基于除法運算法則的小學數(shù)學教學方式研究

摘" 要：除法運算法則的教學是小學數(shù)學的一大難點.現(xiàn)有小學數(shù)學教材呈現(xiàn)的是基于畫圖說明與文字說明歸納得出除法運算法則的合情推理教學方式.《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出了通過邏輯說理，推理得出除法運算法則的演繹推理教學方式.

本文以此作為研究問題，通過教學實驗研究合情推理與演繹推理兩種不同教學方式下學生學習除法運算法則的成效，進而探討學生更易接受的除法運算法則教學方式.

關鍵詞：除法運算法則；合情推理；演繹推理；實驗研究

本文以除法運算法則為主題，探究合情推理與演繹推理兩種不同教學方式下，何種教學方式學生更易接受，以期在教學過程中可以用最佳教學方式幫助學生理解除法運算法則，以提高學生對除法運算法則算法的應用程度，深化學生對除法運算法則算理的理解，進而提升學生的運算能力.

1" 以合情推理教學方式為主，以演繹推理教學方式為輔

合情推理教學方式是指利用畫圖說明、文字說明歸納得出除法運算法則的教學方式.演繹推理教學方式是指在畫圖說明、文字說明基礎之上利用邏輯說理推理得出除法運算法則的教學方式.實驗研究表明，學生易于接受以畫圖說明與文字說明的方式歸納得出除法運算法則的合情推理教學方式，不易接受在此基礎上

利用邏輯說理推理得出除法運算法則的演繹推理教學方式.六年級的學生處于具體運算階段，他們的思維以具體形象思維為主，認知仍然要借助直觀感知，邏輯思維能力相對較弱.因此，在教學過程中，教師應以合情推理教學方式為主.除此之外，實驗研究顯示，有少部分學習能力較強的學生可以接受演繹推理教學方式.［1］

因此，在教學過程中，教師可以嘗試以演繹推理作為輔助的教學方式.這種以合情推理為主、演繹推理為輔的教學方式，不僅可以讓學習吃力的學生跟得上，讓學習中等的學生學得好，還可以讓學有余力的學生得到更高層次的發(fā)展.

第一，以合情推理教學方式為主.在除法運算法則教學過程中，

教師應

遵循“觀察—猜想—驗證—結論”這一教學流程.首先，觀察階段.教師根據(jù)數(shù)學情境及問題，引導學生利用畫圖說明與文字說明的方式得出除法算式，如“1÷2=1×12”“2÷3=2×13”.其次，猜想階段.

教師根據(jù)除法算式，引導學生仔細觀察這兩個算式的計算過程并思考有什么發(fā)現(xiàn)

.再次，驗證階段.教師呈現(xiàn)類似例題，引導學生先根據(jù)猜想得出結果，再通過畫圖說明

與文字說明的方式

驗證結果是否正確.最后，結論階段.教師引導學生反思學習過程，總結歸納得到除法運算法則，即被除數(shù)除以除數(shù)（0除外），等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù).

第二，以演繹推理教學方式為輔.在除法運算法則教學過程中，教師可以以“推一推”的演繹推理教學方式輔助教學.例如，在“2÷3=23”教學時，教師在學生通過畫圖說明與文字說明的方式理解列式計算結果后，告知學生還有一種“推一推”的方式可以理解算理.教師在呈現(xiàn)推理過程時，向?qū)W生說明每一步所依據(jù)的定義、公理、定理等數(shù)學基本事實，具體過程如下：①設2÷3=x；②根據(jù)除法是乘法的逆運算，得x×3=2；③根據(jù)等式的基本性質(zhì)，得x×3×13=2×13；④根據(jù)分數(shù)乘法相關知識，得x=2×13，即2÷3=2×13=23；⑤用字母表示除法運算法則，得a÷b=a×1b=ab.

2" 以畫圖說明為主，文字說明為輔，邏輯說理為拓展

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾（H. Freudenthal）認為，只有用邏輯關系建立結構，它才成為數(shù)學，這個過程就是數(shù)學化.然而，這種數(shù)學化在實際教學中應該從何時開始，進行到何種程度，是

教師所關注的問題.學生抽象思維尚且薄弱，知識儲備不夠豐富，能力水平參差不齊，是否適合“數(shù)學化”教學，是本研究關注的重點.實驗研究表明，學生在列式計算、畫圖說明、文字說明上均表現(xiàn)較好，在邏輯說理上表現(xiàn)較差，甚至在邏輯說理每一步的理解上也存在很大的問題.因此，六年級學生的現(xiàn)有水平不足以支撐學生理解邏輯說理方式.［2］另外，實驗結果還顯示，學生認為除法運算法則理解方式由易到難排序為畫圖說明、文字說明、邏輯說理，其中學生更傾向于利用畫圖說明與文字說明的方式解釋列式計算結果，僅有少部分學習能力較強的學生可以接受邏輯說理理解方式.當然，這種基于邏輯說理的演繹推理教學方式也是在初中階段才正式開始，小學即使接觸也很少.通過研究可以證明借助畫圖說明與文字說明的方式理解列式計算結果是學生現(xiàn)階段的理解需求.因此，對于除法運算法則這一主題，教師不可提出過高的理解要求，要根據(jù)學生的現(xiàn)有水平和理解需求制定符合學生實際的教學目標，一部分學生能夠結合具體例題或模型運用畫圖說明、文字說明的方式理解除法運算法則；另一部分學生能夠運用其他理解方式理解除法運算法則.基于此，在除法運算法則教學過程中，教師可以運用以畫圖說明為主，文字說明為輔，邏輯說理作為拓展的教學方式.

第一，以畫圖說明為主.史寧中教授提出，數(shù)學的結論是“看”出來的，不是“證”出來的.這依賴的就是數(shù)學直觀.實驗結果同樣表明學生認為畫圖說明這種直觀方式最容易理解.因此，在教學過程中，教師應以畫圖說明為主，根據(jù)學生的興趣特點，積極采用直觀表征的方式，如實物、圖象或者示意圖，將復雜的數(shù)學問題以簡潔明了的形式呈現(xiàn)，使其更易于理解，幫助學生在探究新知時獲得更豐富的直觀感受，從而達到更好的學習效果.同時，在實驗實施過程中，還發(fā)現(xiàn)學生在畫圖說明方面容易出現(xiàn)平均分錯誤、單位“1”錯誤，教師在教學時可將這些典型錯誤以樣例的形式呈現(xiàn)給學生，引導學生自主分析其中出現(xiàn)錯誤的類型及原因，進而降低錯誤率.此外，教師也可以讓學生準備錯題收集本，對典型的錯誤樣例加以記錄，通過整理與反思，加深理解與記憶.

第二，以文字說明為輔.語言是思維的載體，學生在反復“講道理”的過程中，就能逐漸理解算理.實驗結果顯示，學生文字說明掌握情況較好，但描述不全面.六年級的學生正處于具體運算階段到形式運算階段的過渡時期，不能考慮全面是這一階段學生的共性.［3］因此，在教學過程中，教師應該以文字說明為輔，給學生提供更多的文字表達機會，并給予學生反饋與指導，糾正學生在描述中的不足之處，鍛煉學生的抽象思維能力.例如，在講解試題“把5塊餅平均分給3個小朋友，每人分得多少塊”時，首先，教師讓學生自行描述解題思路；其次，教師給予學生反饋與指導，向?qū)W生強調(diào)完整的描述應該是“把1塊餅看作單位‘1’，平均分成3份，每人分得13塊，5塊餅就是5個13塊，即53塊”，指導重點是單位“1”、平均分、結果如何得出；最后，教師讓學生再次完整描述答題思路.

第三，以邏輯說理作為拓展.實驗研究表明，只有少部分學生可以完全理解邏輯說理過程，大部分學生在“除法是乘法的逆運算”“等式的基本性質(zhì)”“等量的等量相等”這幾步的理解上都存在較大的問題，故邏輯說理并非為全體學生所接受.因此，邏輯說理理解方式作為拓展教學內(nèi)容展開最佳.在引導學生進行演繹推理的過程中，教師要幫助學生養(yǎng)成“言而有據(jù)，行必有依”的習慣，引導學生思考每一步的緣由，幫助學生在寫出每一步的同時，明確每一步所依據(jù)的定義、性質(zhì)、原理，真正理解為什么推理，“知其然而知其所以然”.當然，在教學中以邏輯說理作為拓展內(nèi)容展開，并不是過分強求學生能夠掌握邏輯說理這一推理過程，更多的是以培養(yǎng)學生數(shù)學思維與推理意識為出發(fā)點，促進學生更好地發(fā)展.

3" 借助“整數(shù)除法與分數(shù)的關系”體現(xiàn)除法運算法則的一致性

根據(jù)已有研究，筆者發(fā)現(xiàn)除法運算具有一致的運算法則，即被除數(shù)除以除數(shù)（0除外），等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù).本文基于運算的一致性設計了一節(jié)“除法運算法則”教學，通過實驗研究結果，發(fā)現(xiàn)學生在整數(shù)除法與分數(shù)除法這兩類題目上均有較好的表現(xiàn)，這說明學生可以接受一致的除法運算法則，側面證明了在小學數(shù)學中實施運算一致性的教學是可行的.因此，在分數(shù)除法正式教學之前教師可以設置一節(jié)整數(shù)除法課程教授除法運算法則，

幫助學生厘清整數(shù)除法與分數(shù)的關系，實現(xiàn)運算一致性的教學.作為一名小學數(shù)學教師不僅要扎實教學，更應該積極研學，在“用教材教”的過程中思考、創(chuàng)新.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》首次提出“一致性”的概念，這是教師努力的新方向.“整數(shù)除法與分數(shù)的關系”這部分內(nèi)容可作為一個契機，教師通過幫助學生厘清“除法作為運算”與“分數(shù)作為數(shù)”之間存在的轉(zhuǎn)化關系，從整數(shù)除法過渡到分數(shù)除法再過渡到小數(shù)除法，讓學生明白整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)除法運算存在一致的運算法則，實現(xiàn)除法運算的一致性教學.教材中“分數(shù)與除法的關系”僅僅呈現(xiàn)了被除數(shù)相當于分數(shù)的分子，除數(shù)相當于分數(shù)的分母這一表面關系，并未呈現(xiàn)其內(nèi)在轉(zhuǎn)化過程.本文將“除法運算法則”教學內(nèi)容置于“分數(shù)乘法”教學之后、“分數(shù)除法”教學之前.首先，教師通過結果是整數(shù)的問題引入，幫助學生理解除法運算的意義，列出除法算式，如“1÷2”和“2÷3”；其次，教師由結果是有限小數(shù)到結果不是有限小數(shù)，讓學生借助畫圖與文字說明理解問題結果，得出除法算式，如“1÷2=1×12”和“2÷3=2×13”；最后，教師引導學生聯(lián)系舊知識，溝通除法與分數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，總結除法運算法則，即“a÷b=a×1b=ab”.此課時的教學，不僅幫助學生明白了為什么整數(shù)除法作為運算與分數(shù)作為數(shù)存在關系，而且得到了一致性的除法運算法則.本次教學得到了可觀的效果，故在未來教學中，教師可以此為參考，加以改進，貫通整數(shù)與分數(shù)教學，從只適用于分數(shù)除法的運算法則拓寬至有理數(shù)除法運算法則，進而實現(xiàn)算理貫通、理法互融.另外，為加深學生對除法運算法則一致性的理解，教師可以提供多樣化的聯(lián)系，讓學生在不同情境中運用相同的運算法則，如請學生運用統(tǒng)一的運算法則求解“8÷4”“8÷12”“8÷0.5”.

4" 厘清除法運算法則算理與算法的關系

算理是算法的基礎，算法是算理的具體表現(xiàn)，算理和算法是數(shù)學中不可或缺的兩個概念，它們相互依存、相互促進.列式計算反映的是學生對除法運算法則算法的掌握情況，畫圖說明、文字說明、邏輯說理反映的是學生對除法運算法則算理的掌握情況.在教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生在畫圖說明、文字說明、邏輯說理上均存在因果倒置現(xiàn)象，部分學生以結論代替原因，把除法運算法則算法當作已知結論，以列式計算的結果去畫圖、去用文字解釋、去推理，卻并不知道教師畫圖說明、文字說明、邏輯說理等算理內(nèi)容的呈現(xiàn)，其實就是為了得出除法運算法則.算理決定算法，因此，在教學過程中，教師應向?qū)W生解釋為什么畫圖說明，為什么文字說明，為什么邏輯說理，不能讓學生云里霧里地學習，僅僅將畫圖說明、文字說明、邏輯說理等算理理解方式當作一道無關緊要的題目，要幫助學生厘清除法運算法則算理與算法之間的關系，在理解算理的情況下記憶算法，做到“知其然又知其所以然”.

5" 結語

本文以“除法運算法則”為主題，對合情推理與演繹推理兩種不同教學方式展開對比實驗，探究適合學生的最佳教學方式，并提出除法運算法則的教學建議.同時，本文得出的研究結論與以往研究有所不同，其有利于完善除法運算法則相關研究，豐富除法運算法則研究內(nèi)容，為除法運算法則相關的后續(xù)研究提供理論依據(jù).

參考文獻

［1］ 甄懷智.問題式教學法在小學數(shù)學除法教學中的應用策略探究［J］.數(shù)學學習與研究，2024（10）：128-130.

［2］ 白少榮.小學數(shù)學結構化教學策略研究——以“小數(shù)除法”計算教學為例［J］.天津教育，2024（10）：56-57.

［3］邵漢民，陳芳，何雪君.“小學數(shù)學教師·新探索”最新推出——小學數(shù)學整體設計的思與行——小學除法教學［J］.小學數(shù)學教師，2023（11）：89.