“簡單”問題不“簡單”

摘要：好的題目不但能使學生獲得知識和能力上的雙向突破，更能激發他們學習的興趣，使他們碰撞出思維的火花.本文嘗試從一道有意義且不太復雜的 “簡單”問題出發，通過一題多解、一題多變等多角度的探究活動，幫助學生鞏固知識，掌握方法，學會反思，積累解題經驗，發展思維能力和創新意識，充分挖掘出其不“簡單”的價值.

關鍵詞： 面積最值；多角度探究；教學與思考

一位專心備課的教師能夠從一道有意義且不太復雜的題目中，幫助學生挖掘問題的各個方面，通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.筆者嘗試在初三二輪復習中，通過解決一道有意義且不復雜的“簡單”問題，幫助學生完善知識體系，形成條理化、系統化、結構化的認知，發展思維能力.

1問題呈現

問題求斜邊為4的直角三角形面積的最大值.

題目的選取是解題教學的關鍵，是培養學生思維的載體，好的題目不但能使學生獲得知識和能力上的雙向突破，更能使他們碰撞出思維的火花進而自然生長.［1］本題是背景熟悉、描述簡潔、內涵豐富的一道綜合題，研究視角較多，從知識層面看，涉及三角形、四邊形、圓形、方程、函數、乘法公式等初中階段核心知識；從思想方法層面看，涉及轉化、數形結合、符號意識、模型思想等基本數學思想方法，適合復習課選用.

2解題視角

2.1視角1：從“圖形”和“面積”入手，構造“幾何模型”找出特殊位置求最值

學生讀題，畫出圖形，初步思考，很快給出了以下兩種方法.

方法1：如圖1所示，過直角頂點C作CD⊥AB，D為垂足，S△ABC＝ 12AB·CD.∵AB＝4，∴當CD最大時，S△ABC最大.AB中點記為點E，∴CE＝ 12AB＝2.∵CD≤CE，∴S△ABC＝ 12AB·CD≤4.即當點D和點E重合時面積最大，最大值為4.

方法2：如圖2所示，作以AB為直徑的⊙O.∵∠ACB＝90°，AB＝4，∴點C在以AB為直徑的⊙O上運動.過點C作CD⊥AB，D為垂足，當點D與圓心O重合時，CD最長，∴S△ABC＝ 12AB·CD≤4.

教學說明：學生從三角形的面積公式出發，以斜邊4為底，面積大小與斜邊上的高相關.可以添加輔助線構造圖形找到高最大時所在的特殊位置，通過求出高的最大值，來求出三角形面積的最大值.兩種方法區別在于第一種構造直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的模型，第二種構造定弦對定角模型.兩種方法都是基于對原圖形的直觀聯想，比較容易得到.

2.2視角2：從“圖形”和“面積”入手，使用“拼圖”對面積進行轉化求最值

師：多個這樣的直角三角形可以拼成哪些新的特殊圖形？

能把一個直角三角形的面積問題，轉化為新圖形的面積問題嗎？初中階段解決面積問題還有什么方法？

在教師的啟發引導下，學生開始嘗試拼圖來解決.兩個學生分別給出了下面的方法.

方法3：如圖3所示，將4個△ABC拼成一個邊長為4的菱形.∵S菱形ABDE＝4S△ABC，∴當菱形ABDE為正方形時面積最大，此時S△ABC面積最大，最大值為4.

方法4：如圖4所示，將4個△ABC圍成一個弦圖.∵4S△ABC＝S大正方形－S小正方形，∴當小正方形面積取最小值時，S△ABC最大，即當AC＝BC時，小正方形面積為0，S△ABC＝4.

教學說明：四個直角三角形通過拼圖分別構造出菱形和弦圖，可以把直角三角形的面積問題轉化為菱形和弦圖的面積問題來解決，體現轉化的數學思想.

2.3視角3：從“面積”和“最大值”入手，用函數表示面積求最值

師：初中階段的最值問題，除了可以利用幾何圖形的特殊性質來求，還可以利用什么來求？

三角形的面積可以量化嗎？

學生聯想到可以利用函數來求最值，設參數，將S△ABC的面積表示出來，可以嘗試通過函數來求最值.于是給出了下列兩種解法.

方法5：如圖5所示，設一條邊BC長為x，則AC＝ 16－x2.

∴S△ABC＝ 12x16－x2＝ 12 16x2－x4＝ 12－（x2－8）2＋64≤4.

方法6：如圖6所示，過C作CD⊥AB，垂足為D.由射影型相似，得CD2＝x（4－x）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4.

∵CD的最大值為2，∴S△ABC最大值為4.

教學說明：學生在初中階段雖然有利用二次函數求最值的解題經驗，但是大多數學生還不能有意識的設參數將圖形問題轉化為函數來解決，本解法的設置目的是強化學生的函數主動應用意識.

2.4視角4：從“斜邊為4”的數量關系入手，利用代數推理求最值

師：請同學們設參數，把題目中的已知數量關系、需要求的數量表示出來，你會發現什么？

設AC＝b，BC＝a，轉化為一個代數推理問題，即已知a2＋b2＝16（a＞0，b＞0），求 12a·b的最大值.

方法7：∵（a－b）2＝a2＋b2－2ab≥0，∴2ab≤a2＋b2，∴12a·b≤4.

方法8：設a2·b2＝t.∵a2＋b2＝16，∴以a2、 b2為根的一元二次方程為x2－16x＋t＝0.

∵方程定有實數根，∴Δ ＝（－16）2－4t≥0，∴t≤64，∴a·b≤8， S△ABC＝ 12 a·b≤4.

教學說明：方法5到方法8都是將圖形中的數量關系符號化，構造代數模型，把圖形問題轉化為代數問題來解決，解法簡潔自然，讓學生充分體會到用代數推理的方法解決幾何問題的優越性.

2.5方法總結

師： 這些解法中有哪些是你沒有想到的？障礙點在哪里？對你以后解決問題有什么啟發？

這些解法涉及學過的哪些知識、方法、模型、解題策略？ 你能進行比較、分類、整合嗎？

師生合作：找出不同方法的區別和聯系，構建出本題中用模型思想解決問題的結構圖，推廣到綜合類問題的一般策略.

教學說明：本環節主要是反思例題的四個視角八種解法，幫助學生反思解題過程中的障礙點，梳理本節課的知識點、解決問題的基本思想方法（轉化、數形結合、符號意識、模型思想）等，并用表格的形式歸納模型思想解決問題的一般策略圖（如圖7），讓碎片化的教學整體化、結構化，幫助學生形成系統思維.

3教學反思

3.1精選例題，關注選題的教學價值

在設計或選擇例題時，面對紛繁眾多、良莠混雜的復習題，教師應始終保持清醒的頭腦，去粗取精，精選細擇.［2］不要好大喜難，不出偏題、怪題，精選具有典型性、示范性、綜合性和探索性的問題，以加深學生對知識的理解，促進學生對數學思想方法的靈活掌握，激發學生學習數學的興趣和積極性.

3.2多角度探究，關注學生思維的發展

培養思維是發展核心素養的關鍵.教師要善于應用習題一題多解、一題多變、多解歸一等多角度探究活動，構筑學生創新的思考點，激活思維創新的興奮點 ，鼓勵學生開闊思路，發散思維，培養學生的創新意識和創新精神.

3.3加強反思，關注學生活動經驗的積累

學之道在于悟，反思是對數學活動的再感受，感受數學的本質和力量，這就是悟的過程.教師要引導學生在問題探究中多問幾個“為什么”“怎么想到的”“有什么收獲”等問題， 及時總結反思積累活動經驗，重建認知結構.在本節課例題教學后，教師通過引導學生對多種解法進行歸納反思、關聯和比較，構建解題策略結構圖，幫助學生解題，積累活動經驗，并對多種解法形成整體的認識.

參考文獻

［1］王秋月.閱讀積累深耕下的解題教學實踐［J］.中學數學教學參考，2024（11）：39-42.

［2］嚴杰.淺談數學復習課的選題原則［J］.文理導航（中旬），2019（2）：7+10.