新課標下基于HPM的大單元教學探究

摘 要：隨著普通高中數學新課程標準的不斷深入，大單元教學受到教育者越來越多的關注。文章探討了在新課標背景下，結合HPM（History and Pedagogy of Mathematics）進行大單元教學的有效策略，并以“立體幾何初步”為例進行了深入分析。通過引入數學史的相關內容，文章旨在豐富教學內容，在增強學生的學習興趣的同時，促進學生對數學本質和數學文化的理解，使新課標的培養理念與核心素養目標融入高中數學課堂。

關鍵詞：新課標；HPM；大單元教學；核心素養；立體幾何初步

新課標表明，高中教育應著重提升學生的綜合素質和學科核心素養。這就要求教育者跳出單一知識點的限制，把握整個單元的教學。大單元設計旨在整合知識體系，避免知識碎片化，確保教學設計與核心素養目標相契合。那么，在大單元教學設計中，如何能讓這一單元的課時內容聯系更加緊密、更具有整體性？教師需從某一核心點出發，用線串聯各課時，構建完整的知識結構。同時，數學學科核心素養及綜合素質的培養亦不可忽視。因此，在教學實踐中，教師可以借助HPM這一途徑，將數學學科核心素養的培養貫穿始終。

一、HPM在大單元教學中的價值

新課標指出，如何將數學史融入中小學的數學教學是數學教育領域的一個重要課題。數學史與數學教育之間的關系作為一個重要的研究領域，對發揮數學學科的育人功能、落實立德樹人根本任務具有重要意義。近年來，HPM在數學教學中的重要價值在國內外均獲得了廣泛認可。2021年7月召開的第十四屆國際數學教育大會（簡稱ICME-14）給教育者一個重要啟示：數學史融入數學教學，對數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模等核心素養的培養具有獨特的作用，對教育教學和學生發展意義深遠。

一是拓展學生的數學知識和視野。數學史和數學文化中有許多經典的數學問題和定理，通過介紹這些內容，可以讓學生了解到更多的數學知識，并擴展他們的數學視野。二是培養學生的數學思維和解決問題的能力。數學史和數學文化中的數學問題和定理往往需要一定的思維和創新能力來解決，通過學習和討論這些內容，可以培養學生的數學思維和解決問題的能力。三是培養學生的歷史文化意識和素養。數學史和數學文化是數學發展的重要組成部分，通過介紹這些內容，可以培養學生對歷史文化的理解和欣賞能力，提高他們的歷史文化素養。四是增加學生對數學的興趣和好奇心。通過講述數學史和數學文化中的趣聞趣事，可以激發學生對數學的興趣。五是培養學生的合作和交流能力。數學史和數學文化往往需要通過團隊合作和交流才能全面理解，通過學習和探討這些內容，可以培養學生的合作和交流能力。

然而，反觀教學實際，高中數學教師對HPM的接受情況并不樂觀，雖然他們已認識到其重要性，實際使用卻少之又少。教材中很多關于數學史的案例并沒有在授課中被充分利用，也就無法發揮其價值。另外，關于HPM的具體應用方法和策略，教師缺乏明確指導。因此，在新課標背景下，研究以HPM串聯整個單元，是合理的且有必要的。教師可以通過認識、學習HPM的相關內容，培養學生的綜合素質，提升數學核心素養。

二、基于HPM的高中數學“立體幾何初步”大單元教學實踐

立體幾何是數學中的一個分支，主要研究物體的形狀、大小、幾何特性等。在傳統教學方法中，教師一般通過講述定義、公式和例題的方式進行授課。然而，由于立體幾何對學習者的空間想象能力要求較高，且具有抽象性的特點，這種教學方法就會存在某些局限性，學生往往容易產生厭倦情緒，并且難以將所學知識與實際生活中的問題聯系起來。

從HPM的視角研究“立體幾何初步”的大單元教學可以發現，在人教A版（2019）必修第二冊“立體幾何初步”這一單元中，共有6節內容，具體細分為16個課時。教材中編寫有3份HPM相關資料，分別是“畫法幾何與蒙日”“祖暅原理與柱體、椎體的體積”“歐幾里得《原本》與公理化方法”。另有“文獻閱讀與寫作”部分涉及HPM內容：幾何學的發展。

教師在設計大單元教學時，可以充分利用這些材料，對本章內容進行整合構思：學習本單元前，教師先讓學生通過查閱資料，自主學習幾何學相關內容，了解幾何學的發展史，知道發展歷程中的關鍵點、具有劃時代意義的結論及思想方法。這一過程可以讓學生主動了解本單元的主要內容，了解學習背景，明確學習重點。這樣，對立體幾何的引入就不顯得生硬。同時，通過前期的學習準備和書中第一節呈現的大量實物模型，很容易就能激發學生對這一單元的學習興趣。

在興趣的驅動下，教師進一步講解蒙日與畫法幾何的關系，使學生在數學歷史文化背景的熏陶下，產生強烈的求知欲，進而自然過渡到直觀圖的學習。進入“簡單幾何體的表面積與體積”章節時，為避免知識跨度過大，教師可借鑒《九章算術》中體積、容積的經典模型作為引入（見圖1），這一方法不僅貼近學生已有的知識體系，還能有效銜接新舊知識，使學習過程更加順暢。

圖中“長方”“塹堵”“陽馬”“鱉臑”之間蘊含的體積關系是我國古代人民的智慧結晶。而探求這一體積比的過程，正是學生學習第三節內容的過程。此時，教師用“祖暅原理”解釋柱體、錐體之間的關系，學生很容易就能理解V柱=Sh與V錐=?Sh之間?的體積關系。在求解中可以得到V長方∶V塹堵∶V陽馬∶V鱉臑=6∶3∶2∶1。教師啟發學生觀察這一組模型中柱體與椎體的體積比，還能發現其中蘊含的兩個3∶1的關系，又進一步加深了本節課的基本知識。通過對HPM的學習，不僅幫助學生透徹理解了體積問題的內在聯系，更在提升他們的直觀想象和邏輯推理能力的同時，引發對中華文化的深切贊同。通過教師的正確引導，這一過程更升華至立德樹人的高度，為學生的全面發展奠定堅實基礎。

進入對“空間點、直線、平面之間位置關系”的探索后，教師可以講述歐幾里得的《原本》與公理化方法，使學生感受理性思維對數學發展的意義，再通過具體學習立體幾何中的邏輯論證，體會公理化方法對數學研究的重要性，有助于進一步發展學生的數學核心素養。在本單元結束時，教師可以從HPM角度給學生設置一個開放性的探究話題：“幾何學演變至今，有哪些分支？你感興趣的是哪一方面？”教師可以結合教學實際，組織學生進行探究結果匯報展示，可以是小課題的形式，也可以是整理成文，以PPT的形式進行展示。相比于數學的專業知識，對HPM的研究較為簡單，內容也更豐富，能讓更多的學生參與進來，也能在交流展示中提升其綜合素質。這也是HPM教學法為教師提供的一個培育學生核心素養的重要切入點。

至此，基于HPM的“立體幾何初步”大單元設計就完成了，具體過程如表1所示。

在教學實踐中，本研究針對以上大單元設計，在A類班級（學習基礎扎實、學習能力強）和B類班級（學習基礎薄弱、學習能力弱）分別設置實驗組和對照組，觀察基于HPM的大單元教學對學生學習的助益性大小。在單元教學結束后，編寫了一份“立體幾何初步單元檢測卷”，將數學核心素養相關考察點也融入試卷，滿分150分。檢測結果如下表所示：

由皮爾遜相關系數可知，教學類別與學生的檢測成績呈現出很明顯的相關性。通過表2和表3可以發現，基于HPM的大單元教學無論是對A類班級學生還是對B類班級學生，影響都是顯著的。同時，運用HPM進行大單元教學對B類班級學生的影響更大，這與B類班級學生的學習特點——接受新知的速度較慢、學習熱情難以持久等是相符合的。教師用HPM將各個課時的內容聯系在一起，可以使B類班級學生保持更持久的學習熱情和更積極的學習態度。

此外，通過考查學生數學核心素養可以發現，參與實驗的學生在數學抽象思維、直觀想象能力以及邏輯推理等方面均實現了顯著的提升。具體表現為在立體幾何證明問題以及判斷空間中點、線、面位置關系的典型題目中，平均分比沒有參與實驗的學生高5至10分。任課教師對參與實驗的學生反饋信息也很好。

通過本次實踐，教師的收獲也很多。一方面，教師對教材的理解更為全面，備課時會從單元角度出發，對教材內容進行整體規劃和統籌安排，并適時補充相關內容，使課堂教學更具吸引力。另一方面，教師對HPM的研究也更為深入，能夠從中發現更多培養核心素養的契機，進一步提升教學質量。

三、基于HPM的大單元教學思考

第一，大單元教學可以通過HPM路徑真正發揮統籌全局的作用。在教學實踐中，教育者應當重視HPM的價值，在教材提供的HPM材料的基礎上，可適當結合課外內容，使HPM像單元新知識一樣，形成完整的知識鏈，連接起單元中的各個課時。

第二，HPM的教學方式，對激發學生學習數學的積極性、促進學生主動學習大有裨益。同時，它在提升學生綜合素質、數學核心素養方面更是成效顯著。在教學中，教師可以利用HPM教學激發學生興趣，推動課堂從“教師主導”向“學生主體”轉變，并充分發揮HPM教學在立德樹人根本任務中的優勢。

第三，基于HPM的大單元教學，也有助于提升教師的專業水平和綜合素質。在對HPM的探究及應用中，已有一些研究者關注到HPM對促進教師MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）發展的影響，教師在推廣使用基于HPM的大單元教學時也應注意到這一點，確保師生雙方均能從中受益。

第四，在設計大單元教學時，教師需要考慮HPM的使用場景。盡管書中HPM材料多出現在課時后，但教師應根據內容特性，靈活選擇其作為引入案例、定義、背景或課后延伸材料，以充分發揮其作用。

第五，在大單元教學理念逐步推廣的當下，教師應積極尋求其高效實施策略，確保教學流程清晰，整體性強，便于學生接受與實施。

在具體教學中，如何讓數學學科核心素養落到實處，是教師和教育學者一直探索的重點。先讓學生了解數學史，再做數學的研究，能夠激發他們的學習興趣和內在動力，促使他們更加主動地投入學習。在教學中，教師要深入挖掘教材中數學史料蘊含的教育意義，在教授文化知識的同時，培養學生的數學學科核心素養，真正實現教書育人。

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（責任編輯：廖 藝）