基于思維導圖的高中數(shù)學教學設計

摘 要：隨著教育理念的不斷更新，傳統(tǒng)的填鴨式教學模式已經(jīng)無法滿足現(xiàn)代教育的需求，而思維導圖是一種直觀的思考方式，它能幫助學生加深對所學知識的理解與記憶，從而提高教學效果。因此，本文簡述思維導圖應用于高中數(shù)學教學的必要性，從多個維度探究思維導圖應用于高中數(shù)學教學的策略，以人教A版必修第一冊“三角恒等變換”第1課時為例，展示基于思維導圖的教學設計，促進學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展，為高中數(shù)學教師教學提供參考。

關鍵詞：思維導圖;高中教學設計;三角恒等變換

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2024）09-0075-04

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下統(tǒng)稱為《課標》）提出兩條教學理念：一是優(yōu)化課程結構，突出主線，精選內(nèi)容;二是把握數(shù)學本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學[1]。傳統(tǒng)的教育是以傳授知識和發(fā)展技能為主要目標，教學方式運用單一，不重視學生對知識的理解，從而抑制了學生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。運用思維導圖的方式進行教學設計，不僅有利于學生建構知識網(wǎng)絡，助力單元教學設計，理解教學重難點，調(diào)動學生學習的積極性和主動性;還有利于教師通過思維導圖的方式將知識可視化，將分散的知識按照一定的邏輯、規(guī)律等聯(lián)結起來，形成完整的知識結構體系，以便學生進行知識遷移。

本研究旨在提出一種更高效的教學方法，以促進學生創(chuàng)造性思維的發(fā)展，從而適應未來社會發(fā)展的需要。以核心素養(yǎng)為導向，運用思維導圖的方式進行教學設計，可以使學生把心中所想的知識外化于紙張上，用線條把它們串聯(lián)起來，以此對學生的形象思維、邏輯思維進行鍛煉和發(fā)展，使其具有創(chuàng)新思維能力。

1 思維導圖的內(nèi)涵、功能和策略

思維導圖最早由英國心理學家東尼·博贊（Tony Buzan）在20世紀60年代提出。思維導圖是發(fā)散思考的一種圖式思維工具，它用圖示的形式，把各個層次的主題之間的聯(lián)系用層次圖表示出來[2]。思維導圖的核心要素有中心主題、分支、層級、關鍵詞、圖像和顏色等內(nèi)容，中心主題是思維導圖的核心，通常位于中心位置;分支是從中心主題向外延伸的線條，層級是分支和子分支構成不同的層級，關鍵詞是每個分支上通常有一個關鍵詞或短語，繪制思維導圖可以通過圖像和顏色來更好地幫助記憶、理清思路和增強視覺效果。總之，思維導圖的優(yōu)勢是可以讓學生的左右腦互相配合，根據(jù)記憶、閱讀和思維的規(guī)律，在科學和藝術、邏輯和想象力上得到均衡的發(fā)展，開發(fā)出大腦的潛力，讓學生的創(chuàng)造力得到發(fā)展[3]。

常愛榮（2017）認為在應用思維導圖教學的過程中促進了師生互動，使教學概念可視化，培養(yǎng)了學生的數(shù)學學習能力，體現(xiàn)出對學生個體的關懷[4]。李蕾（2018）指出以思維導圖為基礎的教學模式可以使學習過程最優(yōu)化，用思維導圖進行教學可以使學生的思考能力得到更大的提升，可顯著提升高中數(shù)學學科素養(yǎng)[5]。崔海東（2019）提出教師在教學過程中應該以學生為主體，學生可以在學習計劃制定、歸納數(shù)學解題方法、課后復習中運用思維導圖[6]。董學全（2020）認為利用思維導圖可以提高預習效果、發(fā)散解題思維、厘清復習脈絡、梳理課堂板書，在高中數(shù)學教學中合理、智慧地運用思維導圖，可事半功倍地提高教學效率[7]。王琳琳（2021）提出在高中數(shù)學教學中合理引入思維導圖，有利于學生構建知識體系，促進邏輯思維能力的提高，促進學生數(shù)學解題能力的提高[8]。王健（2022）從思維導圖在高中數(shù)學教學中的應用策略角度展開論述，認為可以借助思維導圖，優(yōu)化預習過程，通過思維導圖，梳理教學內(nèi)容，巧構思維導圖，促進學生對知識的吸收，提升學生的學習效率和邏輯思維能力，同時也增強了課堂教學的生動性和趣味性[9]。張躍驁（2023）在教學中采用思維導圖教學策略，將條件和結論納入探究，以此突破學生在解決問題思維過程中無法分類和轉化的困難，從而有效培養(yǎng)學生解決問題的能力和思維能力[10]。

已有研究探討了思維導圖在高中數(shù)學教學中的諸多應用策略，包括在互動探究中應用思維導圖、在例題講解中應用思維導圖、在課堂小結中應用思維導圖，這些策略為本文提供了研究思路。但是這些研究僅停留在理論層面，未進行實踐操作。基于此，本文將以人教A版必修第一冊“三角恒等變換”第1課時為例，運用思維導圖進行教學設計與實踐，以期為高中數(shù)學教師提供新的教學思路，提高課堂教學效率，提升學生的邏輯思維能力，提高學習效率，從而促進學生更好地把握數(shù)學本質(zhì)。

2 基于思維導圖的教學設計案例

2.1 課程標準分析

本節(jié)課以《課標》為基本依據(jù)，以發(fā)展學生創(chuàng)新思維能力為目標。《課標》主題二函數(shù)模塊對本單元學業(yè)要求為知道數(shù)學運算和邏輯推理的關系，重點提升邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng)。《課標》對本節(jié)教學內(nèi)容要求為經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義[11]。

2.2 教材分析

本節(jié)課“三角恒等變換”第1課時“兩角差的余弦公式”，出自人教A版（2019）《高一數(shù)學》必修第一冊第五章“三角函數(shù)”，兩角差的余弦公式是三角學中的重要內(nèi)容，它不僅是三角函數(shù)恒等變換的基礎，而且還在解決實際問題時具有廣泛的應用[12]。通過學習這些內(nèi)容，學生可以提高解決相關問題的能力，同時培養(yǎng)數(shù)學推導的技巧。

2.3 學情分析

在學習過程中，部分學生可能會對公式的記憶和運用感到困難，特別是對公式的使用條件和非常規(guī)角度的三角函數(shù)值計算方面，需要給予更多的關注和練習。學生在學習兩角差的余弦公式時應注重理論與實踐相結合，通過不斷的練習來提高對三角函數(shù)的認識和應用。在教學過程中教師需要不斷評估學生的學習進度和理解程度，通過作業(yè)、測驗和課堂互動等方式，及時發(fā)現(xiàn)并解決學生的疑難問題。

2.4 教學目標

（1）推導兩角差的余弦公式并進行應用，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);

（2）運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng);

（3）體會一般與特殊、換元法等數(shù)學思想在三角恒等變換中的作用發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)。

2.5 教學重點和難點

教學重點為兩角差的余弦公式的推導;教學難點為求值過程中角的范圍分析及角的變換。

2.6 以思維導圖為工具的三環(huán)節(jié)教學設計

2.6.1 在互動探究中應用思維導圖

（1）創(chuàng)設情境，設問導學。

某工廠的一條生產(chǎn)線需要安裝一個坡度為15度的傳送帶運送產(chǎn)品來減少人工投資，傳送帶OA長為20米，請問該生產(chǎn)線基座至少得多寬？

生：獨立思考，建立數(shù)學模型如圖1所示，OB=20cos15°=？

師：cos15°等于多少呢？

生：cos15°=cos（45°-30°）。

師：那么cos（45°-30°）是否等于cos45°-cos30°？

思考：那么推到一般形式cos（α-β）等于多少？它的展開公式可能與哪些值有關？

生：通過對比之前六個誘導公式發(fā)現(xiàn)，cos（α-β）的展開式可能與α或β的正弦值或余弦值有關。

師：我們用到哪些知識探究cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ間的關系？

生：根據(jù)經(jīng)驗在推導誘導公式的時候，我們用到了三角函數(shù)的定義，單位圓的特殊對稱性。

【設計意圖】通過創(chuàng)設問題情境，自然流暢地提出問題，激發(fā)學生的求知欲，引發(fā)學生思考，發(fā)現(xiàn)學習兩角差余弦公式的必要性，從而順利揭示課題。

（2）嘗試分析，推導公式。

師：類比誘導公式的推導，利用三角函數(shù)定義，請動手作圖。

生：以x軸非負半軸為始邊，任取兩角α、β，兩角終邊分別交單位圓于P1、A1，令α、β都在第一象限且α>β，令A1（cosβ，sinβ）、P1（cosα，sinα）。

思考：如何找到與cos（α-β）相關的點P？

生：用三角函數(shù)的定義，以x軸非負半軸為始邊，作角α-β，交單位圓于一點P，此時P（cos（α-β），sin（α-β））。

思考：如何發(fā)現(xiàn)cos（α-β）與sinα、cosα、sinβ、cosβ間存在的等量關系？

生：在單位圓中找到與α-β相關的等量關系，由圓的旋轉對稱性得，AP=A1P1。根據(jù)以上探究，學生自主建構“數(shù)”與“形”關系的思維導圖，如圖2所示，理清知識脈絡，指明知識的本質(zhì)特征。

師：請你借助兩點間的距離公式，結合以上“數(shù)”與“形”的探究，你能得到什么結論？

生：根據(jù)兩點間距離公式，結合AP=A1P1，有：

整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，（α≠2kπ+β，k∈Z）

思考：如果兩個任意角終邊重合α=2kπ+β，k∈Z，上述結論成立嗎？

生：當α，β終邊重合時，cosα=cosβ，sinα=sinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ此時等式左側cos2kπ=1，右側=sin2α+cos2α=1。

師：兩側的值相等，因此上述結論仍然成立，即得到兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ簡記為C（α-β）。我們一起看PPT總結一下剛學的兩角差的余弦公式，如圖3所示。

【設計意圖】引導學生通過幾何方法來證明兩角差的余弦公式，幫助學生理解公式的來源，加深對三角函數(shù)性質(zhì)的認識。在課堂中引導學生YkdxzYl4i7FoekOK53t0wg==自行繪制思維導圖，協(xié)助分析課程的知識脈絡，建立完整的知識結構，從而提高課堂效率。

2.6.2 在例題講解中應用思維導圖

師：能不能用思維導圖把你的解題過程畫出來？

【設計意圖】通過例題演示如何直接使用這些公式解題，在解題的過程中融入分析型思維導圖，利用思維導圖將解題的思路呈現(xiàn)出來，以培養(yǎng)學生運用思維導圖搭建解題支架的能力，使學生掌握解題的過程，重視知識的應用過程，從而達到數(shù)學思維的提升。

2.6.3 在課堂小結中應用思維導圖

師：請你從知識、思想和方法角度談談本課收獲？

生：概括總結，個別回答。

【設計意圖】學生借助思維導圖組織、整理、總結知識，培養(yǎng)學生歸納概括及反思能力，提升學習境界，見圖5。強調(diào)公式的重要性和應用的廣泛性，以及它們在其他更復雜三角恒等式中的作用。

2.7 教學反思

弗賴登塔爾指出反思是數(shù)學化過程中一種重要的活動，它是數(shù)學活動的核心和動力[13]。在運用思維導圖教學的過程中，要準確理解數(shù)學本質(zhì)，了解學生的現(xiàn)實情況，通過自主探究等方式發(fā)展學生創(chuàng)新思維能力。在具體的教學過程中，要注意把學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，避免把教學看作是知識的傳遞，而要將其看成知識處理和轉換的過程，也就是對原有知識的改組和重建。在教學的過程中，學生是學習的主體，教師起到良好的組織者的作用，學生在積極參與學習活動的過程中數(shù)學核心素養(yǎng)不斷發(fā)展。

3 結論

本節(jié)課利用思維導圖構建知識之間的聯(lián)系，發(fā)展學生創(chuàng)新思維能力，提升數(shù)學核心素養(yǎng)。基于思維導圖的教學激發(fā)了學生原有的相關知識經(jīng)驗，學生能夠看清楚問題，根據(jù)已有的知識做出假設，建立知識間的關系，挖掘深藏知識形態(tài)下的核心素養(yǎng)，激發(fā)學生的學習興趣。繪制思維導圖的實質(zhì)是呈現(xiàn)學生有序思考的過程，將抽象思維可視化，使學生主動構建數(shù)學知識體系。總之，思維導圖在教學過程中的應用有助于促進教學互動，更新教學理念，提高教學質(zhì)量，并促進學生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展。

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