基于FFT與Transformer算法的混合期權(quán)定價模型研究

摘 要：為解決經(jīng)典期權(quán)定價模型與實際價格數(shù)據(jù)偏差較大的問題，選取BS期權(quán)定價模型，采用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）結(jié)合Transformer多頭注意力機制深度學(xué)習(xí)算法，對上證300ETF期權(quán)與上海期貨交易所黃金期權(quán)數(shù)據(jù)進行實證研究，通過改進的Transformer算法對基于FFT算法的期權(quán)定價模型與實際金融市場期權(quán)價格數(shù)據(jù)之間的殘差值進行二次訓(xùn)練。結(jié)果表明，與其他算法（BS、FFT-BS）及其他混合算法（FFT-BS+ARIMA、FFT-BS+LSTM）模型相比，基于FFT-BS+Transformer的算法在R2、MSE、NRMSE以及MAE等統(tǒng)計指標(biāo)上均有很好的表現(xiàn)，且針對不同波動、不同品種的期權(quán)，該混合算法模型均取得了較好的結(jié)果。將改進后的Transformer算法應(yīng)用到期權(quán)定價中，可彌補經(jīng)典期權(quán)定價模型的不足，提供了更加精確的期權(quán)定價模型。

關(guān)鍵詞：計算機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；金融市場；期權(quán)定價；深度學(xué)習(xí)；混合模型；多頭注意力機制

中圖分類號：F830.91

文獻標(biāo)識碼：A

DOI：10.7535/hbkd.2024yx05011

Research on hybrid option pricing model based on

FFT and Transformer algorithm

WEN Wei1，F(xiàn)U Zhiyuan2，ZHANG Yanhui2

（1. School of Economics，Beijing Technology and Business University，Beijing 100048，China；

2. School of Mathematics and Statistics，Beijing Technology and Business University，Beijing 100048，China）

Abstract：In order to solve the problem of the large deviation between the classical option pricing model and the actual price data， based on the BS option pricing model， the Fast Fourier Transform （FFT） combined with the Transformer's multi-head attention mechanism of deep learning algorithm was used to conductthe empirical research on the 300ETF options and Shanghai gold options data. The model was quaeMzbpPpYYZrWjqWjA+zzOGh05mYQsWit5R+XnOHTAVM=dratically trained by the improved Transformer algorithm on the residual values between the option pricing model based on the FFT algorithm and the option price data of the actual financial market. The results show that compared with other algorithms （BS model， FFT-BS model） and other hybrid algorithm models （FFT-BS+ARIMA model， FFT-BS+LSTM model）， the proposed model has a good performance in the statistical indexes such as R2， MSE， NRMSE and MAE， and the hybrid algorithm model achieves a better perf_{lcZKirmhzEy1WXtphXnY6GaS0SAfmljVQTtxYNJJQds=}ormance for different volatilitiesand different varieties of options. The study innovatively applies the improved Transformer algorithm to option pricing， which compensates for the shortcomings of the classical option pricing model and provides a more accurate option pricing model.

Keywords：computer neural network; financial market; option pricing; deep learning; hybrid model; multi-head attention mechanism

中國金融產(chǎn)品發(fā)展相對較晚，金融工具創(chuàng)新不足，衍生產(chǎn)品不全，行業(yè)對外開放程度也不高。隨著金融市場改革進程的加快，在經(jīng)濟“新常態(tài)”的要求下，金融行業(yè)的發(fā)展尤其是衍生品的快速發(fā)展迫在眉睫。期權(quán)定價一直是衍生品的核心研究問題之一。自Black-Scholes-Merton模型[1]問世以來，期權(quán)定價問題廣受關(guān)注，相關(guān)模型得到持續(xù)改進[2-4]。

Lévy過程的引入，準(zhǔn)確地描述了資產(chǎn)波動情況[5]，有效反映了資產(chǎn)價格服從非高斯分布及跳躍行為[6]。在期權(quán)定價數(shù)值計算方面，目前使用較多的方法有二叉樹法[7]、有限差分法[8]和快速傅里葉變換法（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）[4]。CARR等［8］使用FFT提高了計算速度和逼近精度，對任何特征函數(shù)，得到一個簡單的解析表達式，利用FFT對期權(quán)價格或其時間價值進行數(shù)值求解。該方法后續(xù)被廣泛應(yīng)用于各類復(fù)雜期權(quán)定價模型計算，隨后又出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換求解期權(quán)模型［9］，效率更快。

近年來深度學(xué)習(xí)等算法的出現(xiàn)為傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型提供了新思路[10-13]。深度學(xué)習(xí)模型框架Transformer摒棄了遞歸（RNN）和卷積（CNN），完全基于Attention多頭注意力機制，有效處理時序數(shù)據(jù)，如自然語言、圖像、視頻等[14]。現(xiàn)在流行的Bert模型和GPT模型均使用了Transformer的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其中使用雙向Transformer編碼器預(yù)訓(xùn)練大規(guī)模的文本語料，被廣泛應(yīng)用于文本分類、命名實體識別、系統(tǒng)問答等[15]；GPT使用了單向Transformer編碼器生成文本，用于文本摘要、對話生成等任務(wù)[15]。但這些算法以及深度學(xué)習(xí)模型單一使用時均出現(xiàn)局限性。例如：金融市場存在交易博弈，基于無風(fēng)險套利原理的傳統(tǒng)期權(quán)定價模型對于實際金融市場期權(quán)數(shù)據(jù)的預(yù)測精度有待提高；深度學(xué)習(xí)模型往往只能描述數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，對于數(shù)據(jù)之外客觀事實影響因素的分析并不理想。另外，如果只通過單一的機器學(xué)習(xí)方法或深度學(xué)習(xí)方法對價格數(shù)據(jù)進行時序預(yù)測，其結(jié)果往往不具有較強的解釋性和穩(wěn)定性。為此，有的科研人員引入混合期權(quán)定價模型進行實證研究，對芝加哥交易所和美國期權(quán)交易所內(nèi)多個期權(quán)品種進行對比驗證，結(jié)果表明混合期權(quán)定價模型能有效解釋偏差，估值比較準(zhǔn)確[16]；有的使用期權(quán)定價模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建混合模型，分別在悉尼期貨交易所和中國期權(quán)市場進行實證研究[17-19]；有的使用小波網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法對中國香港期權(quán)建模[20-21]；還有的通過深度學(xué)習(xí)模型優(yōu)化期權(quán)定價模型計算方法[22]。

本文假設(shè)資產(chǎn)價格過程服從幾何布朗運動，僅討論歐式看漲期權(quán)的合約定價，不考慮期權(quán)交易成本，歐式看漲期權(quán)多頭收益為max

{ST-K，0}，其特征函數(shù)如式（1）所示。從算法設(shè)計入手，介紹基于FFT的期權(quán)定價模型以及改進的Transformer網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)建FFT-BS-Transformer混合模型，給出相應(yīng)模型輸入與輸出過程數(shù)據(jù)的處理方案，并針對中國國內(nèi)金融和商品期權(quán)進行實證對比分析。

ΦT（u）=eiu（ln S0+（r-σ22）T）-σ2u22T。

（1）

1 算法設(shè)計

1.1 基于FFT的期權(quán)定價模型（FFT-BS模型）

在BS模型中，假定資產(chǎn)價格St服從幾何布朗運動，根據(jù)ROSS[23]和COX等[24]的理論，在T時刻的歐式看漲期權(quán)價格，等價于計算資產(chǎn)在風(fēng)險中性測度Q下的貼現(xiàn)期望，即

V（St，K，T）=e-r（T-t）EQ［W（ST）］， W（ST）=max{ST-K，0}=（ST-K）+ 。（2）

式中：V（St，K，T）為期權(quán)價格；r為無風(fēng)險利率。用CT代替式（2）中的V（St，K，T），

CT（K）=e-r（T-t）EQ［W（ST）］=e-r（T-t）

∫+∞K（ST-K）+qT（x）dx 。（3）

將ST、K進行替換：

CT（k）=e-r（T-t）

∫+∞k（ex-ek）qT（x）dx 。（4）

式（3）和式（4）中：qT（x）為資產(chǎn)分布的風(fēng)險中性概率密度函數(shù)，即dQ=qTdx；ST為T時刻資產(chǎn)價格；K為期權(quán)到期日執(zhí)行價格；x=ln ST。

由于limk→-∞CT（k）=S0[9]，CT（k）不滿足平方可積條件，無法直接使用FFT，因此引入調(diào)整變量α，記

cT（k）=eαkCT（k）， α>0 。（5）

由文獻[9]有：

CT（k）=e-αk2π

∫+∞-∞

e-iukφT（u）du=e-αkπ∫+∞0

Re［e-iukφT（u）］du 。（6）

式中：φT（u）為cT（k）的傅里葉變換；Re為對結(jié)果取實部。

1.2 Transformer網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

Transformer是一種基于注意力機制的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，與傳統(tǒng)CNN和RNN模型相比，Transformer的多頭注意力機制以及位置編碼機制，能有效解決傳統(tǒng)深度模型以及計量模型中隨著序列數(shù)據(jù)長度的增加，預(yù)測數(shù)據(jù)與較遠數(shù)據(jù)相關(guān)性較低，容易受近期數(shù)據(jù)的影響導(dǎo)致預(yù)測不準(zhǔn)確的問題[13]。同時，由于編碼機制的存在，對于時序數(shù)據(jù)中周期性數(shù)據(jù)關(guān)系、季節(jié)性數(shù)據(jù)關(guān)系，Transformer模型預(yù)測效果更好。Informer模型[25]在Transformer模型基礎(chǔ)之上添加了日期編碼，同時改進了多頭網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在時序數(shù)據(jù)預(yù)測方面表現(xiàn)更加優(yōu)秀。

自注意力機制作為多頭注意力機制的基礎(chǔ)，對于向量［a1，a2，a3，a4］，存在矩陣Wq、Wk、Wv，求解獲得新的向量qi、ki、vi，計算過程見式（7）—式（9）。

qi=Wqai 。（7）

ki=Wkai 。（8）

vi=Wvai 。（9）

以獲得的q1為例，分別與［k1，k2，k3，k4］相乘，可獲得［α1，1，α α1，3，α1，4］

（注意力分?jǐn)?shù)）。同理，對q2、q3、q4進行同樣操作，可以獲得注意力分?jǐn)?shù)矩陣。將注意力分?jǐn)?shù)再次進行Softmax操作歸一化，便可以獲得最終的系數(shù)矩陣，見式（10）。

α1，1…α4，1

α1，4…α4，4=

［k1，k2，k3，k4］′×［q1，q2，q3，q4］ 。（10）

將獲得的系數(shù)矩陣與v相乘，最終式如下。

［b1，b2，b3，b4］=［v1，v2，v3，v4］×

α1，1…α4，1

α1，4…α4，4 。（11）

相比循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，自注意力機制對于長序列并行度更高，且自注意力機制最大路徑長度更短，因此自注意力機制優(yōu)于傳統(tǒng)循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

多頭注意力分出多支，一般在使用過程中默認參數(shù)為8。為簡化介紹多頭注意力，在此以兩頭注意力為例，見式（12）—式（14）。

qi，1=Wq，1ai， qi，2=Wq，2ai 。（12）

ki，1=Wk，1ai， ki，2=Wk，2ai 。（13）

vi，1=Wv，1ai， vi，2=Wv，2ai 。（14）

相比單頭自注意力機制，多頭注意力需要在［qi，ki，vi］基礎(chǔ)之上分別計算出qi，1、qi，2、ki，1、ki，2、vi，1、vi，2。因此，bi，1由qi，1、ki，1、vi，1計算而得，bi，2由qi，2、ki，2、vi，2計算而得。最終bi由bi，1、bi，2合并再與權(quán)重矩陣相乘，使得最終bi維度與單頭自注意力機制所得bi維度相同，注意力計算式如下：

Attention（Q，K，V）=Softmax（QKTdk）V 。（15）

利用Transformer模型預(yù)測，有2種常用方法。一是對時序數(shù)據(jù)直接進行預(yù)測，以時間T時刻為例，將T時刻之前的歷史數(shù)據(jù)作為模型輸入項，將T時刻數(shù)據(jù)作為預(yù)測數(shù)據(jù)代入模型，進行模型的訓(xùn)練與預(yù)測；二是以截面數(shù)據(jù)作為模型的輸入輸出項，同樣以T時刻為例，將時刻T對應(yīng)的相關(guān)性影響因子作為模型輸入項，期權(quán)價格作為模型輸出項，以此構(gòu)建模型進行訓(xùn)練預(yù)測。本文采取第1種方式作為Transformer模型的訓(xùn)練預(yù)測方法。傳統(tǒng)Transformer模型擅長處理分類數(shù)據(jù)，不擅長對連續(xù)型變量的預(yù)測，所以需要對該模型進行調(diào)整，來適應(yīng)當(dāng)前的場景。調(diào)整方向主要分3部分。

1）輸入數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)調(diào)整。原始模型中輸入數(shù)據(jù)是離散型數(shù)據(jù)，因此模型的輸入需要對離散型數(shù)據(jù)進行分類編碼。本文輸入數(shù)據(jù)為連續(xù)型數(shù)據(jù)，因此原始模型中編碼方式不再適用。原始數(shù)據(jù)進入本文模型前，需要對其進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后直接采用convld層替換原始embedding層，將原有編碼分類結(jié)果替換為連續(xù)型變量輸出。

2）輸出數(shù)據(jù)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)調(diào)整。由于原始模型中輸出結(jié)果為分類結(jié)果數(shù)據(jù)，因此在經(jīng)過全連接層后還需要進行Softmax層的處理。由于輸出結(jié)果為連續(xù)型數(shù)據(jù)變量，因此在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上取消了Softmax操作，直接將全連接層輸出結(jié)果作為最終結(jié)果。但由于模型變量在輸入開始階段進行過標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)處理，因此需要對模型結(jié)果進行反向標(biāo)準(zhǔn)化處理。本文數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理公式為z=x-μσ，其中μ為變量均值，σ為變量標(biāo)準(zhǔn)差，x為變量原始數(shù)值，z為標(biāo)準(zhǔn)化處理后的數(shù)值。

3）輸入項添加到期日數(shù)據(jù)。金融數(shù)據(jù)具有明顯的周期性、季節(jié)性等時間特性，期權(quán)價格數(shù)據(jù)受到期日時間長短的影響。因此，對于期權(quán)價格序列預(yù)測，需要在原有位置編碼的基礎(chǔ)上添加到期日數(shù)據(jù)。具體操作為對到期日期采用embedding層的處理方法，將到期日特征值進行編碼添加至原始輸入當(dāng)中。

位置編碼公式為PE（pos，2i）=sinpos10 0002imodel，

PE（pos，2i+1）=cospos10 0002imodel。

其中pos為輸入數(shù)據(jù)位置位次數(shù)值。到期日編碼公式為e（x）=W×x。

Transformer修改前后網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對比圖見圖1。

由圖1可知，與傳統(tǒng)計量模型或者深度學(xué)習(xí)模型相比，Transformer模型在輸入項中多出一項decoder層的輸入。本文decoder層輸入?yún)⒄赵寄Ｐ洼斎耄Ａ鬳ncoder輸入的一部分?jǐn)?shù)據(jù)，同時將預(yù)測長度數(shù)據(jù)全部補充為0，上述2部分?jǐn)?shù)據(jù)組合作為decoder層的輸入部分。

模型損失函數(shù)定義如下：

損失函數(shù)=（xn-yn）2 。（16）

式中：xn為預(yù)測值張量；yn為真實值張量。本文將原始Transformer模型中使用到的交叉熵損失函數(shù)替換為均方誤差損失函數(shù)，使模型能夠處理連續(xù)數(shù)據(jù)。

采取Adam（adaptive monent estimation）參數(shù)優(yōu)化算法[26]，通過計算梯度一階矩與二階矩，自適應(yīng)調(diào)整學(xué)習(xí)率，加快參數(shù)更新，提升模型訓(xùn)練效果。該優(yōu)化算法結(jié)合RMSProp和動量算法的優(yōu)點，在深度學(xué)習(xí)參數(shù)優(yōu)化中得到廣泛使用。模型中學(xué)習(xí)效率參數(shù)LR=0.000 1。

2 模型構(gòu)建

以預(yù)測真實期權(quán)市場價格數(shù)據(jù)為目標(biāo)。將真實期權(quán)市場價格數(shù)值分為2部分：一部分通過使用FFT計算獲得經(jīng)典期權(quán)價格；另一部分以真實期權(quán)市場價格與上述模型的差值定義為殘差，該值作為改進后的Transformer網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練擬合目標(biāo)。最終期權(quán)價格為上述2個子模型結(jié)果的和，表示為FFT-BS-Transformer。模型結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

模型預(yù)測的評價指標(biāo)如下：

R2=∑ni=1（yi-）2

∑ni=1（xi-）2，

yMSE=1n∑ni=1（yi-xi）2，

yNRMSE=yMSEmax xi-min xi，

yMAE=1n∑ni=1

|yi-xi|，

yMAPE=1n∑ni=1

yi-xixi。

式中：R2為決定系數(shù)；yMSE為均方誤差；yNRMSE為歸一化均方根誤差；yMAE為平均絕對誤差；yMAPE為平均絕對百分比誤差；x、y分別代表通過交易所獲得的實際期權(quán)價格以及通過模型計算獲得的預(yù)估期權(quán)價格；為x的均值。

3 實證分析

為驗證所選模型的普適性與準(zhǔn)確性，選擇金融與商品2種歐式期權(quán)進行實證分析。滬深300作為唯一在上證、深證以及中國金融期貨交易所上市的指數(shù)類期權(quán)，是滬深市場最具代表性的指數(shù)。黃金是國家和普通投資者資產(chǎn)配置的重要品種之一，具備貨幣、金融和商品的屬性，是在大眾商品投資中認可度最高、交易最為活躍的投資品種。

本文選取滬深300ETF期權(quán)和黃金期權(quán)作為模型實證標(biāo)的，交易周期選取2022年10月至2023年3月，數(shù)據(jù)頻率采用日線數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自wind數(shù)據(jù)庫。采取上述2類品種原因如下：首先，滬深300期權(quán)以現(xiàn)貨ETF為基準(zhǔn)，黃金期權(quán)則以黃金期貨為基準(zhǔn)，標(biāo)的物不同；其次，滬深300是金融類期權(quán)，黃金期權(quán)為實物類期權(quán)；最后，兩者波動性不一致，相關(guān)性較弱。

此外，添加幾組不同模型進行對比。模型1：BS模型[1]；模型2：以FFT為計算方式的BS模型，記作FFT-BS模型[9]；模型3：FFT-BS模型+ARIMA模型[19]；模型4：FFT-BS模型+LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[19]。模型1和模型2驗證FFT計算方式對BS模型計算精度是否有所損失；模型3通過FFT-BS模型與傳統(tǒng)計量模型ARIMA模型組合，驗證傳統(tǒng)計量模型是否對殘差擬合有所幫助；模型4用于對比Transformer模型相對傳統(tǒng)深度學(xué)習(xí)模型是否在統(tǒng)計數(shù)值上有明顯的提升。

模型當(dāng)中資產(chǎn)波動率數(shù)據(jù)是非常重要的，對于模型計算結(jié)果影響較大。本文所有模型波動率數(shù)據(jù)都采用滾動計算標(biāo)的物歷史波動率作為輸入項。以T時刻為例，當(dāng)前時刻T之前20個交易日的波動率數(shù)據(jù)的平均值作為T時刻波動率數(shù)據(jù)。無風(fēng)險收益率數(shù)據(jù)以2.1%（區(qū)間內(nèi)國債收益率平均值）為準(zhǔn)。

LSTM超參數(shù)設(shè)置如下：input_size=1（輸入變量每行輸入數(shù)據(jù)維度）；hidden_size=24（隱含層的特征數(shù)量）；num_layers=1（隱含層層數(shù)）；output_size=1（輸出向量長度）；seq_length=10（輸入序列長度）。為保證測試條件一致性，ARIMA模型、LSTM模型和Transformer模型訓(xùn)練數(shù)據(jù)長度均為10，即通過10個時序數(shù)據(jù)預(yù)測第11個點數(shù)據(jù)。為避免模型出現(xiàn)過擬合，實證過程中以驗證集數(shù)據(jù)的損失函數(shù)值是否持續(xù)減少作為模型是否停止訓(xùn)練的標(biāo)準(zhǔn)。本文中采取的容忍度為7，即當(dāng)連續(xù)7次訓(xùn)練模型均在驗證集數(shù)據(jù)表現(xiàn)不能更好的時候，模型便停止訓(xùn)練。模型實證過程中，全部數(shù)據(jù)按7∶1∶2隨機分配的方式被劃分為訓(xùn)練集、驗證集和測試集。

滬深300歐式期權(quán)實證結(jié)果：全量測試數(shù)據(jù)共計7 025條，訓(xùn)練集數(shù)據(jù)3 812條，驗證集544條，測試集1 090條。由于訓(xùn)練期內(nèi)存在較多的期權(quán)品種，每一個品種前10條數(shù)據(jù)無法用于訓(xùn)練，因此在數(shù)據(jù)預(yù)處理后，全量數(shù)據(jù)大于訓(xùn)練數(shù)據(jù)、驗證數(shù)據(jù)以及測試數(shù)據(jù)的總和。_{GDDiZvUw8tvs5IVp7OkkINYJozHcUjvHpFPowLb0Ni0=}

原始期權(quán)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述如表1所示。上海證券交易所滬深300ETF期權(quán)交易數(shù)據(jù)較小，中位數(shù)只有0.179，同時殘差數(shù)據(jù)中位數(shù)只有0.04。因此，單位數(shù)據(jù)差值相對于滬深300期權(quán)比例來說更大，結(jié)果預(yù)測的微小波動更容易造成預(yù)測結(jié)果百分比例的偏差增大。

實證結(jié)果統(tǒng)計見表2，統(tǒng)計對比了5種不同指標(biāo)下不同模型的表現(xiàn)情況，繪制各指標(biāo)結(jié)果見圖3。

將BS模型統(tǒng)計指標(biāo)設(shè)為基準(zhǔn)數(shù)值1，其他各模型相對BS模型百分比例如表3所示。

從統(tǒng)計指標(biāo)維度上分析，上述5個模型在R2、MSE、NRMSE、MAE、MAPE指標(biāo)中，均呈現(xiàn)出逐步變好的趨勢。相比BS模型，本文提出的模型R2增長了8.4%，絕對值約為99.75%；MSE減少了97.2%，絕對值減小至0.000 175；NRMSE減少了82.9%，絕對值減少至0.012 525，MAE減少了82.5%，絕對值減少至0.009 845。

參考其他模型，可以發(fā)現(xiàn)隨著模型復(fù)雜度的提升，模型擬合預(yù)測效果越來越好。深度學(xué)習(xí)模型優(yōu)于普通計量模型，Transformer深度學(xué)習(xí)模型又優(yōu)于以預(yù)測時序數(shù)據(jù)見長的LSTM類RNN模型。這一點與本文模型構(gòu)建過程中提到的理論依據(jù)一一對應(yīng)。但MAPE指標(biāo)卻表現(xiàn)出相反的結(jié)果，該指標(biāo)相比BS模型增加了2倍數(shù)值，但絕對數(shù)據(jù)仍然較小（2.019 932）。這是由于預(yù)測的殘差數(shù)據(jù)較小，微小的數(shù)據(jù)預(yù)測便會帶來較為明顯的相對值的變化，且對于預(yù)測樣本而言，預(yù)測值越小，其預(yù)測得到的結(jié)果越容易引起MAPE的變大。

從實際應(yīng)用交易角度來看，期權(quán)價格越小，通常表示該期權(quán)價值越低，參與人數(shù)越少，市場定價不具有代表性。期權(quán)價格越小，該值為非有效數(shù)據(jù)的可能性越大。因此，本文實證過程中，當(dāng)把非有效數(shù)據(jù)剔除后，理論上MAPE指標(biāo)會有較為明顯的改善，單一指標(biāo)的變差并不影響給出模型整體預(yù)測有效性提升的判斷。從預(yù)測結(jié)果統(tǒng)計指標(biāo)來看，不難發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)模型構(gòu)建的混合期權(quán)定價模型是對比模型中的最優(yōu)模型。因此，單獨將2類深度學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練過程中的損失函數(shù)數(shù)值迭代圖形進行比較，判斷兩者之間的優(yōu)劣。

圖4為損失函數(shù)圖形，在同樣優(yōu)化參數(shù)情況下，Transformer結(jié)構(gòu)下的模型優(yōu)化效率更高，需要更少的迭代次數(shù)，且模型損失函數(shù)值更小，這意味著模型擬合預(yù)測效果較好，與上述預(yù)測統(tǒng)計結(jié)果相符。

從預(yù)測結(jié)果中隨機抽取10組數(shù)據(jù)，對比不同模型預(yù)測結(jié)果數(shù)據(jù)大小，結(jié)果見圖5。price曲線為實際期權(quán)價格，從圖5不難發(fā)現(xiàn)：FFT-BS具有較高的計算效率以及計算準(zhǔn)確性，其計算結(jié)果與BS模型計算結(jié)果基本一致；與單一模型相比，3個混合期權(quán)模型均有較為明顯的預(yù)測提升，但對于個別時點，如圖5中右側(cè)2個小圖，Transformer的混合模型預(yù)測結(jié)果與原始數(shù)據(jù)更為貼合。

黃金期權(quán)實證結(jié)果如下：全量測試數(shù)據(jù)共計11 758條，訓(xùn)練集數(shù)據(jù)6 556條，驗證集936條，測試集1 874條。對比表4和表1可知，相比滬深300ETF期權(quán)，黃金期權(quán)明顯波動更大，平均值、各項分位數(shù)均有較為明顯的數(shù)值差異。單位數(shù)據(jù)的變動對于黃金期權(quán)產(chǎn)生的影響弱于滬深300期權(quán)，黃金期權(quán)相比滬深300ETF期權(quán)更容易被擬合預(yù)測，不同模型黃金期權(quán)樣本外預(yù)測結(jié)果對比見表5，不同模型黃金期權(quán)樣本外預(yù)測結(jié)果對比情況見表6，黃金期權(quán)樣本外預(yù)測結(jié)果分類指標(biāo)對比見圖6。

從預(yù)測結(jié)果統(tǒng)計指標(biāo)來看，Transformer構(gòu)建的混合期權(quán)定價模型依然是對比模型中表現(xiàn)最優(yōu)的。相比BS模型，R2提升1.6%，升至約99.82%；MSE直線下降92.0%，降至約1.02；NRMSE下降71.7%，降至0.01；MAE下降76.5%，降至0.59；MAPE同樣上漲94.9%，升至0.69。但是對于MAPE指標(biāo)來說，黃金期權(quán)相比滬深300ETF期權(quán)有更好的下降，MAPE指標(biāo)由3.01下降至0.69。由于黃金期權(quán)價格遠大于滬深300期權(quán)價格，因此單位價格變動引起的誤差變化更小，MAPE指標(biāo)也更小。除去MAPE指標(biāo)，R2、MSE、NRMSE和MAE與滬深300ETF期權(quán)預(yù)測結(jié)果表現(xiàn)出一致性，模型復(fù)雜性越高，預(yù)測效果越好，指標(biāo)數(shù)值越優(yōu)。

深度學(xué)習(xí)模型損失函數(shù)值走勢圖見圖7。可以看出，Transformer結(jié)構(gòu)下的模型優(yōu)化效率更高，需要迭代次數(shù)更少，且模型損失函數(shù)值更小，這意味著模型擬合預(yù)測效果較好，與上述預(yù)測統(tǒng)計結(jié)果相符。

黃金期權(quán)隨機抽點不同模型結(jié)果預(yù)測圖見圖8。圖8中隨機挑選黃金期權(quán)價格，對比不同模型預(yù)測差異。可以看出，F(xiàn)FT-BS模型與BS模型大多數(shù)情況下能夠滿足模型預(yù)測需求，但仍有較大偏差。混合模型表現(xiàn)優(yōu)于單一模型，深度學(xué)習(xí)模型優(yōu)于傳統(tǒng)機器學(xué)習(xí)模型，Transformer模型是所有測試模型當(dāng)中的最優(yōu)模型。

4 結(jié) 語

1）基于BS模型、FFT-BS模型、FFT-BS+ARIMA模型、FFT-BS+LSTM模型和FFT-BS+Transformer模型，在歐式看漲期權(quán)定價方面對2組不同類型的期權(quán)產(chǎn)品進行實證，給出了5個不同的統(tǒng)計指標(biāo)對比預(yù)測效果。結(jié)果表明，上述模型均表現(xiàn)出較好的擬合效果。通過構(gòu)建混合模型，采取深度學(xué)習(xí)的混合模型有著更為出色的預(yù)測表現(xiàn)，且混合模型的提出具有較強的適用性。

2）通過對已有算法的改進，利用2種子模型組合構(gòu)建混合模型進行期權(quán)定價，將人工智能算法中表現(xiàn)出色的多頭注意力機制引入期權(quán)定價模型中，可提升模型的預(yù)測精度。

3）由預(yù)測結(jié)果統(tǒng)計指標(biāo)可知，即使數(shù)據(jù)質(zhì)量較差的滬深300ETF期權(quán)，同樣獲得了不錯的結(jié)果表現(xiàn)，模型預(yù)測精度并未受到期權(quán)數(shù)據(jù)較小、噪音干擾較大的影響。這與本文提到的模型構(gòu)建理論基礎(chǔ)一一對應(yīng)。加入Transformer網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過強大的注意力機制以及位置編碼機制，提高了深度學(xué)習(xí)模型的預(yù)測效果，突破了原有損失函數(shù)的數(shù)值瓶頸，預(yù)測效果得到很大改善。

本研究的不足之處主要包含以下2個方面：一是實證品種較少，并未對更多市場及其他期權(quán)品種進行普適性驗證；二是模型預(yù)測周期目前僅考慮下一交易日，并未考慮多周期時的期權(quán)定價問題。未來需進一步優(yōu)化模型參數(shù)，提升模型預(yù)測的準(zhǔn)確性，并驗證對比不同定價模型在不同經(jīng)濟體下的表現(xiàn)，全方位比較各類模型的實證效果。

參考文獻/References：

［1］ BLACK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973，81（3）：637-654.

［2］ HULL J，WHITE A.The pricing of options on assets with stochastic volatilities［J］.The Journal of Finance，1987，42（2）：281-300.

［3］ BATES D S.Jumps and stochastic volatility：Exchange rate processes implicit in deutsche mark options［J］.The Review of Financial Studies，1996，9（1）：69-107.

［4］ HESTON S L.A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options［J］.The Review of Financial Studies，1993，6：327-343.

［5］ CARR P，GEMAN H，MADAN D B，et al.Stochastic volatility for Lévy processes［J］.Mathematical Finance，2003，13（3）：345-382.

［6］ COX J C，RUBINSTEIN M，HALL P. Options Markets［M］.Upper Saddle River：Prentice Hall，1985.

［7］ 約翰赫爾.期權(quán)、期貨和其他衍生品［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

［8］ CARR P，MADAN D.Option valuation using the fast Fourier transform［J］.Journal of Computational Finance，1999，2（4）：61-73.

［9］ CHOURDAKIS K.Option pricing using the fractional FFT［J］.Journal of Computational Finance，2005，8（2）：1-18.

［10］FULOP A，YU Jun.Bayesian analysis of bubbles in asset prices［J］.Econometrics，2017.DOI： 10.3390/econometrics5040047.

［11］HUTCHINSON J M，LO A W，POGGIO T.A nonparametric approach to pricing and hedging derivative securities via learning networks［J］.The Journal of Finance，1994，49（3）：851-889.

［12］QI M，MADDALA G S.Option pricing using artificial neural networks：The case of S&P 500 index call options［C］//Neural Networks in Financial Engineering：Proceedings of the Third International Conference on Neural Networks in the Capital Markets.NewYork：World Scientific，1996：78-91.

［13］VASWANI A，SHAZEER N，PARMAR N，et al.Attention is all you need［C］//Proceedings of the 31st International Conference on Neural Information Processing SystemsD.Red Hook：Curran Associates Inc，2017：6000-6010.

［14］DEVLIN J，CHANG M，LEE K，et al.Bert：Pre-training of deep bidirectional transformers for language understanding［C］//Proceedings of the 2019 Conference of the North American Chapter of the Association for Computational Linguistics：Human Language Technologies.Stroudsburg：ACL，2019：4171-4186.

［15］GULTEKIN N B，ROGALSKI R J，TINIC S M.Option pricing model estimates：Some empirical results［J］.Financial Management，1982，11：58-69.

［16］RADFORD A，NARASIMHAN K，SALIMANS T，et al.Improving language understanding by generative pre-training［DB/OL］.［2023-12-03］.https：//www.cs.ubc.ca/～amuham01/LING530/papers/radford2018improving.pdf.

［17］LAJBCYGIER P.Improving option pricing with the product constrained hybrid neural network［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2004，15（2）：465-476.

［18］LAJBCYGIER P R.Improving Option Pricing with the Product Constrained Hybrid Neural Network and Booting［D］.Melbourne：Monash University，2021.

［19］張麗娟，張文勇.基于Heston模型和遺傳算法優(yōu)化的混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)定價研究［J］.管理工程學(xué)報，2018，32（3）：142-149.

ZHANG Lijuan，ZHANG Wenyong.Option pricing model by applying hybrid neural network based on Heston modeland genetic algorithm［J］.Jonrnal of Industrial Engineering/Engineering _{LEtG/5P7shSXSxdHqtj/7Q==}Management，2018，32（3）：142-149.

［20］張鴻彥，林輝.應(yīng)用混合小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法在香港衍生品市場上的研究［J］.系統(tǒng)管理學(xué)報，2008，17（1）：25-31.

ZHANG Hongyan，LIN Hui.Study on Hong Kong derivative market by applying hybrid wavelet neural network and genetic algorithm［J］.Journal of Systems & Management，2008，17（1）：25-31.

［21］張鴻彥，林輝.基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)定價模型［J］.東南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2007，37（4）：716-720.

uGM/ZzIt19+A9zFXrWTD7w==ZHANG Hongyan，LIN Hui.Option pricing models based on wavelet neural network［J］.Journal of Southeast University（Natural Science Edition），2007，37（4）：716-720.

［22］孫有發(fā)，邱梓杰，姚宇航，等.基于深度學(xué)習(xí)算法的行為期權(quán)定價［J］.系統(tǒng)管理學(xué)報，2021，30（4）：697-708.

SUN Youfa，QIU Zijie，YAO Yuhang，et al.Behavioral option pricing based on Deep-Learning algorithm［J］.Journal of Systems & Management，2021，30（4）：697-708.

［23］ROSS S A.Options and efficiency［J］.The Quarterly Journal of Economics，1976，90（1）：75-89.

［24］COX J C，ROSS S A.The valuation of options for alternative stochastic processes［J］.Journal of Financial Economics，1976，3（1/2）：145-166.

［25］ZHOU Haoyi，ZHANG Shanghang，PENG Jieqi，et al.Informer：Beyond efficient transformer for long sequence time-series forecasting［C］//Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence.Menlo Park：AAAI，2021：11106-11115.

［26］KINGMA D P，BAJ.Adam：A method for stochastic optimization［DB/OL］.（2017-01-30）［2023-12-03］.https：//arxiv.org/abs/1412.6980.