高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計研究

摘要：基于深度學(xué)習(xí)的單元教學(xué)設(shè)計，旨在體現(xiàn)課程性質(zhì)，反映課程理念，解釋數(shù)學(xué)學(xué)科大概念，通過引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)去感知、體會、表達(dá)，形成高階認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展核心素養(yǎng)，提高學(xué)業(yè)水平.導(dǎo)數(shù)內(nèi)容具有一定的抽象性、難度性、復(fù)雜性，對學(xué)生而言難度較大，所以加強學(xué)生深入認(rèn)識、理解導(dǎo)數(shù)的規(guī)律和關(guān)聯(lián)，運用導(dǎo)數(shù)內(nèi)容解決問題成為教師重要教學(xué)任務(wù)，教學(xué)設(shè)計為教師完成工作提供理論支撐.

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；單元教學(xué)；導(dǎo)數(shù)

高中數(shù)學(xué)知識具有較高的關(guān)聯(lián)性，教師應(yīng)通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍铙w系和規(guī)則的數(shù)學(xué)法則，將各模塊的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行有機融合，形成較為完善的數(shù)學(xué)知識體系.課程是以孤立的性質(zhì)存在，通過橫向連接和縱向結(jié)構(gòu)的方式，健全和完善數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu).教師教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)注重課程結(jié)構(gòu)特征，掌握整體單元設(shè)計邏輯，設(shè)計出科學(xué)合理、實用高效的教學(xué)設(shè)計.本文以人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》中“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”單元教學(xué)內(nèi)容為例，從縱向和橫向兩個角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.

1創(chuàng)設(shè)問題情境，促進(jìn)深度參與

單元教學(xué)設(shè)計基于建構(gòu)主義理論，建構(gòu)主義理論強調(diào)學(xué)科教學(xué)要基于真實的教學(xué)情境，直觀化呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程實質(zhì).抽象性是數(shù)學(xué)課程先要特點，函數(shù)的抽象性極強，是數(shù)學(xué)課程的重點和難點，為學(xué)生造成困惑和不解.但是數(shù)學(xué)知識的抽象不是虛擬化的抽象，而是從實際生活、生產(chǎn)創(chuàng)造中抽象而來，具有極強的生活性，所以數(shù)學(xué)知識取之于生活，用之于生活.從數(shù)學(xué)學(xué)科整體角度分析，數(shù)學(xué)概念、知識關(guān)聯(lián)與規(guī)律、實際運用依賴情境.教師開展教學(xué)活動要注重創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生情感認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生在真的情境中發(fā)現(xiàn)、探究、感知、體會數(shù)學(xué)知識，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，解決數(shù)學(xué)問題和實際生活問題，強化知識遷移.［1］深度學(xué)習(xí)強調(diào)通過層層引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，使其理解數(shù)學(xué)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決問題，提高學(xué)習(xí)效率.同時，使學(xué)生通過深度學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、實用性，形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?，形成正確的價值觀，發(fā)展核心素養(yǎng)，提高學(xué)業(yè)水平.

導(dǎo)數(shù)的概念及其意義主要以變化率為引導(dǎo)展開講解，其中“瞬時速度”和“切線斜率”是兩個重要概念，主要在真實情境中抽象得出.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念及其意義教學(xué)內(nèi)容，可以通過創(chuàng)設(shè)真實情境進(jìn)行闡述和表示，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，感知和體會情境學(xué)習(xí)過程，加強學(xué)生學(xué)習(xí)體驗.具體教學(xué)設(shè)計如下.

引導(dǎo)語：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等，運用函數(shù)的基本性質(zhì)探究冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，并且對簡單函數(shù)有基本的了解，如“對數(shù)增長”“指數(shù)增長”“直線上升”等.關(guān)于增長速率能否進(jìn)一步深入刻畫和表示？能否通過表達(dá)式表示函數(shù)變化速度的快慢？

【設(shè)計意圖】調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，使學(xué)生明確對函數(shù)變化速率描述可以細(xì)化和精準(zhǔn)化，引出本課教學(xué)內(nèi)容，提出學(xué)習(xí)任務(wù).

問題在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）＝－4.9t2＋4.8t＋11，如何描述運動員從起跳到入水的過程中的快慢程度？

師生活動：（1）教師運用數(shù)字化教學(xué)資源播放運動員高臺跳水視頻，引導(dǎo)學(xué)生觀察運動員高臺跳水時，身體上升和下降的變化過程，組織學(xué)生運用運動員某一時間段身體運動的平均速度，表示運動員高臺跳水的整體運動情況.

（2）學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具求解運動員某一時間段身體運動的平均速度.

追問當(dāng)0≤t≤4849時，運動員的平均速度是多少？通過分析此時運動員的平均速度，你有哪些發(fā)現(xiàn)？你認(rèn)為利用某一時間的平均速度，可以描述運動員的運動狀態(tài)嗎？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過運用平均速度描述運動員的運動情況，發(fā)現(xiàn)平均速度存在的問題，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生思考和興趣，引出瞬時速度的概念.

2引導(dǎo)深度思考，鍛煉數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)課程教學(xué)強調(diào)夯實學(xué)生基礎(chǔ)，包括基礎(chǔ)知識理解、學(xué)習(xí)方法和技巧、解題思路等.數(shù)學(xué)體系建立在概念和定義之上，學(xué)生基礎(chǔ)知識深厚，通過教師引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)，層層探究數(shù)學(xué)知識和理解數(shù)學(xué)知識，建構(gòu)完善的數(shù)學(xué)知識體系.數(shù)學(xué)內(nèi)容雖多，但是研究思維、技巧和方法等類似.教師幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系過程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)思維、技巧和方法.使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過實踐與反思，形成數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗，以促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系.［2］建構(gòu)學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系，要以發(fā)展學(xué)生思維為主，所以如何促進(jìn)學(xué)生內(nèi)隱思維顯性化是重點.學(xué)生內(nèi)隱思維顯性化策略有以下三點：①自主學(xué)習(xí).學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)，梳理出分析問題和解決問題的方法和技巧.②小組合作.以學(xué)習(xí)任務(wù)和驅(qū)動問題為導(dǎo)向，組織學(xué)生思想碰撞，進(jìn)行思維提升.③教師引導(dǎo).通過問題、啟發(fā)、指導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生指向性學(xué)習(xí)，通過探究、分析、表達(dá)進(jìn)行深層次思考.圍繞實際問題情境引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生思維能力.教師在教學(xué)“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”時，可以創(chuàng)設(shè)高臺跳水情境，組織學(xué)生探討運動員跳水速度.使學(xué)生在深度學(xué)習(xí)過程中，有邏輯、有思維地探究數(shù)學(xué)問題，內(nèi)隱思維顯性化，實現(xiàn)發(fā)展學(xué)生思維能力的教學(xué)目標(biāo).

問題平均速度與瞬時速度描述運動員運動狀態(tài)是否存在關(guān)聯(lián)？結(jié)合關(guān)聯(lián)，計算t＝1時運動員的瞬時速度.

師生活動：（1）探究瞬時速度與平均速度內(nèi)在關(guān)系.設(shè)運動員t0區(qū)間平均速度為，

如果不斷縮短這一時間區(qū)間的長度，那么得越來越趨近于運動員在

t0時刻的瞬時速度.

學(xué)生明白瞬時速度和平均速度的關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生求解瞬時速度.給定變化時間Δt，計算［1，1＋Δt］區(qū)間的平均速度.分析Δt無限趨近于0時，有何變化.若Δt為負(fù)且無限趨近于0時，有何變化.

（2）教師運用數(shù)字化教學(xué)資源演示平均速度無限接近瞬時速度（Δt＞0）的計算過程.

（3）教師運用數(shù)字化教學(xué)資源演示平均速度無限接近瞬時速度（Δt＜0）的計算過程.

演示結(jié)果如表1所示.

（4）教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察數(shù)據(jù)表格發(fā)現(xiàn)，Δt無限趨近于0時，運動員的運動速度無限接近在t＝1時刻的速度且趨近常數(shù)－5.學(xué)生通過探究明確－5表示運動員在t＝1時刻的瞬時速度，并且明確瞬時速度和平均速度的區(qū)別，當(dāng)物體在某一時間段的平均速度，隨之時間變化無限接近0而轉(zhuǎn)化為瞬時速度.

追問1給定無數(shù)個Δt，運用數(shù)字化教學(xué)資源求解Δt對應(yīng)的無數(shù)個平均速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時，探究運動員的平均速度是否發(fā)生變化.

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)字化教學(xué)資源探究無數(shù)個Δt對應(yīng)的無數(shù)個平均速度，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Δt無限趨近于0時，所得到的瞬時速度沒有發(fā)生變化，即為t＝1時刻的瞬時速度.使學(xué)生明確Δt是一個無限小的數(shù)，是一個無限趨近于0的數(shù)，即使若干個Δt也不能影響運動員在t＝1時刻的瞬時速度.

追問2你認(rèn)為表1中瞬時速度正確嗎？

師生活動：針對追問2學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，并且闡述自己的觀點.教師根據(jù)各小組的討論情況進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生明確通過上述計算可以計算出運動員在t＝1時刻的瞬時速度.認(rèn)識到當(dāng)Δt無限趨近于0時，平均速度表示某一時刻的速度，即瞬時速度為－5.但是人的計算能力是有限的，不可能按照數(shù)字化教學(xué)資源一樣無休地進(jìn)行多個Δt運算，所以探究平均速度和瞬時速度的關(guān)系，要從理性、科學(xué)、合理的視角加以說明.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)字化教學(xué)資源探究平均速度與瞬時速度的變化關(guān)系，明確當(dāng)Δt無限趨近于0時，平均速度表示某一時刻的速度，并且瞬時速度無限接近某一個常數(shù)，即某一時刻的速度.通過探究平均速度“逼近”瞬時速度，使學(xué)生從真實情境中抽象出導(dǎo)數(shù)的概念，從而培養(yǎng)學(xué)生抽象能力和思維能力.同時，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，使其從理性角度思考和解決問題，運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的外在表現(xiàn).

3推動深度理解，提升數(shù)學(xué)認(rèn)知

數(shù)學(xué)教學(xué)要圍繞核心素養(yǎng)內(nèi)涵，教師通過發(fā)揮數(shù)字化教學(xué)資源的賦能作用，創(chuàng)設(shè)真實的情境以激發(fā)學(xué)生情感認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生在情境中探究數(shù)學(xué)知識實質(zhì)和規(guī)律，加強數(shù)學(xué)知識理解，提升學(xué)習(xí)能力，發(fā)展核心素養(yǎng).教學(xué)設(shè)計作為建構(gòu)高效教學(xué)課堂的引導(dǎo)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計要注重過程與結(jié)果相融合，即根據(jù)實際生活創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生在情境中探究數(shù)學(xué)知識概念，經(jīng)過教師指導(dǎo)認(rèn)識數(shù)學(xué)知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)和規(guī)律，通過自主學(xué)習(xí)和小組合作解決實際問題，強化學(xué)生數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識運用能力，從而發(fā)展學(xué)生思維能力和解決問題能力.教學(xué)設(shè)計的過程深刻闡述深度學(xué)習(xí)理念，通過引導(dǎo)學(xué)生逐步探究數(shù)學(xué)知識，有規(guī)律、有計劃、有深度地學(xué)習(xí)，從不同的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升認(rèn)知層次，建構(gòu)數(shù)學(xué)體系.

問題求解t＝1、t＝0.5時刻運動員的瞬時速度；求解當(dāng)t＝t0時刻運動員的瞬時速度.

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生運用上述的方法求解t＝t0時刻運動員的瞬時速度.教師通過點評學(xué)生的解題過程，指出學(xué)生出現(xiàn)的問題，并給出以下規(guī)范答案.

當(dāng)t∈［t0，t0＋Δt］時，運動員的平均速度＝h（t0＋Δt）－h(huán)（t0）Δt＝－4.9Δt－9.8t0＋4.8，當(dāng)Δt無限趨近于0時，－4.9Δt－9.8t0＋4.8＝－9.8t0＋4.8，所以運動員的瞬時速度只與t0有關(guān)，所以運動員在t0時刻的瞬時速度，記作為v（t0），則v（t0）＝

limΔt→0＝limΔt→0（－4.9Δt－9.8t0＋4.8）＝－9.8t0＋4.8.

追問1平均速度和瞬時速度描述運動員的運動狀態(tài)有哪些區(qū)別？

追問2你能歸納和總結(jié)瞬時速度求解的一般步驟嗎？

師生活動：學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)總結(jié)出瞬時速度求解的一般步驟，教師根據(jù)各小組歸納和總結(jié)情況，優(yōu)化和完善各小組的學(xué)習(xí)成果.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊值到一般值計算，感知瞬時速度的一般表達(dá)形式，明確瞬時速度只與變量t0有關(guān)，重新體會瞬時速度計算過程.通過完成兩個問題，促進(jìn)學(xué)生深入理解瞬時速度和平均速度的表達(dá)和內(nèi)在關(guān)系.通過總結(jié)瞬時速度一般表達(dá)式，促進(jìn)學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識梳理過程，強化學(xué)生思維能力.

4鼓勵深度反思，建立數(shù)學(xué)認(rèn)知

深度反思是建構(gòu)學(xué)生認(rèn)識結(jié)構(gòu)或數(shù)學(xué)知識體系的重要過程.章建躍教授指出，反思是增強知識經(jīng)驗、形成數(shù)學(xué)思維的重要路徑.結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗得出，學(xué)生通過系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，結(jié)合單元教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)活動，形成認(rèn)識結(jié)構(gòu)和建構(gòu)單元知識體系.深度反思注重學(xué)生通過單元教學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)，根據(jù)自己的觀點能夠?qū)卧虒W(xué)內(nèi)容進(jìn)行解釋和表達(dá)，形成認(rèn)識結(jié)構(gòu)，明確單元知識規(guī)律和規(guī)律，強化知識遷移.

參考文獻(xiàn)

［1］曹一鳴，孫彬博，蘇明宇，等.促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計——以“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”為例［J］.基礎(chǔ)教育課程，2023（6）：34－43.

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