數(shù)學教學設計“三項分析”探索與實踐

摘要：有效數(shù)學教學設計的產生，需要教師研究教科書提供的具體知識內容，再基于教材分析得到關于某數(shù)學知識的具體特點，揣摩學生發(fā)生這種特點的數(shù)學知識認識的心理特點，最后基于教材分析與學情分析進行教學法分析，作出合適教學設計.本文以“三項分析”指導下的“勾股定理”教學設計為例，旨在為教師教學提供新的策略與視角.

關鍵詞：教材分析；學情分析；教學法分析；“勾股定理”

數(shù)學教學是一項系統(tǒng)的結構性工程，教師則是這項工程的設計師，需要為學生的數(shù)學學習活動制定藍圖，這里的“藍圖”就是數(shù)學教學設計.教師要想設計出行之有效的教學，必須以教材分析為基礎，再輔之以學情分析，最后在二者的基礎上進行教學法分析，從而因勢利導，引導學生從已有的數(shù)學現(xiàn)實與情境材料產生新知，才能在數(shù)學教學中收獲滿意的效果.

1有效數(shù)學教學設計的結構組成

數(shù)學教材呈現(xiàn)的知識類別繁多，學生個體之間也存在認知與個性的差異，這就決定了教師進行“三項分析”需要采取不同的方式和途徑.正所謂教無定法，不可能存在一個放之四海皆準的教學模式來幫助教師進行數(shù)學教學，唯有具體問題具體分析，才能設計出真正適合學生的數(shù)學教學方案.本文給出了教材分析、學情分析和教學法分析的內涵及呈現(xiàn)方式，旨在幫助教師在教學前合理進行“三項分析”以便形成有效的數(shù)學教學設計方案.

1.1教材分析

所謂教材分析就是教師對教學材料進行研究的思辨過程.對于教師和學生而言，教材呈現(xiàn)的數(shù)學知識不僅包含了人類經由認識而獲得的確定性成果，也內含了知識原創(chuàng)者在攻克數(shù)學難題時思維展開的認知方式，以上皆要由教師對教材的反復解讀，進而轉化為課堂中影響學生的資源，幫助學生將萌生的數(shù)學思想轉化為規(guī)范性的表達.教材分析包括對知識結構的分析、對教材編寫者編寫意圖的分析.［1］知識結構是指呈現(xiàn)在教材中的知識點及其相互的邏輯關系，從知識維度可以分為宏觀和微觀；對于編寫教材的過程而言，教材編寫者編寫意圖的分析則是一項逆向的心理分析，教師需以《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》為憑依，解讀教材編寫者在提煉和概括數(shù)學知識時的基本理念和設計意圖等，有針對性地培養(yǎng)學生形成符合社會發(fā)展需要的技能、技巧.此外，教師需注意教材是就知識論知識，它只關注了數(shù)學知識的外顯表象，而沒有突出知識結構的內在本質.因此，教師在利用教材作為教學順序和教學目標的參考時，也要創(chuàng)造性地對教材進行二次加工，深入挖掘教材所體現(xiàn)的知識的內涵與本質.

1.2學情分析

學情分析中的“學情”主要包括智力因素與非智力因素兩個方面.教師在進行教學設計之前，既要分析學生的智力水平，又要了解學生的情感狀態(tài).在智力因素方面，教師需要考慮學生的認知水平和知識技能基礎，如學生對概念、法則、性質、公式、公理的理解水平，以及由這些內容所反映出的數(shù)學思想和方法的掌握程度.同時，教師也要關注學生的非智力因素.醫(yī)學中講究“對癥下藥”，醫(yī)者先通過“望、聞、問、切”探清病因，再針對不同的病因選取合適的藥理.教學亦如此，學生學習數(shù)學時可能會對知識的學習產生抵觸情緒，所以教師需要尋找學生產生抵觸情緒的原因來“對癥下藥”，從而利用合適的教學方法化解學生學習數(shù)學知識的心理障礙.［2］

學情分析需要引起教師的重視.教師進行學情分析時要避免出現(xiàn)以下三種失誤：其一，“經驗主義”，即教師以對學生的主觀認識來代替學情分析；其二，“本本主義”，即教師認為學生在教材中接觸過的就是已經掌握的，未在教材中接觸的就一定全然不知，單純地以教材分析取代學情分析；其三，“形式主義”，即割裂教材內容與學情分析的聯(lián)系，將學情分析看成形式上的程序，這就失去了學情分析真正的意義.

1.3教學法分析

教學法分析是在教材分析和學情分析的基礎上，預設具體的教學流程.在選擇教學法來設計和實施數(shù)學課堂教學時，教師需要有辯證的思想，把握平衡，杜絕極端，既要注意落實對學生“四基”的培養(yǎng)，又要注意培養(yǎng)數(shù)學能力和實踐創(chuàng)新精神；既要注重數(shù)學知識的認知過程，又要利用合適的教學情境為學生營造自主探究的機會，從而促進理解新知，鞏固舊知.教師要在此基礎上，合理選擇教學方法輔助教學，以達到令人滿意的教學效果.

2基于“三項分析”的“勾股定理”教學設計示例

本文選取北師大版《義務教育教科書數(shù)學八年級上冊》中第一章《勾股定理》的第1節(jié)《探索勾股定理》為例設計教學活動過程，并圍繞教材分析、學情分析和教學法分析來闡述教師在教學設計時需要的準備工作.

2.1“勾股定理”數(shù)學教學設計的結構組成

教學設計需要以教材分析、學情分析和教學法分析三部分組成.

其一，教材分析.從宏觀知識結構分析勾股定理，本節(jié)屬于數(shù)學定理教學.就定理教學的結果來看，教師要著重讓學生掌握定理所包含的條件和結論，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，并引導學生掌握從條件到結論的證明方法，必要時能對定理作推廣，即勾股定理的逆定理.就定理教學的過程來看，教師需要引導學生經歷從定理的背景中發(fā)現(xiàn)和提出猜想、論證并獲得定理的過程；從微觀知識結構來看，教材先引導學生作任意直角三角形并度量長度，再求出各邊的平方來推動等量關系的猜想與發(fā)現(xiàn)，恰恰直角三角形各邊

平方的代數(shù)意義就是小正方形的面積值，兩個小正方形的面積和與大正方形的面積相等，這種基于面積法構造幾何圖形的方式，曾在北師大版《義務教育教科書數(shù)學七年級下冊》“和與差的完全平方公式”中出現(xiàn)過.教材在構造和的完全平方公式時以實例和圖1引導學生歸納出結論，因此，舊知由圖形幫助學生生成可以使用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式的思想意識，利用圖形加以解釋的“和與差的完全平方公式”與“勾股定理”有著密切聯(lián)系.對教材進行教材編寫意圖分析，教師需引導學生體驗勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程而不僅僅是知曉結論，在學生觀察、歸納、猜想、驗證勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結合思想.

其二，學情分析.認識論曾提出“歷史發(fā)生原理”的假設，即“個體知識的發(fā)生遵循人類知識發(fā)生的過程”.［3］因此，以數(shù)學史來分析學情，預設學生的數(shù)學心理活動不失為良策.希臘哲學家希伯斯（Hippasus）指出正方形邊長與對角線是不可公度的.這個結論使得畢達哥拉斯學派持有的“萬物皆數(shù)”觀點瞬間遭到抨擊，于是，希臘人開始害怕甚至幾乎放棄代數(shù)學［4］，在驗證與解釋代數(shù)學中的公式時盡可能地借用幾何圖形，對代數(shù)學的演繹性推導始終持有質疑.借鑒數(shù)學史我們認識到希臘人對于無理數(shù)的恐懼，由此推測，勾股定理產生的源頭，就是人們想要利用幾何圖形解釋“兩數(shù)和與差的完全平方公式”所連帶的分支.因為，古希臘人使用圖1來解釋“兩數(shù)和的完全平方公式”時，自然會進一步用圖形嘗試“兩數(shù)差的完全平方公式”（如圖2）.這時只要順次連結矩形對角線，就離直角三角形更進一步（如圖3），進一步抽象出由直角三角形拼接而成的正方形（如圖4）.正方形的面積可用兩種方式表示：一是（a－b）2＋4×12ab＝a2－2ab＋b2＋2ab＝a2＋b2；二是c2.綜合得a2＋b2＝c2，即勾股定理的一般形式.基于上述分析，從智力因素來看，這里將教材分析后教師歸納出的“兩數(shù)差的完全平方公式”和“勾股定理”間的聯(lián)系確定為如下關系，即“兩數(shù)差的完全平方差公式”為學生學習勾股定理，經歷數(shù)學知識發(fā)生的過程提供合適的根據(jù).從非智力因素來看，學習任何知識的最佳途徑都是自己去發(fā)現(xiàn)，多數(shù)初中生已漸漸從被動學習轉向為自我主動學習實現(xiàn)發(fā)展.教師應圍繞學生學習“勾股定理”的最近發(fā)展區(qū)，再提供給學生多樣化的教學情境材料來應用和拓展，以提高學生學習數(shù)學的熱情.

其三，整合教材分析與學情分析的結果進行教學法分析.教材提供給學生自學的便捷途徑，學生也可以由環(huán)環(huán)緊扣的問題環(huán)節(jié)及實際操作猜想出勾股定理，但是教師若在課堂教學時完全照搬教材會扼殺學生拓寬思維的可能.這是因為方格紙中呈現(xiàn)的例圖無論是等腰直角三角形還是特殊直角三角形，都是課本或教師提供的，并非學生提出來的.再者，向直角三角形的三邊外各做正方形，也并不是由學生的數(shù)學靈感和頓悟推進.綜上所述，數(shù)學教學并不僅僅是教師提供關鍵環(huán)節(jié)和參考資料的單向活動，而是要教師既關注教材能夠進行二次創(chuàng)造，又尊重學情有所憑依，拋出合理的“初始問題”進行互動的師生雙向活動.

2.2“勾股定理”教學設計示例

再好的教學理念若得不到實踐的檢驗，注定是不結果實的花朵，不具備推廣的價值.下面的內容是在以上三項分析基礎上，設計的一種勾股定理課堂教學活動的引入環(huán)節(jié).

情境1根據(jù)已學習過的“兩數(shù)和的完全平方公式”，請同學們來設計一個幾何圖形，用該幾何圖形的面積來表示（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.

師生活動：教師拋出的問題正是學生認知結構中“兩數(shù)和的完全平方公式”的合適根據(jù)地，由（a＋b）2＝（a＋b）×（a＋b）這個整體提示該幾何圖形為正方形，學生只要構建一個邊長為a＋b的正方形即可（如圖1）.

情境2類比上述使用“兩數(shù)和的完全平方公式”表示幾何圖形的面積，你還可以提出新問題并解答嗎？

師生活動：學生可基于上述問題順勢思考，提出新的問題——是否可以用“兩數(shù)差的完全平方公式”構造一個幾何圖形，用它的面積來表示（a－b）2＝a2－2ab＋b2，并將上圖進行改造（如圖2）.

情境3給定一個直角三角形，如果要研究它的直角邊a、b，斜邊長c三者之間的數(shù)量關系，可以借助上述兩個圖形進行推理嗎？

師生活動：學生進行小組討論.借助圖2中的線段a、b，連結四個矩形的對角線，就可以構造出四個直角三角形.設對角線的長度為c，可得到圖3，抽象出其中的大正方形可得到圖4，那么想要求解圖形的面積，可以用兩種方式分別表示，整體或者局部相加，即得到c2＝4×12ab＋（a－b）2＝a2＋b2.［5］

【設計意圖】中國古算中有“出入相補”的原理，劉徽在其所注釋的《九章算術》中就利用了上述原理證明勾股定理，我們現(xiàn)在學習到的勾股定理則是趙爽在《周髀算經》中注釋的“案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股自差自乘為中黃實，加差實亦成”.［6］為了方便教師施教，教科書在學生學習勾股定理時，直接給出了趙爽構造出來的結論，即圖5.教師也就依此方式如法炮制，由此便損害了知識點本身蘊含的教育價值.因此，教師要明確認識到，為學生創(chuàng)造并選擇一個新知產生的教學活動的培養(yǎng)不是一件便捷容易的事.數(shù)學教師要酌情考究數(shù)學知識產生的歷史源頭，例如，在本次“勾股定理”的教學引入設計中，需站在知識點本身的構成及來源，思考勾股定理靈感的原創(chuàng)者是怎樣產生“勾股圓方圖”的真實心理過程.

3結語

教師要想設計出行之有效的數(shù)學教學，就需要在教學設計之前進行“三項分析”.教材分析是數(shù)學教學設計的基礎.教師只有基于理論基礎與實踐經驗將教材提供的教學材料分解開，并掌握數(shù)學知識每個部分、每個層次的要素，才能夠思考并總結知識板塊間的關聯(lián)，為教學設計的完成打下基礎.學情分析是數(shù)學教學設計的重要前提.教師唯有充分了解學生的知識基礎和情感狀態(tài)，才能量體裁衣，設計出有益于學生學習的教學.教師需要整合教材分析和學情分析的結果進行教學法分析，選取適合學生學習和方便教師施教的教學方法，預設師生共同參與的課堂教學活動流程，才能做到“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”.

參考文獻

［1］何鴻斌，王愛仁.中學數(shù)學教材分析與研究［M］.大連：遼寧師范大學出版社，1997.

［2］張昆.學情分析：有效教學設計的前提［J］.中學數(shù)學雜志，2017（12）：5－8.

［3］劉潔.基于歷史發(fā)生原理的平面概念的教學研究［D］.長沙：湖南師范大學，2009.

［4］H·伊夫斯.數(shù)學史概論［Ｍ］.太原：山西人民出版社，1986.

［5］張昆，張雨晴.運用最近發(fā)展區(qū)策略示例——透過數(shù)學教學設計的視點［J］.中學數(shù)學教學，2018（3）：4－8.

［6］劉鈍.大哉言數(shù)［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1993.