脈沖載荷下加筋圓板的各向同性快速等效方法

摘要： 加筋板在爆炸與沖擊防護中應用廣泛，而其動力響應的快速求解一直是工程中關注的重點。對于徑向均勻加筋的圓板，基于剛度疊加思想，提出了一種將其等效為各向同性平板的方法，用于分析其在脈沖載荷下彈性階段的動力響應。結合理論推導與數值方法，顯式地給出了簡潔的等效平板厚度公式。經驗證，提出的等效方法建立了加筋圓板與均質圓板間的內在聯系，適用于多種加筋尺寸、材料及載荷形式。等效圓板與加筋圓板的最大撓度偏差不超過6%，低階振動頻率偏差不超過10%。相比于直接對加筋圓板進行計算，等效分析方法大大提高了求解效率，且保證了很高的計算精度，在沖擊響應預測和結構優化等工程應用中具有重要意義。

關鍵詞： 加筋板；圓板；動力響應分析；等效方法；脈沖載荷

中圖分類號： O383.2 國標學科代碼： 13035 文獻標志碼： A

相比于傳統平板結構，加筋板能夠在較小的體積下實現較高的結構剛度與承載能力，且結構簡單，易于生產制造，因此，其在汽車、船舶、建筑、航空航天等眾多領域都有著廣泛的應用，特別在沖擊與爆炸防護方面有著較高的應用價值。國內外已有加筋板相關的眾多研究[1-3]，其中加筋板在沖擊作用下動力響應分析是研究重點之一。理論方面，多數研究將平板與加強肋分離，進而分別建立其動力學微分方程，再根據界面連續條件與受力平衡建立平板和加強肋的聯系，從而導出問題的控制方程[4-6]。但由于這一求解過程將涉及到大量的數學推導，且受到微分方程的非線性限制，因此很難給出問題的解析解，多數只能通過有限差分等方法給出數值解或半解析解。另一途徑是基于有限元方法建立新的更準確的加筋板數值求解模型，如考慮翹曲等非線性效應的特殊單元[7]、平板與加強肋的復合單元[8]、加筋板無網格方法[9]，等等。有限元方法能夠處理復雜多樣的加筋板類型，有著很高的適用性，但需要占用較高的計算資源，且要預先完成加筋板的建模和單元劃分等前處理工作，不適于工程現場分析等需要快速應用的場景。而且有限元方法僅能夠給出指定問題的數值解答，每算例均需仿真，不能抽象出一類問題中內含的本質物理規律。

因為直接對加筋板進行理論或數值分析比較復雜，可以考慮將加筋板等效為平板進行研究。在工程領域，尤其需要無需求解復雜方程的快速分析方法。一般來說，可以通過本構分析等方式將加筋板等效為各向異性平板，特別是正交加筋的情況，可以將其等效為正交異性平板。如，Karpov 等[10] 提出了一種剛度涂抹法（smeared stiffener method），能夠將正交加筋板（殼）等同于具有相同剛度的正交異性均勻板（殼）；Zhang 等[11] 建立了多級加筋板的等效理論，能夠將其均勻化為平板，同時保持結構的拉伸剛度和彎曲剛度不變；Xia 等[12] 建立了波紋加筋板的等效模型，并給出了等效剛度參數的解析解。除了基于本構關系的嚴格推導外，一個經典的方法是Timoshenko 等在20 世紀50 年代提出的加筋板等效模型（equivalent plate model， EPM 方法）[13]。該方法的思路非常簡單：在線彈性小變形假設下，加筋板的剛度可以近似為平板剛度和加強肋剛度的線性疊加。若加筋板為正交加筋，則可以方便地將其等效為正交異性板，給出兩個正交方向的彎曲剛度。該方法提供了加筋板彎曲剛度和扭轉剛度的直接近似，同時公式中也保持了加筋板的原始幾何參數，一定程度上揭示了加筋板和平板間的內在聯系。Battaglia 等[14]對EPM 預測單向加筋板動力響應的準確性進行了實驗評估。結果表明，EPM 在低階響應和模態預測方面具有良好的性能，能夠滿足工程精度要求。

等效分析能夠給出加筋板與各向異性板之間的等價關系，但為獲得各向異性平板的動力響應解仍然無法避免求解復雜方程[15]。實際上，均質平板動力響應問題可以給出簡單的解析解，那么加筋板在一定條件下可以等效為各向同性平板嗎？過去曾有研究嘗試過，如Fertis 等[16] 基于漸進分析給出了變厚度板的精確等效模型，也可以用于加筋板的等效分析。然而計算復雜性限制了其應用范圍。另一種簡單思路是根據等效前后體積不變直接給出等效平板厚度[17]，但這種等效粗糙而不夠準確。

本文中，首先將在EPM 方法的基礎上，將剛度疊加的等效思想用于徑向均勻加筋圓板，通過理論推導與數值方法給出加筋圓板的各向同性等效模型及等效厚度計算公式；然后借助有限元仿真，驗證該各向同性等效方法的合理性；最后，將給出此等效方法對不同加筋尺寸、材料、載荷類型的適用性及對于加筋圓板最大響應撓度的預測準確度。

1 理論推導

基于Timoshenko 等提出的EPM 等效理論[13]，將建立適用于圓形加筋板的基本等效模型，并給出等效厚度表達式。為保證加筋板能夠等效為各向同性平板，這里將限制等效方法的應用對象為徑向均勻加筋板，且由線彈性材料構成。