巧用數學方程求解動態平衡中的最值問題

【摘要】本文旨在探討如何巧妙運用數學方程解決高中物理中動態平衡的最值問題.通過對相關物理規律和數學方法的深入研究，結合具體實例進行分析，闡述了數學方程在解決這類問題中的重要作用，并總結了相應的解題策略和技巧，以幫助學生提高解決物理問題的能力.

【關鍵詞】高中物理；動態平衡；物理規律

高中物理中的動態平衡問題涉及力的平衡和物體的運動狀態變化，對于學生來說往往具有一定的難度.而通過巧妙運用數學方程，可以將復雜的物理情景轉化為數學模型，從而更有效地求解最值問題.

1 晾衣繩的動態平衡問題

例1 如圖1所示，輕質不可伸長的晾衣繩左端固定在晾衣架上O點，右端系在a點，光滑小滑輪懸掛一衣服可在輕繩上滑動.先將輕繩右端沿豎直桿緩慢上移到b點，然后再沿水平桿緩慢移至c點，整個過程衣服始終沒與地面和桿接觸，設輕繩張力為F，滑輪左側輕繩與豎直方向夾角為θ，則輕繩右端沿桿（ ）

（A）由a→b的過程，F不變，θ不變，衣服的位置不變.

（B）由a→b的過程，F不變，θ不變，衣服的位置升高.

（C）由b→c的過程，F減小，θ變小，衣服的位置下降.

（D）由b→c的過程，F的最小值為12mg.

解析 根據幾何關系可知，兩段繩子間的夾角為2θ，由平衡條件可知2Fcosθ=mg，所以F=mg2cosθ，設繩子總長為L，兩桿間距離為s，由幾何關系L1sinθ+L2sinθ=s，得sinθ=sL1+L2=sL，由a→b的過程，L、s都不變，θ不變，繩子張力F也不變，由幾何關系可知衣服的位置升高，故（B）正確，（A）錯誤；由b→c的過程，s變小，θ變小，cosθ變大（但cosθ<1），F變小，但F>12mg，由幾何關系可知衣服的位置下降，故（C）正確，（D）錯誤.

點評 運用平衡條件將繩子張力F表示成關于θ的表達式，再根據θ的變化情況分析F的變化，在變化的過程中尋找F的最小值.

2 連接體中的動態平衡問題

例2 如圖2所示，質量M=5kg的物體P靜止在地面上，用輕繩通過光滑、輕質定滑輪1、2（滑輪大小相等，軸心在同一水平線上）與質量m=1.5kg的小球Q連接在一起，初始時刻滑輪2與P間的輕繩與豎直方向的夾角為37°，小球Q與滑輪1間的輕繩剛好位于豎直方向，現用一水平向左的力F緩慢拉動小球Q，直到物塊P剛要在地面上滑動.已知P與地面的動摩擦因數μ=0.5，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8.下列說法中正確的是（ ）

（A）初始時P受到地面的摩擦力為12N.

（B）此過程中繩子拉力的最大值為30N.

（C）小球Q與滑輪1間的輕繩與豎直方向的夾角最大為53°.

（D）軸對滑輪1的最大作用力大小為152N.

解析 初始時輕繩拉力為T，對小球Q進行受力分析有T=mg=15N，對物體P進行受力分析有Ff=Tsin37°=9N，故（A）錯誤；設此過程中小球Q與滑輪1間的輕繩與豎直方向的夾角為θ，有Tcosθ=mg，在小球Q緩GvMnwVnNl1qDeDZgsG0rKQ==慢移動的過程中θ逐漸增大，cosθ逐漸減小，所以繩子拉力T逐漸增大，當小球Q與滑輪1間的輕繩與豎直方向的夾角最大時輕繩拉力最大，對物塊P進行受力分析有FN+Tmcos37°=Mg，Tmsin37°=Ff，Ff=μFN，解得Tm=25N，此時對Q進行受力分析有cosθ=mgTm，解得θ=53°，故（B）錯誤，（C）正確；對滑輪1進行受力分析可知，軸對滑輪1的作用力大小為F輪=T·cosθ2+T－T·sinθ2，又因為T=mgcosθ，聯立可得F輪=mg21+sinθ，故θ=0時，軸對滑輪1的作用力最大，此時F輪m=2mg=152N，故（D）正確.

點評 本題（D）選項中，解出了軸對滑輪1的作用力大小F輪=mg21+sinθ，根據此表達式可很快分析出其最值.

3 力方向發生變化引起的動態平衡問題

例3 如圖3所示，某同學拉著拉桿箱沿水平地面勻速運動，其施加的拉力F沿拉桿的方向，且與地面的夾角為θ.當改變θ角時，為了維持勻速運動需改變拉力F的大小.已知地面對箱子的阻力是箱子對地面壓力的k倍，則下列說法正確的是（ ）

（A）拉力F是維持箱子運動的原因.

（B）箱子受到5個力的作用.

（C）θ角大一些時，k值更小.

（D）tanθ=k時，拉力F最小.

解析 力是改變物體運動狀態的原因，力不是維持物體運動的原因，故（A）錯誤；箱子受到重力、拉力、地面的支持力與摩擦力，即箱子受到4個力的作用，故（B）錯誤；由于摩擦力是滑動摩擦力，則有f=μN=kN，即k等于動摩擦因數，可知，k的大小與θ角無關，故（C）錯誤；對箱子進行受力分析有Fcosθ=f=kN，mg=Fsinθ+N，解得F=kmgcosθ+ksinθ=kmg1+k211+k2cosθ+k1+k2sinθ=

kmg1+k2sinα+θ，當sinα+θ=1時有Fmin=kmg1+k2，此時α+θ=90°，則有tanθ=1tanα=k，故（D）正確.

點評 本題（C）選項中，寫出摩擦力的表達式后，發現摩擦力與θ角無關，可得（C）錯誤；（D）選項中，根據物理規律，寫出F關于θ的表達式后，根據三角函數最值的求解方法解得拉力F的最值.

4 結語

通過以上分析和實例研究，可以看出數學方程在解決高中物理動態平衡中的最值問題時具有重要作用.學生在學習過程中，應注重將物理知識與數學方法相結合，提高綜合運用知識的能力，從而更輕松地應對這類具有挑戰性的問題.總之，巧妙運用數學方程求解高中物理動態平衡中的最值問題，不僅有助于加深對物理概念的理解，還能培養學生的邏輯思維和創新能力，為進一步學習物理和其他學科知識奠定基礎.

參考文獻：

［1］陳梅宗.高中物理力學中動態平衡問題的解法探析［J］.數理化解題研究，2024（12）：107-109.

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