元件服從廣義四參數BS分布的串聯和并聯系統壽命的隨機比較

【摘 要】 Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布可用于描述因疲勞導致失效的產品的壽命特征，該分布已經成為可靠性統計分析中的常用分布之一。首先基于廣義三參數BS分布，通過引入位置參數[μ]，得到廣義四參數BS分布GBSII[α， β， μ， k]；其次，以服從廣義四參數BS分布的獨立元件壽命為主體，研究它構成的串聯系統和并聯系統壽命的隨機比較。分析結果可以更好地擬合失效產品的壽命規律。

【關鍵詞】 廣義四參數BS分布；次序統計量；普通隨機序；優化序

Stochastic Comparisons of Parallel and Series Systems with Heterogeneous Generalized Four-Parameter Birnbaum-Saunders Components

Ling Jie1，Liu Yulin1，Fang Longxiang2

（1.Anhui Business College， Wuhu 241002， China; 2.Anhui Normal University， Wuhu 241002， China）

【Abstract】 The Birnbaum-Saunders fatigue life distribution can be used to describe the life characteristics of products that fail due to fatigue， and this distribution has become one of the commonly used distributions in reliability statistical analysis. In this paper， based on the generalized three-parameter BS distribution， the generalized four-parameter BS distribution GBSII[α， β， μ， k] is obtained by introducing positional parameters [μ]. Secondly， stochastic comparisons of lifetimes of a series system and a parallel system are studied by taking the life of an independent component subject to the generalized four-parameter BS distribution as the main body. The analysis results in this paper can help better fit the life law of failure products.

【Key words】 generalized four-parameter BS distribution; order statistic; usual stochastic order; majorization order

〔中圖分類號〕 O212 〔文獻標識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03 - 0037 - 05

0 ?cImk3iyzKW98Bb3TJjEfsg==; 引言

Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中一個重要的失效分布模型，該模型是Birnbaum和Sunders在1969年研究主因裂紋擴展導致材料失效時推導得出的［1］。該模型主要應用于疲勞失效研究，在機械產品可靠性研究、電子產品性能退化失效分析中有著廣泛的應用。相比于Weibull 分布、對數正態分布等通常適用于描述產品壽命的分布，因疲勞導致失效的產品其壽命特征用BS分布來研究會更合適。

設X服從兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS[α，β]，其分布函數為：

[Fx;α，β=Φ1αxβ-βx，x>0]

其中，[α>0]稱為形狀參數，[β>0 ]稱為尺度參數，[Φ（x）]為標準正態分布的分布函數。

值得指出的是在2006年提出了一種廣義三參數BS疲勞壽命分布［2］，該分布相較于兩參數BS疲勞壽命分布具有更強的靈活性，在此記為GBSI [（α，β，k） ]，其分布函數的形式為：

[Fx;α，β，k=Φ1αx1-kβ-βxk，x>0]

其中，[α>0]和[0<k<]1稱為形狀參數，[β>0 ]稱為尺度參數，[Φ（x）]為標準正態分布的分布函數。

基于廣義三參數BS疲勞壽命分布，本文增加位置參數[μ]，提出了一種新的廣義四參數BS疲勞壽命分布，記為GBSII [（α，β，μ，k） ]，其分布函數的形式為：

[Fx;α，β，μ，k=Φ1α（x-μ）1-kβ-β（x-μ）k，x>μ]

其中，[α>0]和[0<k<]1稱為形狀參數，[β>0 ]稱為尺度參數，[μ∈]R為位置參數，[Φ（x）]為標準正態分布的分布函數。

本文主要基于向量優化方法，研究廣義四參數BS分布的串聯系統和并聯系統壽命的普通隨機序。

1 預備知識

在本節中，首先簡要地回顧一下普通隨機序、優化序和弱優化序的定義［3-4］。

定義1.1 如果對于任意[x，P（X>x）≥P（Y>x）]，稱[Y在普通隨機序下]比[X]更小，記作[X≥stY]。

定義1.2 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是兩個實向量，記[λ（1）≤…≤λ（n）]和[λ*（1）≤…≤λ*（n）]是排序后的元素，那么：

（1）若對于任意的[m=1，2，…，n-1]，都有[i=1mλ（i）≤i=1mλ*（i）]且[i=1nλi=i=1nλ*i]，則稱向量[λ]優于向量[λ*]，記作[λ?mλ*];

（2）若對于任意的[m=1，2，…，n]，都有[i=1mλ（i）≤i=1mλ*（i）]，則稱向量[λ]弱上優于向量[λ*]，記作[λ?wλ*]。

下面的引理給出了這兩種優化序之間的關系。

引理1.3［5］ 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是兩個實向量，當且僅當存在一個[n]維向量[μ]，這里[μ?mλ*]且[μ≥λ]（即[μi≥λi]），那么[λ?wλ*]。

在下一節證明本文的主要結果之前，需要用到以下眾所周知的概念和引理。

定義1.4 令[λ=（λ1，…，λn）]和[λ*=（λ*1，…，λ*n）]是兩個實向量，設函數[Φλ：]Rn[→]R，如果對于所有的[λ?mμ]，有[Φλ≤Φμ]，則[Φλ]是Schur-凹函數，反之如果[Φλ≥Φμ]，則[Φλ]是Schur-凸函數。

引理1.5 ［17］ 設 [I ? ]R是一個開集，連續可微函數[ΦX]： [I n→ ]R是Schur-凹的，當且僅當 [ΦX]在[I n]上是對稱的，并且對所有的 [i ≠ j]，滿足

[Xi-Xj?ΦX?Xi-?ΦX?Xj≤0]

連續可微函數[ΦX]： [I n→ ]R是Schur-凸的，當且僅當 [ΦX]在[I n]上是對稱的，并且對所有的 [i ≠ j]，滿足

[Xi-Xj?ΦX?Xi-?ΦX?Xj≥0]

引理1.6 ［6］

（1）對所有的[u∈] R，令[gu=e-u22-∞ue-t22dt]，那么[gu]是一個減函數；

（2）對所有的[u∈] R， 令[hu=e-u22u+∞e-t22dt]，那么[hu]是一個增函數。

2 主要結果

本文對具有獨立異構的廣義四參數BS分布，在基于尺度參數的向量優化條件下，給出了并聯和串聯系統壽命在普通隨機序下的比較結果。

定理2.1 令[X1，…，Xn是獨立隨機變量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n]。

[X*1，…，X*n是另一組獨立隨機變量，且X*i～GBSIIα， β*i， μ， k，i=1，…，n]。

那么當[0<k<]1時，可以得到：

（1）（[1β1，…，1βn]）[?m]（[1β*1，…，1β*n]）[?Xn：n≥stX*n：n]；

（2）（[β1，…，βn]）[?m（β*1，…，β*n）?X*1：n≥stX1：n]。

證明：

（1）令[λ1=1β1，…，λn=1βn]， 以及[λ*1=1β*1，…，λ*n=1β*n]，那么有（[λ1，…，λn]）[?m（λ*1，…，λ*n）]。

為了證明[Xn：n≥stX*n：n]，只需要證明，在[x>0]，有

[FXn：nx=PXn：n>x=1-i=1nΦ1α（x-μ）1-kβi-βi（x-μ）k][=1-i=1nΦg（x;α，λi，μ，k）][=1-i=1n-∞gx;α，λi，μ，k12πe-u22du，]

關于（[λ1，…，λn]）為Schur-凸函數，其中

[gx;α， λ， μ， k=1α（x-μ）1-kλ-1（x-μ）kλ]，且關于[λ]為增函數。

當[x>0]時，[FXn：nx]關于[λi，i=1，…，n]的導數為

[?FXn：nx?λi=-12αe-gx;α，λi，μ，k22-∞gx;α，λi，μ，ke-u22duhx;α，λi，μ，kFxn：nx]

其中[hx;α，λ，μ，k=（x-μ）1-kλ-12+1（x-μ）kλ-32] ，且關于[λ]為減函數。

因此，

[?FXn：nx?λi-?FXn：nx?λj=12αFxn：nx]

[e-gx;α，λj，μ，k22-∞gx;α，λj，μ，ke-u22duhx;α，λj，μ，k-e-gx;α，λi，μ，k22-∞gx;α，λi，μ，ke-u22duhx;α，λi，μ，k]

由引理1.6可知，復合函數

[e-gx;α，λ，μ，k22-∞gx;α，λ，μ，ke-u22du]

關于[λ]為減函數。因此可以得到

[λi-λj?FXn：nx?λi-?FXn：nx?λj≥0]

最后，通過引理1.5，可以證明[FXn：nx]關于（[λ1，…，λn]）為Schur-凸函數。

（2）為了證明[X*1：n≥stX1：n]，只需要證明，在[x>0]，有

[FX1：nx=i=1n1-Φ1αx-μ1-kβi-βix-μk][=i=1n1-Φg（x;α， βi， μ，k）][=i=1ng（x;α， βi， μ， k）+∞12πe-u22du]

關于（[β1，…， βn]）為Schur-凹函數，其中[gx;α，β，μ，k=1αx-μ1-kβ-βx-μk]，且關于[β]為減函數。

當[x>0]時，[FX1：nx]關于[βi，i=1，…，n]的導數為

[?FX1：nx?βi=12αe-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22dulx;α， βi， μ， kFX1：nx]

其中[lx;α， β， μ， k=（x-μ）1-kβ-32+1（x-μ）kβ-12] ，且關于[β]為減函數。

因此

[?FXn：nx?βi-?FXn：nx?βj=12αFX1：nx]

[e-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22duhx;α， βi， μ， k-e-gx;α， βj， μ， k22gx;α， βj， μ， k+∞e-u22duhx;α， βj， μ， k]

由引理1.6可知，復合函數

[e-gx;α， βi， μ， k22gx;α， βi， μ， k+∞e-u22du]

關于[β]為減函數。因此可以得到

[βi-βj?FX1：nx?βi-?FX1：nx?βj≤0]

最后，通過引理1.5，可以證明[FX1：nx]關于（[β1，…， βn]）為Schur-凹函數。

定理2.2 [令X1，…，Xn是獨立隨機變量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一組獨立隨機變量，且X*i～GBSIIα， β*i， μ， k，i=1，…，n]。

如果（[β1，…， βn]）[≥]（[β*1，…，β*n]），即[βi≥β*i，i=1，…，n]，則[Xn：n≥stX*n：n，X1：n≥stX*1：n]。

證明：當[x>0]時，[Xn：n]和[X1：n]的生存函數分別為

[FXn：nx=1-i=1nΦ1αx-μ1-kβi-βix-μk]

和

[FX1：nx=i=1n1-Φ1αx-μ1-kβi-βix-μk]

通過普通隨機序的定義以及[（x-μ）1-kβ-β（x-μ）k]關于[β]為減函數的事實，即完成證明。

現在，本文基于尺度參數弱上優序，對該分布的串并聯系統壽命進行普通隨機序比較。

定理2.3 令[X1，…，Xn是獨立隨機變量，且Xi～GBSIIα， βi， μ， k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一組獨立隨機變量，且X*i～GBSIIα，β*i， μ， k，i=1，…，n]。那么當[0<k<]1時，有：

（1）（[1β1，…，1βn]）[?w]（[1β*1，…，1β*n]）[?Xn：n≥stX*n：n]；

（2）（[β1，…，βn]）[?w]（[β*1，…，β*n]）[?X*1：n≥stX1：n]。

證明：（1）如果（[1β1，…，1βn]）[?w]（[1β*1，…，1β*n]），由引理1.3可知，存在一個向量（[1γ1，…，1γn]），有（[1γ1，…，1γn]）[?m][（1β*1，…，1β*n）]和[（1γ1，…，1γn）][ ≥]（[1β1，…，1βn]）。現在令[Y1，…，Yn是獨立隨機變量，且Yi～GBSIIα，γi， μ，k，i=1，…，n]。那么由定理2.1的（1）可得，[Yn：n≥stX*n：n]。因為（[1γ1，…，1γn]）[≥]（[1β1，…，1βn]）則有[βi≥γi，i=1，…，n]，由定理2.2可知[Xn：n≥stYn：n]，因此[Xn：n≥stX*n：n]。

（2）如果（[β1，…，βn]）[?w]（[β*1，…，β*n]），由引理1.3可知，存在一個向量（[θ1，…，θn]），有（[θ1，…，θn]）[?m]（[β*1，…，β*n]）和[θi≥βi，i=1，…，n]。現在，令[Z1，…，Zn是獨立隨機變量，且Zi～GBSIIα，θi， μ，k，i=1，…，n]。那么由定理2.1的（2）和定理2.2可得，[X*1：n≥stZ1：n]和[Z1：n≥stX1：n]，因此[X*1：n≥stX1：n]。

定理2.4 令[X1，…，Xn是獨立隨機變量，且Xi～GBSIIα， β， μi，k，i=1，…，n。]

[X*1，…，X*n是另一組獨立隨機變量，且X*i～GBSIIα， β， μ*i， k，i=1，…，n]。

那么當[0<k<]1時，有（[μ1，…，μn]）[?m（μ*1，…， μ*n）?Xn：n≥stX*n：n]。

證明：為了證明[Xn：n≥stX*n：n]，只需要證明，在[x>0]，有

[FXn：nx=PXn：n>x=1-i=1nΦ1α（x-μi）1-kβ-β（x-μi）k][=1-i=1nΦg（x;α，β，μi，k）][=1-i=1n-∞gx;α，β，μi，k12πe-u22du，]

關于（[μ1，…，μn]）為Schur-凸函數，其中[gx;α， β， μ，k=1α（x-μ）1-kβ-1（x-μ）kβ]，且關于[μ]為減函數。

當[x>0]時，[FXn：nx]關于[μi，i=1，…，n]的導數為

[?FXn：nx?μi=1αe-gx;α， β， μi， k22-∞gx;α， β， μi， ke-u22duhx;α， β， μi， kFXn：nx]

其中[hx;α， β， μ，k=（1-k）（x-μ）-kβ+kβ（x-μ）k+1] ，且關于[μ]為增函數。

因此，

[?FXn：nx?μi-?FXn：nx?μj=1αFXn：nx]

[e-gx;α， β， μi，k22-∞gx;α， β， μi，ke-u22duhx;α， β， μi，k-e-gx;α， β， μj，k22-∞gx;α， β， μj，ke-u22duhx;α， β， μj，k]

由引理1.6可知，復合函數[e-gx;α， β， μi，k22-∞gx;α， β， μi， ke-u22du]關于[μ]為增函數。故有[μi-μj?FXn：nx?μi-?FXn：nx?μj≥0]。

最后，通過引理1.5，可以證明[FXn：nx]關于（[μ1，…，μn]）為Schur-凸函數。

3 總結

本文在基于尺度參數和位置參數的向量優化條件下，以服從廣義四參數BS分布的獨立元件壽命為主體，研究它構成的串聯系統和并聯系統壽命的普通隨機序比較。當然還有很多的隨機序，我們正在致力于次序統計量在其他隨機序情況下的比較。

［參考文獻］

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責任編輯 孫 澗

［收稿日期］ 2024-04-09

［基金項目］ 安徽省高校自然科學研究重大項目“復雜網絡視域下技術軌道識別方法與應用研究”（2023AH040319）；安徽省高校中青年教師培養行動學科（專業）帶頭人培育項目（DTR2023092）；蕪湖市科技應用基礎研究項目“基于文本挖掘和復雜網絡的電商數據技術預測研究”（2022jc36）；安徽商貿職業技術學院技術技能創新服務平臺2021年應用研究項目“復雜網絡視角下電商平臺農產品競爭策略研究”（2021ZDG06）

［作者簡介］ 凌潔（1989- ），女，碩士，安徽商貿職業技術學院電子商務學院講師，研究方向：數理統計、數據挖掘。