回歸基礎 探究本質

摘要：數列與不等式是高中數學的重要內容，而數列中的不等式問題是數列學習的難點.此類問題通常較為復雜，且難度系數較大，對學生的邏輯推理和數學運算能力有較高的要求.學生在解答這類問題，往往需綜合運用數列、不等式、函數等知識.

放縮在解決數列不等式問題的過程中能達到化繁為簡、深入淺出的效果.結合數列的基礎知識，巧妙利用不等式放縮，尋找化歸的突破口.

關鍵詞：放縮法；數列問題；不等式

1利用不等式放縮，化歸為等差數列、等比數列

等差數列和等比數列的教學，是數列教學的重點，也是每年高考的必考內容.學生對這兩個最基本、最重要的數列非常熟悉，對其性質、通項公式、求和公式等知識點也能熟練運用，但數列常和不等式問題結合，如果能夠利用放縮，回歸到等差數列和等比數列，問題就能迎刃而解.

例1已知數列｛an｝滿足a1＝1，an+1＝an+a2n+12，則下列說法正確的是（）.

A. a2023＞a2022

B. 4a2n+1-1＝4an+1an

C. 1a2n+15a2n+1的最小值為8+15

D. a22023＜1012

分析：對于選項D，因為4a2n+1-1＝4an+1an，整理得an＝an+1-14an+1，

兩邊平方得a2n＝a2n+1+116a2n+1-12，

通過放縮，構造遞推不等式a2n+1-a2n＜12，可得a22023-a22022＜12，a22022-a22021＜12，…，a22-a21＜12，所以a22023-a21＜12×（2023-1）＝1011，即a22023-1＜1011，所以a22023＜1012，故D正確.

本題通過放縮，回到形似“等差數列”的遞推不等關系.

例2已知正項數列｛an｝的通項公式為an＝1-23n+3，若a1+a2+…+an＞10，求n的最小值.

分析：通項公式中“3n”的出現，提供了放縮的方向，即等比數列.由an＝1-23n+3＞1-23n，得a1+a2+…+an＞n-213+132+…+13n＝n-2·13-13n+11-13＝n-1+13n.

當n＝11時，a1+a2+…+a11＞10+1311＞10，當n＝10時，a1+a2+…+a10＝10-231+1+…+2310+1＜10，所以n的最小值為11.

例3已知數列｛an｝的通項公式為an＝32·12n-（-1）n，求證：a1+a2+…+an＜118.

分析：觀察通項公式，當n為偶數時，an＝32·12n-1＞32·12n；當n為奇數時，an＝32·12n+1＜32·12n.若將相鄰兩項結合起來，計算可得，當n≥4且n為偶數時，an-1+an＝32

·12n-1+1+12n-1＝32·2n+2n-122n-1+2n-1-1＜322n+2n-122n-1＝3212n-1+12n.

當n≥3且n為奇數時，an-1+an＝32·12n-1-1+12n+1＝322n+2n-122n-1-2n-1-1＞32·2n+2n-122n-1＝3212n-1+12n.

結合本題所證結論方向，以“當n≥4且n為偶數”為切入口，可化歸為等比數列求解.

當n≥4且n為偶數時，a1+a2+…+an＜（a1+a2）+32·123+124+…+12n＝1+38·1-12n-2＜1+38＝118.

當n≥3且n為奇數時，則n+1≥4且n+1為偶數，由上述證明可知a1+a2+…+an+an+1＜118.

又因為an＝32·12n-（-1）n＞0，所以a1+a2+a3+…+an＜118-an+1＜118.

綜上所述，a1+a2+…+an＜118.

案例總結：當數列通項公式為n的一次型，或者數列的遞推關系可放縮為“an-an-1”型遞推不等式時，可轉化為等差數列求解；當數列通項公式為n的指數型或數列的遞推關系可放縮為“anan-1”型遞推不等式時，可轉化為等比數列求解.當（-1）n出現，通常需要奇偶分析.

2利用不等式放縮，化歸為裂項求和

裂項求和是數列求和的重要方法，也是近年來高考的熱點.學生對各種裂項的方法都非常熟悉.裂項求和的本質是裂項相消，得到結果.在數列不等式問題中，利用放縮，將問題轉化為裂項求和知識點，是重要的化歸方向.［1］

例1已知an＝2n-12+12n，且數列｛an｝的前n項和為Sn，證明：1S1+a1+1S2+a2+1S3+a3+1S4+a4+…+1Sn+an＜43.

分析：由分組求和得Sn＝n22+1-12n，則Sn+an＝n22+1-12n+2n-12+12n＝（n+1）22，所以1Sn+an＝2（n+1）2.由1Sn+an＝2n2+2n+1＜2n（n+2）＝1n-1n+2.

當n＝1時，1S1+a1＝12＜43.

當n≥2時，1S1+a1+1S2+a2+1S3+a3+…+1Sn+an＜12+12-14+13-15+…+1n-1n+2＝43-1n+1+1n+2＜43.需要注意，本題需從第二項開始放縮，否則精度不夠.

例2已知數列｛an｝滿足an＝n2+n-1，設數列1an的前n項和為Sn，證明：Sn＜2918.

分析：利用不等式放縮，1n2+n-1＜1n2+n-2＝131n-1-1n+2，結合裂項相消可證得結論.

例3已知數列｛an｝滿足an＝1+2（n+1）2，求證：a1+a2+…+an＜n+1-1n+1.

分析：本題中所證不等式右側可以看成是數列｛bn｝的前n項和Tn.設數列｛an｝的前n項和為Sn，若an＜bn，則Sn＜Tn.易得bn＝1+1n（n+1），故只需1+2（n+1）2＜1+1n（n+1），即1+2（n+1）2＜1+1n（n+1）2.由1+2（n+1）2＜1+2n（n+1）＜1+2n（n+1）+1n（n+1）2＝1+1n（n+1）2，命題得證.對數列｛bn｝，其求和公式是非常基礎的裂項求和，本題通過逆向思維，將數列an放縮成bn，回歸基礎知識點.由本題可知，若所證不等式為帶n的式子，可以將不等式兩側看成“項和”的大小關系轉化為“項”的大小關系.需要注意，an＜bn是Sn＜Tn成立的充分不必要條件.

案例總結：裂項求和作為重要的求和方法，在數列不等式中為放縮提供了方向，如對1n2的放縮有1n2＜1n（n-1）＝1n-1-1n（n≥2）；1n2＜1n2-1＝1（n-1）（n+1）＝121n-1-1n+1（n≥2）；1n2＝44n2＜44n2-1＝212n-1-12n+1等幾種形式.一般地，若數列的通項公式是分式，且分母為關于n的多項式，裂項求和是常見的放縮方向.

3利用不等式放縮，化歸為數列的最值

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將數列置于函數主題之下，這是一個重大調整.對比研究新舊課標可知，函數主題下的數列單元教學要以函數思想方法引領全局.［2］將數列不等式轉化為數列的最值問題，進而轉化為函數問題，也是數列不等式放縮的重要方向.

例1已知數列｛an｝滿足an+1＝2an1+a2n，a1＝12，且對n∈N*，有0＜an＜1，證明：an+1-an＜2+18.

分析：由an+1-an＝2an1+a2n-an＝an（1-an）（1+an）1+a2n，這是一個關于“an”的函數，考慮到直接求導求最值過于煩瑣，嘗試放縮到基本函數.“an（1-an）”形式蘊含和定屬性，故可用基本不等式進行放縮，轉化為基本函數an（1-an）·（1+an）1+a2n≤an+1-an22·1+an1+a2n＝14·1+an1+a2n，至此，本題轉化為反比例函數的值域問題.令1+an＝t∈（1，2），得14·1+an1+a2n＝14·tt2-2t+2＝14·1t+2t-2≤14·122-2＝2+18.又因為an＝1-an與1+an＝21+an不能同時成立，所以上式等號不成立，即對n∈N*，an+1-an＜2+18.

例2對于數列｛cn｝，若從第二項起，每一項與它的前一項之差都大于或等于（小于或等于）同一個常數d，則｛cn｝叫作類等差數列，c1叫作類等差數列的首項，d叫作類等差數列的類公差.若數列｛an｝中，a1＝13，an+1＝an-2a2n.

（1）判斷數列1an是否為類等差數列，若是，請證明；若不是，請說明理由.

（2）記數列｛a2n｝的前n項和為Sn，證明：n2n+3＜3Sn≤n2n+1.

分析：對于本題（1），1an+1-1an＝1an-2a2n-1an＝21-2an，由a1＝13，2a2n＝an-an+1＞0，所以an+1＜an，則｛an｝是遞減數列，故（an）max＝a1＝13，由21-2an是關于an的單調遞減的反比例函數，故2＜21-2an≤6，即2＜1an+1-1an≤6，故數列1an是類等差數列.

本題（2），由a2n＝an-an+12，利用累加消項，得數列｛a2n｝的前n項和為Sn＝a1-an+12，這是一個關于an+1的單調遞減的一次函數.結合（1）中結論可得3+2n＜1an+1≤6n+3，即16n+3≤an+1＜12n+3，從而可推證n2n+3＜3Sn≤n2n+1.

案例總結：通過數列放縮，將數列中的不等式問題轉化成數列的最值問題，進而轉化為函數的最值問題，構造的方向是常見函數模型，如一次函數、反比例函數、對勾函數等.數列是特殊的函數，在解決數列最值問題時，其本質是函數值域問題.數列的通項公式和前n項和公式是關于n的函數，數列的遞推關系可轉化為關于an的函數，這些都是學生構造的方向.

4結語

數列和不等式是高考的兩大熱點、難點，這兩大問題組合在一起的時候，綜合程度高，解法靈活多樣，對解題能力的要求較高.這類問題能全面、綜合地考查學生的潛能與學習能力，備受命題者的青睞.解決這類問題的基本途徑是放縮法，其策略是通過多角度觀察通項的結構，深入剖析其特征，利用不等式放縮，化歸為兩個基本數列：等差數列、等比數列，或者是可以裂項求和的數列，抑或是數列的最值問題，進而轉化為函數的最值問題.

參考文獻

［1］李喜春.靈活運用放縮法，高效解答數列不等式問題［J］.語數外學習（高中版下旬），2023（4）：41-43.

［2］渠東劍.函數主題下的數列單元教學的思考［J］.中學數學教學參考，2022（19）：14-18.