常規思維巧同構，妙技妙法妙應用

摘 要：涉及含參不等式恒成立的綜合問題，是新高考數學試卷中的一類熱點與難點.本文結合一道含參不等式恒成立問題，通過不等式的恒等變形，應用常規思維進行對應同構，挖掘問題內涵，應用“巧技妙法”發散思維與巧妙應用，剖析解題的技巧與策略，旨在引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：不等式；恒成立；同構；函數

含參不等式恒成立的問題，可以很好地融合數學的“四基”與“四能”，是高考數學命題中比較常見的一類基本題型，?？汲Ｐ拢兓喽?，難度較大.解決此類問題比較常見的思維方式就是同構函數法，必要性探路法或特殊值法等.1 問題呈現（2024屆浙江省臺州市高三下學期第二次教學質量評估數學試題第14題）已知關于x的不等式lnx+1≤axeax-12恒成立，則實數a的取值范圍是____________.

此題以含參不等式恒成立為問題場景，借助參數取值范圍的求解來設置與應用，巧妙地將函數與方程、不等式、函數與導數等知識加以交匯與融合.

突破此類問題的通性通法就是巧妙同構，借助同構函數，利用函數與導數的應用來合理變形與轉化.解決問題的巧技妙法就是必要性探路或特殊值法等，解題時學生先通過合理的必要性或特殊值來確定結果，再根據情況加以驗證與證明.2 問題破解

4.1 技巧歸納，規律總結

在解決此類同時涉及指數函數ex與對數函數lnx的相關“指對”混合不等式恒成立問題時，常規方法就是恒等變形，靈活運用對數恒等式加以轉化，尋找同型或共性，給巧妙同構函數創造條件，也是解決此類問題的一種“通性通法”.

突破此類問題的“巧技妙法”就是必要性探路法或特殊值法等，學生通過合理的必要性探路或特殊值來確定結果，雖然不具有嚴謹性，但極具解題效益.在具體解題過程中，學生可以根據考試場景再加以必要的嚴謹性驗證與證明，保證答案的準確性.

4.2 思維拓展，能力提升

在破解一些涉及函數或方程、代數式、不等式等問題時，教師幫助學生創新數學意識，開拓數學思維，結合題設條件中的關系式或不等式的結構特征，借助慧眼識別、尋找、挖掘其中的同型或共性，合理同構函數，利用函數共性，巧妙轉化問題，借助函數的基本性質（單調性、周期性、奇偶性以及最值）等來轉化與解決，將一些比較復雜的相關問題轉化為基本的函數問題來處理.在解題過程中，學生不斷增強創新意識、同構意識與創新應用，實現知識交匯，形成數學能力，培養數學核心素養.