“靜態問題”，形成“直線過定點”的完美統一與動靜結合，構造出“幾何”與“代數”之間的融合，綜合考查學生的數學基礎知識與數學基本能力.

1 直接法探求定點問題 直接法，即從正向角度出發，直接推理、計算，利用直接法解決定點問題就是在計算過程中消去變量，得到定點.

例題 （2023年山東省煙臺市煙臺第一中學高三上學期期末數學試題）&&已知F1，F2分別是橢圓C：x2a2 +y2b2 =1（a>b>0）的左、右焦點，點A是橢圓C的右頂點，|AF2|=2-3，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段PF1，PF2的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4.

（1）求橢圓C的標準方程.

（2）若不過頂點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且AD·AE=0，判斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

分析：（1）根據題設條件，由三角形的中位線性質，可得四邊形OMPN的周長為2a，橢圓的右頂點到右焦點的距離為a-c，并結合關系式a2=b2+c2確定對應的參數值，即可得橢圓方程；（2）分類討論直線l的斜率存在與斜率不存在兩種情況，根據不同情況設相應的直線方程，再綜合題設條件加以分析，最終得以確定直線l過定點.

kRP=18t+54t2+6t+18-3-2t2-12tt2+6t+18+2=-t212.

同理Q-2t2+12tt2-6t+18，-18t+54t2-6t+18，可得kRQ=-18t+54t2-6t+18-3-2t2+12tt2-6t+18+2=-t212.

kRP=kRQ，則有R，P，Q三點共線，即線段MN的中點為（0，3），是定點.

解決問題時，可先考慮運動圖形是否有對稱性及特殊或極端位置，如直線處于水平位置、豎直位置，即k=0或k不存在時，利用特殊思維方式來解決平面解析幾何中的定點問題.有時也可借助逆向思維，通過定點直接切入，進行邏輯推理與數學運算，進而證明該點符合題意或證明該點與變量無關.

此類圓錐曲線的綜合應用問題中的定點或相關應用，往往是基于平面解析幾何中的一些“動”態變化場景，以動點或動直線等方式來創設場景，進而在“動”態過程中探尋一個規律性的問題，從中尋找“靜”態特征，從而達到知識交匯與思想融合的目標，實現學生“四基”的考查與“四能”的提升.