可視化教學在初中數學中的應用與實踐研究

摘要：新課標明確指出，要把重點放在培養學生的數學能力上.教師既要不斷完善課堂教學策略，又要保持傳統教學方法的優點.針對這一現狀，本文對以核心素養為導向的初中數學可視化教學進行了探索，旨在利用可視化的手段來提高初中數學教學效率，促進學生核心素養的養成.

關鍵詞：初中數學；核心素養；可視化教學策略

可視化教學是初中數學教學的熱點，

本文運用可視化教學模式，以人教版《義務教育教科書數學八年級上冊》中的章節為例，進行了具體的教學實踐.筆者通過對教材分析，提出了一種新的方法，即通過直觀的方法，加強學生對數學知識的理解、掌握和運用，從而提高了學生的核心素養.本文的目的是通過對視覺教具的應用，讓視覺教具更好地應用于中學數學課堂，從而提高學生的核心素養.［1］

1探索“正方形紙內最大等邊三角形折疊方法”教學方案

本節是對人教版《義務教育教科書數學八年級上冊》第十三章第3節《等腰三角形》進行的一次復習，提出了一種新的“正方形紙內最大等邊三角形折疊方法”的教學方案，目的是讓學生重新認識等腰三角形、等邊三角形的本質，同時也為最大等邊三角形的認識做準備.

1.1準備工作

根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》的規定，在這一節的復習中，要讓學生對等腰三角形、等邊三角形的概念、性質定理、判斷定理進行深入的了解.在此基礎上，教師將折紙操作活動與特殊三角形的相關內容有機地結合，讓學生能夠將三角形的屬性與其所使用的折疊方式進行關聯，從而讓他們能夠更好地理解和把握各種形式的折疊方式，并且能夠體驗這些公式導出的具體過程.在此過程中，學生體驗到數學知識的內在聯系與傳遞過程，提高了幾何直觀與推理能力.通過折紙活動，加強學生對空間概念的理解與想象能力的培養，從而培養“四基”“四能”.

1.2課前確定

1.2.1教學目標確定

基于課前挖掘的可視化內容，確定本節課程的教學目標（見表1）.

1.2.2教學重點確定

根據在課前準備中發掘出的核心能力，將探索等腰三角形的特性、定義及其判定方式作為這節課教學的重點.本文采用了“折頁式”的實驗方法，對此進行了探究式教學.對最大等邊三角形的折疊法是這一節課的重點.通過演示等邊三角的制作方法，幫助學生逐漸建立起對幾何形狀的直觀認識，培養學生的空間想象力.

1.2.3教學內容確定

基于以上分析，利用折紙這一直觀手段，并結合本節教材內容，對重點知識進行梳理，最終目的是提高學生素質.［2］

2可視化教學第一階段

聯系學生具體的情況，對正方形的特性進行解釋，同時也要對等腰三角形和等邊三角形進行復習，為接下來進行折紙活動打下堅實的理論基礎.

師：同學們可以用手里的方格紙折出什么樣的三角形？

生：能折疊成直角三角，也能折疊成等腰三角形.

【設計意圖】與學生的認識層次相適應，體現了以學生為中心的教學理念.

師：同學們能不能把這張方格紙折疊成一個非直角等腰三角形？

生：下面顯示了兩種方式.

方法1：在圖1中，以正方形的一條中線EF為對稱軸線，將它對折，然后將折疊后的長方形沿對角線BE（CE）對折，就得到一個等腰三角形BEC.

方法2：如圖2，先沿正方形的一條對角線AC對折后，再沿AE對折使得AB與AC重合，展開后沿AE的折痕與邊BC、DC的交點折出EE′，從而得到等腰三角形AEE′，

師：若是改變它們的頂點位置，則可以有多少個非直角的等腰三角形？

生：能生成無窮多個非直角的等腰三角形，如圖3所示.

【設計意圖】引導學生通過軸對稱的原理探索多樣的折疊方式，由具體案例向普遍規律過渡.教師借助問題引導，使學生體會到特定三角形的特性與折紙技巧之間的相互作用.

3可視化教學第二階段

通過前面三問，學生對所涉及三角形的基本觀念有了一定的了解.在下一步研究中，筆者將探索利用這些特點和判斷規則進行折紙法的革新.

師：你們已經熟練了等腰三角形的折疊方法，會不會用紙片折成一個等邊三角形呢？

生：根據先前折疊的等腰三角形，用一種方法折疊等邊三角形.

如圖4，根據圖1中的等腰三角形，由邊的角度，把握其三條邊均等的特點.由邊BC翻折，使點C落在對稱軸EF上，得到等邊三角形的第3個頂點的位置C′，從而得到一個等邊三角形BCC′；也可以把邊AB、CD翻轉，使點A、D落在對稱軸EF上，從而得到一個等邊三角形的第3個頂點在對稱軸EF上的位置C′.

師：從另一個視角來看，其他的構造方式也是可行的.這個60°的角度可以結合到什么具體的角度呢？

生：利用等邊的圖形，構造出60°、30°、15°的特定角度.

如圖5，根據圖2中的等腰三角形折疊方法，再根據等邊三角形的特性，如果有60°角，那這個三角形就是等邊三角形.受第一種折法的啟示，首先沿著對角線AC對折，使D與B重合，接著把邊DC對折，再展開，再次折疊使D（B）落在上一步對折的折線上，這樣就可以得到一個等邊三角形AGG′，15°的角有兩個，即∠BAG′、∠DAG.

【設計意圖】這兩種方法體現了以等邊三角形的特征原則和判斷準則為基礎的折疊方式，在使用問題鏈以及直觀的手段來完成折紙過程中，培養學生的幾何直觀感知能力、推理能力和空間思考能力.［3］第二種方法對于學生來說，在理解上有些困難，所以設置了深層問題，目的在于指導他們把注意力集中在角度上，從而幫助他們突破這一認識上的困難.

4可視化教學第三階段

師：在上一階段中折疊的兩個等邊三角形是否為正方形中最大的一個？

生：根據等邊三角形的面積計算公式知道，隨著邊長的增加，它的面積也會隨之增大，這樣就把求面積的問題變成了求邊長的問題，但不知怎樣才能找到最大等邊三角形.

根據圖4中的等邊三角形折法得到啟發，把最大等邊三角形的面積轉換為最大等邊三角形的位置.通過對圖6中的“共點轉動”全等模式的分析，證明了當點E在CD上的位置改變時，等邊三角形的第3個頂點沿著圖6的軌跡移動，這實際上也是主從聯動問題，主動點的軌跡是直線，被動點的軌跡也是直線.結果表明，當第3個頂點在邊AD上時，BE的長度是最大的.

5可視化教學第四階段

例題如圖7所示，P是正方形ABCD內的一點，∠PAD＝∠PDA＝15°，

求證：△PBC是等邊三角形.

證明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°.

又∠PAD＝∠PDA＝15°，∴PA＝PD，∠PAB＝∠PDC＝75°.

如圖8所示，在正方形內作△DGC≌△DPA，則

DP＝DG，AP＝GC，∠ADP＝∠CDG＝∠DAP＝∠DCG＝15°.

∴∠PDG＝∠PDC－∠CDG＝75°－15°＝60°.

∴△PDG為等邊三角形.

∴DP＝DG＝PG.

∴∠DGC＝180°－∠CDG－∠GCD＝180°－15°－15°＝150°.∴∠PGC＝360°－∠PGD－∠DGC＝360°－60°－150°＝150°.∴∠PGC＝∠DGC.

在△DGC和△PGC中，DG＝PG，

∠PGC＝∠DGC，

GC＝GC，則△DGC≌△PGC.

∴PC＝DC＝DA，∠DCG＝∠PCG＝15°.

∴PC＝BC，∠PCB＝∠DCB－∠DCG－∠PCG＝90°－15°－15°＝60°，則△PBC是等邊三角形.

【設計意圖】本題作為初二的數學競賽題目，旨在培養學生構建數學模型的能力，樹立模型化思維，進而有效應對更復雜的數學挑戰.

6結語

筆者經過搜集與分析相關資料，發現目前對初中數學可視化教學的研究相對較少，特別是在核心素養導向下的初中數學可視化教學研究更是寥寥無幾.鑒于此，本文以“正方形紙內最大等邊三角形折疊方法”為例，以人教版《義務教育教科書數學八年級上冊》為研究對象，提煉出一系列可視化教學案例.這些案例驗證了基于核心素養的初中數學可視化教學在實際應用中取得的顯著成效，從而證明了此類教學研究具備實際的應用價值.

參考文獻

［1］陳斌.基于核心素養初中數學的可視化教學路徑［J］.數學之友，2023（24）：85－87＋91.

［2］徐陽.GeoGebra助力初中數學可視化教學——以函數教學為例［J］.理科考試研究，2023（14）：28－31.

［3］石長虹.初中數學思維可視化教學課例設計［J］.內蒙古教育，2020（18）：67－68.