巧借最值公理解決最值問題

2024-11-03 00:00:00陸鳳杰

數學之友 2024年17期

摘要：最值問題是具有較強綜合性的一類問題，通常涉及代數計算，不等式或不等式組，方程或方程組，幾何計算和證明，函數單調性、對稱性等多種數學知識.

本文運用最值公理，并結合有關聯的數學知識或方法，優化最值問題的解題過程，以使學生實現高效解題.

關鍵詞：初中數學；最值問題；解題過程；優化策略

最值問題作為初中數學較為常見的一類問題，是中考命題中的重難點與熱點，其涉及了廣泛的知識面，且知識與知識之間存在著密切的關聯，題型多種多樣，有著較強的靈活性，這就對學生的解題能力提出了較高的要求.因此，數學教師在具體教學時，需針對最值問題，設置一些微專題課程，以促使學生正確地認識最值問題，并掌握最值問題的有效解決方法，積累豐富的解題經驗，從而使學生解決最值綜合問題的能力得到有效提高.

1最值公理概述

平面幾何動態類問題中，當某個幾何元素給定相應的條件變動時，求取某個幾何量（圖形面積或周長、線段長度、角的度數等）的最大值或者最小值，則稱最值問題.［1］解決最值問題常用的幾個最值公理主要表現在以下方面.

第一，兩點之間線段最短.兩點之間線段最短的最值問題，可通過多種幾何變化，將其轉變成同類型的幾何問題，并巧用兩點之間線段最短的定理，求解出對應的最值.［2］

第二，三角形三邊關系.

它是將“兩點之間的線段最短”作為基礎的最值問題，是通過三角形的三邊關系進行確定.

這類問題主要表現在以下類型：①是問題中給出了兩個定點以及一個動點，所形成的三角形三邊關系的最值；②是依據問題的背景，形成以“三角形的三邊關系”求取最值.［3］

第三，點到直線的距離最短.點到直線的距離最短是解決幾何模型最值問題常見的方式，這類問題通常難度比較小，但是題型相對新穎，主要是和圖形的翻折、運動以及相似三角形等知識有效結合，其解題的方法有效拓寬了最值問題的解題思路，優化了最值問題的解決方法.［4］

第四，與圓的知識相關的最值問題.與圓相關的最值問題主要是讓學生立足幾何圖形，把握相應的解題方法，解決相關的最值問題，以深刻感悟問題本質，并積累豐富的解題經驗，從而有效提高學生分析、解決最值問題的能力.［5］

2巧借最值公理解決初中最值問題的策略

2.1巧借“兩點之間線段最短”，解決最值問題

例1如圖1所示，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M位于△ABC的內部，且AM平分∠BAC，點E和點M位于AC所在直線兩側，且AE⊥AB，AE＝BC，點N位于邊AC上，CN＝AM，連接BN、ME.

（1）求ME∶BN的值.

（2）猜想點M在何處BM＋BN取得最小值，并求解BM＋BN的最小值.

分析：（1）在解答本題時，可先猜測ME＝BN，以此證明△AME≌△CNB，并延長AM交BC于點D，依據AB＝AC，AM平分∠BAC，得出∠CAD＝∠BAD，AD⊥BC，再依據AE⊥AB，可得出∠MAE＋∠BAD＝90°，并得到

∠MAE＝∠ABC＝∠ACB，最后依據三角形全等得出結論.（2）依據（1）的結論，可將BM＋BN的最值轉變成BM＋ME的最值，此時，就會發現兩點之間線段最短，即當

點B、M、E

位于相同直線上時，最值最小.

解析：（1）延長AM與BC相交于點D.∵AB＝AC，AM是∠BAC的平分線，

∴∠CAD＝∠BAD，

AD⊥BC.

∵AE⊥AB，∴∠MAE＋∠BAD＝90°.

∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°，∴∠MAE＝∠C

.在△AME與△CNB中，AM＝CN，

∠MAE＝∠C，

AE＝BC，

∴△AME≌△CNB，∴ME＝BN，ME∶BN＝1.

（2）∵ME＝BN，∴BM＋BN＝BM＋ME，

∴當點M位于∠BAC平分線上時，其運動到AD與BE的相交點處，BM＋BN取得最小值.

∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝AE2+AB2＝62+52＝61，

∴BM＋BN的最小值是61.

例2如圖2所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E為AD上的一點，AE＝2，P、Q分別是AB、BC上的動點，連接PE，把△APE沿著線段PE翻折得到△FPE，連接FQ、QD，FQ＋QD的最小值是.

分析：通過對稱轉變，把FQ＋QD轉變成FQ＋QD′，這是解決最值問題最為常見的方法，本題當中，需注意F點并非定點，所以在求解中，需把EF＋FQ＋QD′看作整體.

解析：作出點D關于直線BC對稱的點D′，連接QD′、ED′，∴QD＝QD′.依據圖2可知，E、F、Q、D′四個點位于一條直線上時，EF＋FQ＋QD′的值是最小的.

∵EF＝AE＝2，QD＝QD′，∴在Rt△EDD′中，依據勾股定理，可知ED′＝10，即FQ＋QD的最小值為8.

2.2巧借“三角形三邊關系”，解決最值問題

例1如圖3所示，等邊三角形ABC中，AB＝4，點D為邊AB的中點，點E為邊BC上的一點，將△BDE沿著線段DE進行折疊，得到△B′DE，連接CB′，那么，CB′的最小值是（）.

A. 23-2

B. 1

C. 3-1

D. 2

解析：連接CD，如圖4所示，△ABC為等邊三角形，D為AB邊上的中點，所以CD⊥AB.

∵△B′DE是將△BDE沿著線段DE進行折疊得到的，

∴當B′位于CD上時，CB′的長度是最小的.

∵AB＝4，∴DB′＝DB＝2.

∵CD⊥AB，等邊三角形ABC的各邊長是4，∴CD＝23，∴CB′≥CD－DB′＝23-2，即CB′的最小值是23-2，故選A.

例2如圖5所示，在平面直角坐標系中，矩形ABCD依據圖5的方式進行放置，當點A在x軸的正半軸運動時，點D隨之在y軸正半軸運動，但矩形ABCD形狀是不變的，且AB＝3，BC＝2，在實際運動中，點B和點O之間的最大值是.

分析：此類型題可利用三角形的三邊關系解決最值問題，其圖形較為簡潔，且難度也比較小，因此，在解例2時，可取線段AD的中點E，連接OE、BE，即OE＝1，BE＝2，且在運動過程中均保持不變，則能求得OB的最大值.

解析：取線段AD的中點E，連接OE、BE.

∵E是線段AD的中點，∴AE＝ED.∵

四邊形ABCD是矩形，BC＝AD＝2，AB＝3，∴OE＝1，BE＝2.

∵整個運動中，線段的長度是保持不變的，且OB≤OE＋EB，∴OB的最大值是3.

2.3巧借“點到直線距離最短”，解決最值問題

例題如圖6所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F位于邊AC上，且CF＝2，點E是邊BC上的一個動點，將△CEF沿著線段EF進行翻折，點C落于P點處，那么點P到邊AB距離的最小值為.

分析：延長FP與線段AB相交于點M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小，通過△AFM∽△ABC，可得出AFAB＝FMBC，即可求解出FM，從而解決本題.

解析：如圖7所示，延長FP與線段AB相交于點M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小.∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴AFAB＝FMBC.

∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝AC2+BC2＝10，∴410＝FM8，即FM＝3.2.

∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2.因此，點P到邊AB距離的最小值為1.2.

2.4巧借“圓”，解決最值問題

例題如圖8所示，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所對的圓心角為60°，且AC⊥弦BC，若點P在弧BC上，點E、F分別在AB、AC上，那么PE＋EF＋FP的最小值是.

分析：連接點P、O、A，得線段AP、OP、OA，分別將AB、AC作為對稱軸，作點P關于直線AB對稱的點M，P關于直線AC對稱的點N，連接MN，與AB相交于點E，與AC相交于點F，連接PE、PF，得AM＝AP＝AN，設AP＝r，可求得MN＝3r，即PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝3r，也就是當AP最小時，PE＋EF＋PF可得最小值.

解析：連接點P、O、A，得線段AP、OP、OA，分別以直線AB、AC作為對稱軸，作出點P關于直線AB對稱的點M，P關于直線AC對稱的點N，連接MN，與AB相交于點E，與AC相交于點F，連接PE、PF（如圖9），∴AM＝AP＝AN.

∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，

∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°，∴M、P、N在將A作為圓心，AP為半徑的圓上.設AP＝r，可

得MN＝3r.∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝3r，

∴當AP最小時，PE＋EF＋PF可取得最小值.

∵AP＋OP≥OA，∴AP≥OA-OP，即點P在OA上時，AP可取得最小值.

在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝3.

∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC＝3.作OH⊥AC與AC相交在延長線的點H，在Rt△OCH中，∵OC＝3，∠OCH＝30°，∴OH＝12OC＝32，CH＝3OH＝32.

在Rt△AOH中，AO＝AH2+OH2＝522+322＝7，即AP＝r≥7－3，∴PE＋EF＋PF的最小值為21-3.

3結語

在初中數學的最值問題解決中，教師需引導學生深層次思考問題中的內在邏輯，并注重問題之間的轉化，以找出相應的解題技巧與方法，實現解題效率的提高.因此，數學教師在日常的最值問題解題教學中，需注重觀察和總結，幫助學生掌握最值問題存在的解題規律，從而使學生的解題速度以及解題能力得到有效提高.

參考文獻