高觀點視角下的新高考數學試題探析

摘要：隨著新課改的出現，以高觀點來研究新高考試題已經成為一個熱點課題.最近幾年來的部分高考試題的命制背景也體現了一些高觀點.為此，本文以近幾年出現的高考試題和模擬題為例，說明其中體現的高觀點，提出了幾點教學上的建議．

關鍵詞：高觀點；高中數學；新高考試題

德國數學家克萊因（F.C.Klein）曾說：“一個數學教師的職責是應使學生了解數學并不是孤立的各門學問，而是一個有機的整體.”［1］數學教師應當站在更高的視角來審視初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了簡單.一個稱職的教師應當掌握或了解各種數學概念、方法及其發展與完善的過程以及教育演化的經過，只有這樣，才能在初等數學的教育教學中“來去自如”．

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出通過高中數學的學習，學生能獲得必需的“四基”和“四能”，在學習與應用數學的過程中，學生能發展六大核心素養.［2］教師應當在高中階段就讓學生了解一些大學中的高觀點并為后續的學習做準備.2024年1月的“九省聯考”數學試題，題量減少了但是難度加大了，第19題中出現了數論的題目，這啟發教師在日常教學中需要給高中學生講授一些大學數學的知識．

1以高觀點來研究高中數學的必要性

1.1符合學生的認知規律

高觀點是以特殊性的初等數學知識經由推廣和一般化發展為高等數學知識，又反過來經由特殊化來指導初等數學的教學和研究.知識始終有待于再考查、再檢驗、再證實，這樣才能使得學生的認識不斷深化.只有在高觀點下運用教學方法來組織數學課堂教學，才能將復雜的、抽象的數學教學內容以一種生動的、直觀的形象呈現在學生面前，這樣就能使得學生更輕松地獲取和掌握知識．

1.2契合最近發展區理論

根據最近發展區理論，教學應當走在學生現有發展水平的前面.教師為學生提供更高層次的知識，激發學生的發展潛能與“利用高等數學指導中學數學”的觀點相契合.所以，基于學生的認知規律和教學內容特點，中學數學教師應引導學生掌握一些高等數學知識，增加學生的知識儲備.在有了這些同化新知識的上位觀念前提下，再去學習相應的中學數學的內容.這樣能使新知識更為順利地納入到學生原有的認知結構中，從而獲得良好的數學發展．

接下來本文以部分高考試題為例，具體來說明其中體現的高觀點視角．

2高觀點下的極值點偏移問題

極值點偏移問題是2021年新高考后開始成為熱點的題型，各種各樣的模擬卷中也出現了眾多類似題型.但是，有些模擬卷為了追求與眾不同，

創設的問題已經遠離了最原始的形式.那么有沒有能夠解決它的一個“通法”？實際上，通法也僅能判斷極值點偏移的一些充分條件，具體如下．

2.1泰勒公式

若函數f在點x0存在直至n階導數，則有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n），即f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2！ （x-x0）2+…+f（n）（x0）n！ ·（x-x0）n+o（（x-x0）n）．［3］

2.2極值點偏移的一個充分條件

結論：若連續光滑函數f（x）在某段開區間A上只有一個極大值點x=x0，使得在極值點左側單調增加，右側單調減少，且存在x1＜x0＜x2∈A，f（x1）=f（x2）.

（1）如果f（x）的全體奇數階導數在極大值點x0 處非負（但不是全為0，下同），也即f（2k+1）（x0）≥0，k∈N，則恒有x1+x2＞x0.

（2）如果f（x）的全體奇數階導數在極大值點x0 處非正（但不是全為0，下同），也即f（2k+1）（x0）≤0，k∈N，則恒有x1+x2＜x0．

注：如果x0是極小值點，那么結論變號即可，也就是x0是極小值點，若f（2k+1）（x0）≥0，k∈N，則恒有x1+x2＜x0．

證明：考慮G（x）=f（x）-f（2x0-x），在極值點處進行泰勒展開可得

G（x）=2∞k=0f（2k+1）（x0）（2k+1）！（x-x0）2k+1.

若f（2k+1）（x0）≥0，k∈N.取x=x1＜x0.則G（x1）＜0f（x1）＜f（2x0-x1），由于f（x1）=f（x2），那么f（x2）＜f（2x0-x1），又因為2x0-x1=x0+x0-x1＞x0，所以2x0-x1，x2都在x0右側.根據f（x0）在x0右側單調遞減，于是可得x2＞2x0-x1，從而x1+x2＞x0.其他情況同理可證．

2.3標準形式的極值點偏移

例題^^&&（2016年新課標Ⅰ卷）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點．

（1）求a的取值范圍.

（2）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2＜2．

解析：（1）略．

（2）f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）·（ex+2a），由（1）可知a＞0，故x0=1為f（x）的極小值點.f（x0）=（x0+1）ex＞0，…，f（2k+1）（x0）=（x0+2k-1）ex＞0.由上述結論可知，x1+x2＜2．

評析：此題的第（2）問是標準的極值點偏移的常見形式x1+x2＞x0型，處理時只需要精確地求出奇數階導數，并概括總結出其一般形式，并利用上述定理判斷出其正負號即可．

2.4x1x2＞x0形式的極值點偏移

例題已知函數f（x）=lnx+mx-3有兩個零點.

（1）求m的取值范圍.

（2）設a，b為f（x）的兩個零點，證明：ab＞m2．

解析：（1）略．

（2） 兩邊同時取對數即證明lna+lnb＞2lnm.令lnx=t，則x=et.所以f（x）=lnx+mx-3有兩個零點a，bh（t）=t+met-3有兩個零點t1，t2，即證明t1+t2＞2lnm.設t0為h（t）=t+met-3的極值點，因為h′（t）=1-met，則t0=lnm.故h（t）在（0，lnm）單調遞減，在（lnm，+∞）單調遞增，所以t0為h（t）的極小值點.又因為h′（t0）=0，h″′（t0）=-met0＜0，…，h（2k+1）（t0）=（-1）2k+1met0＜0，k∈N.所以由上述結論可知，t1+t2＞2lnm，故ab＞m2得證．

評析：此題的第（2）問是x1x2＞x0型，并不是極值點偏移的標準形式.但是不等號左邊是兩項相乘，不等號右邊是一個平方項，左右兩邊都相當于二次式，處理時只需左右兩邊同時取對數，將其化為極值點偏移的標準形式即可．

2.5變形換元后的形式

例題^^&&

（2021年新高考Ⅰ卷）已知函數f（x）=x·（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調性.

（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna-a·lnb=a-b，證明：2＜1a+1b＜e.

解析：（1）略．

（2）由blna-alnb=a-b，兩邊同時除以ab

得lnaa-lnbb=1b-1a，即lna+1a=lnb+1b，即f1a=f1b.令1a=m，1b=n，即證m+n＞2.

由（1）可知，x0=1為f（x）的極大值點.f（x0）=1x20＞0，…，f（2k+1）（x0）=（2k-1）！1x2k0＞0.由上述結論可知，m+n＞2．

評析：此題的第（2）問也不是標準的極值點偏移的形式，處理時可以觀察已知條件的形式結構，進行恒等變形.這樣就可以化為題目中已給的函數形式，然后換元將其化為極值點偏移的基本形式即可.但是第（2）問在處理右邊這個不等號時用上述的

結論并沒有將其解決，原因在于x=e并不是f（x）的極值點．

3高觀點下的導數證明問題

3.1拉格朗日中值定理

若函數f滿足如下條件：

（1）f在閉區間［a，b］上連續；

（2）f在開區間（a，b）上可導，

則在（a，b）上至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.［3］

3.2利用拉格朗日中值定理證最值

例1^^&&（2009年遼寧高考）已知函數f（x）=12x2-ax+（a-1）lnx，a＞1.

（1） 討論f（x）的單調性.

（2） 證明：若a＜5，則對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有f（x1）-f（x2）x1-x2＞-1.

解析：（1）略.

（2）要證f（x1）-f（x2）x1-x2＞-1，只需證f′（ξ）=ξ-a+a-1ξ＞-1，令g（ξ）=ξ2-（a-1）ξ+（a-1），則Δ=（a-1）2-4（a-1）=（a-1）（a-5），由于1＜a＜5，故Δ＜0，從而g（ξ）＞0恒成立，也即ξ2-aξ+（a-1）＞-ξ，又由拉格朗日中值定理，ξ∈（x1，x2），又因為x1，x2∈（0，+∞），所以ξ＞0，從而ξ2-aξ+（a-1）ξ＞-1，即f′（ξ）＞-1．

評析：這道題的第（2）問，用初等方法構造g（x）=f（x）+x不易想到，而且g（x）導數的放縮也不容易想到.當我們看到要證明f（b）-f（a）b-a＞λ或者f（b）-f（a）b-a＜λ時，要想到拉格朗日中值定理．

例2^^&& 設函數f（x）=ex-e-x．

（1）證明：f′（x）≥2.

（2）證明：對所有x≥0，都有f（x）≥ax，則a的取值范圍為（-∞，2］.

解析：（1）略.

（2）當x=0時，對于任意的實數a，都有f（x）≥ax.當x＞0時，問題轉化為a≤ex-e-xx對所有x＞0恒成立.令G（x）=ex-e-xx-0，由拉格朗日中值定理可知，存在一點ξ∈（0，x），使得f′（ξ）=f（x）-f（0）x-0，即G（x）=f′（ξ）=eξ+e-ξ.由于f″（ξ）=eξ-e-ξ＞f″（0）=0，故f′（ξ）在（0，x）上是增函數.令x→0，得G（x）=f′（ξ）=eξ+e-ξ≥f′（0）=2，所以a的取值范圍為（-∞，2］.

評析：（1）如果用初等方法求解，構造函數g（x）=f（x）-ax，再分a≤2和a＞2討論.其中當a＞2時，又要去解方程g′（x）=0.這樣會有兩個缺點：一是為什么要以a≤2和a＞2討論;二是解方程g′（x）=0較為麻煩.如果用了拉格朗日中值定理求解，可以省去討論，避開麻煩．

（2）當我們用分離參數構造出f（x）x≥a或者f（x）x≤a，如果f（0）=0，那么即證f（x）-f（0）x-0≥a或者f（x）-f（0）x-0≤a，要想到用拉格朗日中值定理．

3.3利用拉格朗日中值定理證明不等式

例題^^&&（2006年四川卷）已知函數f（x）=x2+2x+alnx，f（x）的導函數是f′（x），對任意兩個不相等的正實數x1，x2，證明：當a≤4時，｜f′（x1）-f′（x2）｜＞｜x1-x2｜.

解析：由f（x）=x2+2x+alnx得，f′（x）=2x-2x2+ax.令g（x）=f′（x），由拉格朗日中值定理可得存在ξ∈（x1，x2），有｜g（x1）-g（x2）｜=｜g′（ξ）（x1-x2）｜.下面只需要證明當a≤4時，對任意的ξ＞0，g′（ξ）＞1，即證g′（ξ）=2+4ξ3-aξ2＞1，即證當a≤4時，a＜ξ2+4ξ恒成立.這等價于證明ξ2+4ξ的最小值大于4.因為ξ2+4ξ=ξ2+2ξ+2ξ≥3·

3ξ2·2ξ·2ξ=334，當且僅當ξ=32時等號成立，又因為334＞4，故得證．

評析：這道題用初等方法證明過于冗長，而且技巧性過強，

很多學生想不到.用拉格朗日中值定理思路較為清晰、自然.這體現了高觀點的優越性.無論是做選擇題、填空題看到｜f′（x1）-f′（x2）｜＞｜x1-x2｜，我們應當想到拉格朗日中值定理．

4高觀點下的不等式問題

結論：設A是實對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使得PTAP=B，對應的二次型為f=xTAx，作正交變換x=Py，則有f=yTPT APy=yTBy=λ1y21+λ2y22+…+λny2n，即得到了標準型．［4］

該結論的應用特點是將高中含有交叉項的最一般的二次齊次式化為不含交叉項的二次齊次式.高中最常見的就是n=2時的特例．

例題^^&&（2022年新高考Ⅱ卷）若實數x，y滿足x2+y2-xy=1，則（）.

A. x+y≤1

B. x+y≥-2

C. x2+y2≤2

D. x2+y2≥1

解析：f=x2+y2-xy對應的實對稱矩陣A=1-12

-121，由｜A-λE｜=1-λ-12

-121-λ=14（2λ-1）（2λ-3），得特征值為λ1=12，λ2=32.λ1所對應的單位特征向量為α1=

22，22T，λ2所對應的單位特征向量為α2=（-22，22）T.對應的正交矩陣P=22-22

2222，經過正交變換的標準型為f=12u2+12v2.記原來二次曲線對應的是x-y坐標軸，經過正交變換后的坐標軸為u-v坐標軸.設e1=（1，0），e2=（0，1）為x-y坐標軸下的單位正交向量，則對于u-v坐標軸下的α1，α2則有α1=22e1+22

e2，α2=-22e1+22e2，則e1=22α1-22α2，e2=22α1+22α2，則x-y坐標軸下的點（x，y）與u-v坐標軸下的點（u，v）的關系為x=22u-22v，y=22u+22v.故x2+y2=u2+v2，xy=12（u2-v2），x2+y2-xy=12u2+32v2=1.故x+y=2u∈［-2，2］.故B正確，A錯誤.1=12u2+32v2≥12u2+12v2.從而u2+v2≤2.故C正確D錯誤．

綜上所述，選擇答案BC.

評析：對于一般含有交叉項的二次式的處理難點就在于交叉項，一般是通過把交叉項拿出來然后利用基本不等式.實際上對于含交叉項的問題可以通過正交變換將交叉項這個困難去掉，達到化繁為簡的目的．

5教學思考與建議

5.1將高觀點逐步滲透課堂

教師要以高等數學的視角看待中學數學，兼顧理論與實踐，從教與學兩個角度研究中學數學教材.教師應有效地運用數學史、數學定理、數學文化及多種教學手段和方法，達到課程的教學目標，并做到與課程思政相結合，真正做到以學生為中心，將高等數學的知識融會貫通到課堂教學中去，提高學生的思維能力和對數學的興趣．

5.2教師應該提升自己的專業修養

中學一線教師已經闊別高校多年，對一些大學的知識有所遺忘.但是隨著新課改的提出，對教師專業性也有所要求，如果沒有知識的理論支撐，教師很難完成日常的教育教學工作.現如今的教材上都會涉及一些問題探討，很多都與高等數學有關.因此，教師應該秉持著終身學習的理念，重溫大學的基礎教材，提升自己的專業修養.當教師有足夠的高觀點后，可以在一些學習中逐步引導學生.例如，當學完周期函數后可以問學生這樣一個問題，任何周期函數都有最小正周期嗎？學生可能一時想不到，但是教師可以用在函數的概念那一節中舉過的狄利克雷函數引導學生進行思考．

5.3教學中應教會學生最基本的原理

美國心理學家布魯納（J.S.Bruner）主張教學的最終目的在于促使學生理解學科的基本結構即該學科的一般的、基本的原理.布魯納相信“把一件件事情放進構造得好的模型里面”會有利于記憶.教師在教育教學過程中應該教會學生數學的本質，將數學知識“抽絲剝繭”．

5.4拓展一些校本課程

學校可以開展一些相關課程，按照課標分類的高中數學模塊將高等數學知識進行組塊，從而進行大單元教學，培養學生的數學思維．

參考文獻

［1］菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學（第一卷）算術 代數 分析［M］.上海：復旦大學出版社，2017．

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017 年版 2020 年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［3］華東師范大學數學科學學院.數學分析.上冊［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2010．

［4］張賢科，許甫華.高等代數學［M］.北京：清華大學出版社，2004.