數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘" 要：數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.為落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、考試命題以及多元評(píng)價(jià)等的要求，教師應(yīng)當(dāng)扎實(shí)地掌握數(shù)形結(jié)合思想.

本文通過(guò)具體案例分析了數(shù)形結(jié)合思想在不同的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用，旨在提升教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用研究

項(xiàng)目基金：2023年貴州省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合序列性教學(xué)提升學(xué)生素養(yǎng)的應(yīng)用實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2023A037）.

數(shù)形結(jié)合思想的研究對(duì)小學(xué)階段的“教”與“學(xué)”都有非常大的價(jià)值.數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念、邏輯關(guān)系、數(shù)量關(guān)系等“看不見(jiàn)的東西”，通過(guò)形象的數(shù)軸圖、線段圖、表格等“看得見(jiàn)的形式”表達(dá)出來(lái)，幫助學(xué)生直觀地審視數(shù)學(xué)中的邏輯關(guān)系，將內(nèi)隱的思維外顯化，從而更好地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性.

1" 在概念課中“以形助數(shù)”，讓思維可視

數(shù)學(xué)的概念、公式、定理、法則等都是顯而易見(jiàn)地出現(xiàn)在教材的編排里，是“有形”的，是看得到的，而數(shù)形結(jié)合思想?yún)s是隱藏在這些知識(shí)背后的，是“無(wú)形”的.這就需要教師挖掘知識(shí)背后的思想，使它們顯性化，并有效地滲透到教學(xué)當(dāng)中.［1］小學(xué)生以具體形象思維為主.如果教師直接展示抽象的概念，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難以把握其內(nèi)涵，而借助數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學(xué)生撥開(kāi)迷霧，獲得真知.以下是北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)》中“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（一）”概念課的教學(xué)案例.

1.1" 教材分析

學(xué)生已經(jīng)在三年級(jí)時(shí)借助直觀模型初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù).因此，本節(jié)學(xué)習(xí)以此為依據(jù)，把對(duì)分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)知提升到理性認(rèn)識(shí)的高度，并重新概括分?jǐn)?shù)意義，使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)部分與整體的關(guān)系.

1.2" 教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生經(jīng)歷概括分?jǐn)?shù)意義的過(guò)程，理解分?jǐn)?shù)表示多少的相對(duì)性.

（2）學(xué)生在畫圖、比較、分類的過(guò)程中，理解分?jǐn)?shù)的意義，感悟數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應(yīng)用.

（3）學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)展數(shù)感，體會(huì)分?jǐn)?shù)與生活的密切聯(lián)系.

1.3nbsp; 教學(xué)過(guò)程

教學(xué)片段1：理解分?jǐn)?shù)意義.

師：34能表示什么？請(qǐng)你們動(dòng)手畫一畫.

學(xué)生畫圖表示34，并與小組的同學(xué)分享所畫的34，探究自己與同伴畫的有什么不同.

教師展示學(xué)生作品，引導(dǎo)學(xué)生思考這些作品是否都可以用34來(lái)表示，并對(duì)作品進(jìn)行分類.教師還可以引導(dǎo)學(xué)生按整體“1”是一個(gè)物體、多個(gè)物體、多組物體進(jìn)行分類.學(xué)生作品分類如圖1所示.

圖1

教師詢問(wèn)學(xué)生如下問(wèn)題.

（1）“一個(gè)物體”“多個(gè)物體”“多組物體”具體指什么？34表示什么？

（2）為什么第一類連一個(gè)都不到，第二類有三個(gè)，第三類有好幾個(gè)，都能用34來(lái)表示？

教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，即把一個(gè)整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份，可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示.

師：剛才我們通過(guò)畫圖來(lái)分析問(wèn)題的方法在數(shù)學(xué)上稱為數(shù)形結(jié)合思想.這是重要的數(shù)學(xué)思想，它可以幫助我們直觀地分析問(wèn)題，解決問(wèn)題.

教師在教學(xué)過(guò)程中突出數(shù)形結(jié)合思想在分析解決問(wèn)題中的指導(dǎo)作用，及時(shí)的歸納和小結(jié)有利于學(xué)生主動(dòng)遷移、運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

教學(xué)片段2：探究分?jǐn)?shù)部分和整體的關(guān)系.

（1）分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的部分量相同，整體量也相同.

師：一個(gè)圖形的14是兩個(gè)正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形.

學(xué)生獨(dú)自畫出符合條件的圖形，并

在小組內(nèi)交流所畫的圖形.

教師展示學(xué)生畫的典型作品，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中歸納、總結(jié)出結(jié)論，即分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的部分量相同，整體量也相同.學(xué)生作品如圖2所示.

圖2

（2）分?jǐn)?shù)相同，整體量不同，部分量也不同.

師：拿出你們所有鉛筆的12，與同伴交流，你們所拿出的12有什么不同？

小結(jié)：分?jǐn)?shù)相同，分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的整體量不同，部分量也不同.

教師通過(guò)兩個(gè)活動(dòng)對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”進(jìn)行進(jìn)一步的探究，在畫一畫、擺一擺、比一比的過(guò)程中加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，發(fā)展其逆向思維.

在三年級(jí)時(shí)，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，知道可以將一個(gè)物體或圖形看作整體來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù).五年級(jí)時(shí)，學(xué)生再次學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，整體“1”被賦予了更多的意義，即不僅可以表示一個(gè)物體，還能表示多個(gè)物體、多組物體，這體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)表示多少的相對(duì)性.這些概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象、難以理解，所以教師在這個(gè)過(guò)程中，為學(xué)生提供了探索活動(dòng)的空間.［2］借助數(shù)形結(jié)合思想，建立數(shù)與形的聯(lián)系，不僅符合學(xué)生形象思維的認(rèn)知發(fā)展特征，還能讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中將所學(xué)內(nèi)容變得直觀化、可視化，從而更好地理解分?jǐn)?shù)的意義以及部分和整體的關(guān)系，培養(yǎng)他們敏銳的洞察力.

2" 在計(jì)算課中“以形助數(shù)”，讓算理可視

在義務(wù)教育階段，計(jì)算的重要性是不言而喻的.在小學(xué)階段，學(xué)生需要系統(tǒng)學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的加減乘除運(yùn)算.由于認(rèn)知水平有限，抽象的計(jì)算對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度.很多學(xué)生通過(guò)機(jī)械記憶記住了計(jì)算的公式，但是問(wèn)這么計(jì)算的原因是什么，很多學(xué)生說(shuō)不出來(lái).教師將數(shù)與形相互結(jié)合，利用點(diǎn)子圖、面積模型等幫助學(xué)生理解知識(shí)，有助于學(xué)生在直觀中明晰算理，內(nèi)化知識(shí).以下是北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)》中“誰(shuí)打電話的時(shí)間長(zhǎng)”計(jì)算課的教學(xué)案例.

2.1" 教材分析

本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.教材利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，借助元、角、分以及商不變的規(guī)律等舊知識(shí)來(lái)搭建新知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的遷移.教材還利用了面積模型來(lái)輔助學(xué)生理解小數(shù)除法背后的算理.

2.2" 教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，探索除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的計(jì)算方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想.

（2）學(xué)生能正確進(jìn)行除數(shù)是小數(shù)除法的豎式計(jì)算，在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中理解算理.

（3）學(xué)生結(jié)合具體情境，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

2.3" 教學(xué)過(guò)程

教學(xué)片段：掌握除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的算理和算法.

在學(xué)生通過(guò)商不變的規(guī)律和元、角、分單位換算的方法探索出除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算方法后，教師出示教材例題.學(xué)生在獨(dú)自思考、作答的基礎(chǔ)上，先小組交流，再全班討論.

全班交流時(shí)，教師重點(diǎn)詢問(wèn)以下問(wèn)題.在面積模型的過(guò)程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？面積模型和豎式計(jì)算有什么關(guān)系？教師讓學(xué)生上臺(tái)展示面積模型和豎式計(jì)算.

生：5.1里有51個(gè)0.1，0.3里有3個(gè)0.1，51÷3=17，所以5.1里包含了17個(gè)0.3.

師：其實(shí)采用面積模型來(lái)幫助我們理解的方法在數(shù)學(xué)上稱為數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，使用數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助我們直觀地思考問(wèn)題.

在思考交流的過(guò)程中，教師通過(guò)建立不同算法之間的聯(lián)系，即將除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)算能力，增強(qiáng)了學(xué)生的推理意識(shí).在這個(gè)過(guò)程中，教師突出了數(shù)形結(jié)合思想在解題時(shí)的指導(dǎo)作用，并且讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過(guò)程.

多元表征可以促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，也就是說(shuō)，學(xué)生在遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)表征將問(wèn)題表示出來(lái)，從而解決問(wèn)題、理解知識(shí).多種表征整合后的知識(shí)比單一表征的知識(shí)更容易促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題解決.在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)有了除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法是本單元的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究，利用元、角、分的關(guān)系、商不變的規(guī)律以及數(shù)形結(jié)合思想理解、遷移、運(yùn)用算理.學(xué)生在圈一圈、畫一畫的過(guò)程中，將直觀圖與豎式計(jì)算進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而明白除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法為什么可以轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算的原因.

3" 在幾何課中“以數(shù)解形”，讓規(guī)律可視

在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中，幾何相關(guān)內(nèi)容所占比重高達(dá)43%，可見(jiàn)圖形與幾何在義務(wù)教育課程中的重要性和地位.［3］在這個(gè)領(lǐng)域中，教師可以應(yīng)用“以數(shù)解形”，使解題過(guò)程清晰，讓規(guī)律可視，讓學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中擺事實(shí)、講道理，發(fā)展推理意識(shí).以下是北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)》中“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)案例.

3.1" 教材分析

本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的基礎(chǔ)開(kāi)展的.教材從學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以一個(gè)有趣的問(wèn)題引入主題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)量一量、拼一拼、撕一撕、算一算等多種方法來(lái)驗(yàn)證三角形內(nèi)角和等于180°.

3.2" 教學(xué)目標(biāo)

（1）學(xué)生在量、拼、撕、算的過(guò)程中，探索并驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和等于180°.

（2）學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)探究新知識(shí)的方法，初步了解轉(zhuǎn)化的思想.

（3）學(xué)生在探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考和探究的樂(lè)趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

3.3" 教學(xué)過(guò)程

教學(xué)片段1：探索三角形內(nèi)角和.

教師讓學(xué)生經(jīng)歷“猜測(cè)—驗(yàn)證—結(jié)論”的過(guò)程.具體過(guò)程如下.

（1）猜測(cè).請(qǐng)你根據(jù)我們剛才的動(dòng)畫演示大膽地猜一猜三角形的內(nèi)角和是多少度.

（2）驗(yàn)證.用課前準(zhǔn)備好的學(xué)具包驗(yàn)證你們的猜想.先獨(dú)立思考，再小組討論，最后全班匯報(bào).檢驗(yàn)方法如下.

方法一：量一量.用量角器量出每個(gè)角的度數(shù)，再相加，得知三角形內(nèi)角和是180°.（以數(shù)解形）

方法二：撕一撕.將三角形的三個(gè)角撕下來(lái)進(jìn)行拼湊，可以湊成一個(gè)平角.

方法三：算一算.通過(guò)推理證明三角形內(nèi)角和是180°.推理過(guò)程如圖3所示.（以數(shù)解形）

圖3

（3）結(jié)論.三角形的內(nèi)角和是180°.其實(shí)剛才的推理方法在數(shù)學(xué)上被稱為“以數(shù)解形”，用數(shù)的精確來(lái)幫助我們推理形的規(guī)律，從而探索出三角形的內(nèi)角和.

學(xué)生通過(guò)剪、拼、折、算等活動(dòng)探索驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的方法，經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證、結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展了推理意識(shí)，并在這個(gè)過(guò)程中感受到以數(shù)解形.

教學(xué)片段2：拓展練習(xí).

我們已經(jīng)知道了三角形內(nèi)角和是180° ，那其他圖形的內(nèi)角和呢？如四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和又是多少度？

本節(jié)課在學(xué)生拼、撕、量的過(guò)程中，發(fā)展了學(xué)生的形象思維；在學(xué)生推理論證的過(guò)程中，發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維；在拓展應(yīng)用環(huán)節(jié)，發(fā)展了學(xué)生的優(yōu)化思維和創(chuàng)造性思維；在猜想、驗(yàn)證、結(jié)論、應(yīng)用的過(guò)程中，學(xué)生的推理意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)都得到一定程度的發(fā)展.

4" 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)上文的三個(gè)課堂案例分析可以發(fā)現(xiàn)，教師在總結(jié)歸納本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，也較為注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的總結(jié)和提煉，這為學(xué)生理解并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想奠定了一定基礎(chǔ).小學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)與抽象數(shù)字、概念之間的矛盾決定了教師在課堂中需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)搭建直觀與抽象之間的橋梁.教師在概念課中“以形助數(shù)”，可以幫助學(xué)生明晰概念，深化認(rèn)識(shí)；在計(jì)算課中“以形助數(shù)”，可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)抽象的數(shù)字背后所蘊(yùn)含的意義，從而建立和發(fā)展數(shù)感；在幾何課中“以數(shù)解形”，可以幫助學(xué)生用數(shù)的精確推導(dǎo)出形的規(guī)律，提高解題的準(zhǔn)確性和科學(xué)性.通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，數(shù)量的精確刻畫與空間形式的形象直觀優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)、相輔相成、相得益彰，讓數(shù)學(xué)獲得了更加生動(dòng)的解釋，問(wèn)題得到了更加合理的解決.

本文將視角聚焦于小學(xué)高年級(jí)，一方面是考慮到學(xué)生的思維發(fā)展，另一方面考慮到高年級(jí)數(shù)學(xué)教材中抽象概念的增多，課程和知識(shí)難度的增大.數(shù)形結(jié)合思想在幫助學(xué)生理解概念、厘清題目邏輯關(guān)系等方面的優(yōu)勢(shì)被最大程度地凸顯出來(lái).學(xué)生可以通過(guò)“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”的相互轉(zhuǎn)化，去適應(yīng)高年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的復(fù)雜性和多樣性.

參考文獻(xiàn)

［1］劉芝勝.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.理科愛(ài)好者，2024（3）：163-165.

［2］周旭姣.核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透與應(yīng)用研究［J］.課堂內(nèi)外（高中版），2024（23）：88-89.

［3］吳秋燕.基于數(shù)形結(jié)合思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究［J］.教育觀察，2024（14）：89-92.