二階變系數非齊次線性微分方程的一類通解

【摘 要】 利用待定函數法研究了二階變系數非齊次線性微分方程的系數滿足特定條件時的通解公式。旨在豐富二階線性微分方程的解題技巧，培養學生的創新思維能力。

【關鍵詞】 變系數；非齊次；微分方程；解題技巧

A Class of General Solutions for Second-order Non-homogeneous Linear Differential Equations with Variable Coefficients

Liu Mengmeng， Ye Yongsheng*， Shi Yangyang

（Huaibei Normal University， Huaibei 235000， China）

【Abstract】 In this paper， the undetermined function method is used to study the general solution formula of the second order non-homogeneous linear differential equation with variable coefficients when the coefficients meet certain conditions. The purpose is to enrich the skills of solving second-order linear differential equations and to cultivate students' innovative thinking ability.

【Key words】 variable coefficient; non-homogeneous; differential equation; problem-solving skill

〔中圖分類號〕 O175；G642 〔文獻標識碼〕 A 〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）03- 0125 - 04

0 引言

二階變系數非齊次線性微分方程

[y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）] （1）

其中[p（x）]，[q（x）]以及[f（x）≠0]為[x]的連續函數。若[f（x）≡0]，方程（1）變為

[y″+p（x）y′+q（x）y=0] （2）

方程（2）稱為與方程（1）對應的二階變系數齊次線性微分方程。方程（1）不僅在微分方程理論方面具有重要的位置，且在物理學以及工程學等方面有著廣泛應用。方程（1）的通解不易求，還沒有一個普遍有效的方法，但一直備受學者的關注，且研究成果也很多。王偉［1］研究了當方程（1）中[q（x）=p′（x）]時方程的通解為[y=e-p（x）dxf（x）dx+C1ep（x）dxdx+C2]。張云等［2］研究了二階齊次線性微分方程（2）滿足[λp2（x）1-λ2+p′（x）1-λ+q（x）=0]（其中[λ]為實數且[λ≠0，1]）時的特解，鄧瑞娟等［3］進一步利用常數變易法研究了方程（1）的一類通解公式。王慧等［4］ 研究了二階變系數非齊次線性微分方程（1）當[p（x）+（x+k）q（x）=0]（其中[k]為常數）時的通解。馮曼［5］研究了二階常微分方程的幾種求解方法與解題技巧。本文旨在從挖掘數學思想和解題技巧的角度，利用待定函數法研究方程（1）的一類通解的充要條件。

在常微分方程教學中，梁珍鳳［6］研究了如何提高學生數學推理能力，武力兵等［7］研究了如何培養大學生實踐創新能力，提高教學質量。本文給出二階變系數常微分方程的一類通解的求解方法與解題技巧，有助于開拓學生的解題思路，培養學生創新思維能力。

1 主要結論及證明

定理1 設[m]、[k]為常數。微分方程（1）有通解

[y=（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1dx+C2（x+k）emx] （3）

的充要條件為

[2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）m=0] （4）

其中[C1]、[C2]為任意常數。

證明：必要性 若（3）式是方程（1）的通解，為簡單起見，令[g（x）=（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1]，則（3）式可改寫為

[y=（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx+C2（x+k）emx]。

對上式求一階和二階導數，得

[y′=1+m（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx+e-mx-p（x）dx（x+k）g（x）+C2emx1+m（x+k）]，

[y″=2m+m2（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx-e-mx-p（x）dxx+kp（x）g（x）+C2emx2m+m2（x+k）+f（x）。]

將[y]、[y′]以及[y″]代入方程（1）得

[emx2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）me-2mx-p（x）dx（x+k）2g（x）dx+C2=0。]即（4）式成立。

充分性 設[y=（x+k）emxv（x）]是方程（1）的解，其中[v（x）]為待定的二階可導函數，[m]、[k]為常數，則

[y′=1+m（x+k）emxv（x）+（x+k）emxv′（x）]，

[y″=2m+m2（x+k）emxv（x）+21+m（x+k）emxv′（x）+（x+k）emxv″（x）]。

將[y]、[y′]以及[y″]代入方程（1）得

[x+kemxv″（x）+[2+2m（x+k）+p（x）（x+k）]emxv′（x）+2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）memxv（x）=f（x）。]

由于（4）成立，可得

[v″（x）+2m+2x+k+p（x）v′（x）=f（x）（x+k）emx。]

這是一個以[v′（x）]為未知函數的一階非齊次線性微分方程，其通解為

[v′（x）=e-2mx-p（x）dx（x+k）2（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1]，

故原方程的通解為

[y=（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2（x+k）emx+p（x）dxf（x）dx+C1dx+C2（x+k）emx]，

其中[C1]、[C2]為任意常數，[m]、[k]為常數。

由定理1，在（3）式中，當 [m=0] 時，可以得到以下結論，此結論與文獻［2］一致。

推論1 二階變系數非齊次線性微分方程（1）有通解

[y=（x+k）e-p（x）dx（x+k）2（x+k）f（x）ep（x）dxdx+C1dx+C2（x+k）] 的充要條件為[（x+k）q（x）+p（x）=0]。其中[C1]、[C2]為任意常數。

在（3）式中，當[k=0]時，可以得到以下結論。

推論2 二階變系數非齊次線性微分方程（1）有通解

[y=xemxe-2mx-p（x）dxx2xemx+p（x）dxf（x）dx+C1dx+C2xemx] 的充要條件為[2m+xm2+q（x）+p（x）（1+xm）=0。]

在（3）式中，當[m=k=0]時，可以得到以下結論，此結論與文獻［2］一致。

推論3 二階變系數非齊次線性微分方程（1）有通解

[y=xe-p（x）dxx2xf（x）ep（x）dxdx+C1dx+C2x]

的充要條件為[xq（x）+p（x）=0]。其中[C1]、[C2]為任意常數。

推論4 二階變系數齊次線性微分方程（2）有通解

[y=C1（x+k）emxe-2mx-p（x）dx（x+k）2dx+C2（x+k）emx] 的充要條件為[2m+（x+k）m2+q（x）+p（x）1+（x+k）m=0]。

推論5 二階變系數齊次線性微分方程（2）有通解

[y=C1xexe-2x-p（x）dxx2dx+C2xex] 的充要條件為[2+x1+q（x）+p（x）1+x=0。]

2 應用舉例

例1 求微分方程[y″-2x+ky′+2（x+k）2-m2y=x+k]的通解，[m、k]為常數。

解：該方程是形如（1）式的二階變系數非齊次線性微分方程，其中[p（x）=-2x+k]，[q（x）=2（x+k）2-m2]，[f（x）=x+k]，滿足條件（4），由定理1知該方程的通解為

[y=（x+k）emxe-2mx+2x+kdx（x+k）2（x+k）2emx-2x+kdxdx+C1dx+C2（x+k）emx=（x+k）emxe-2mxemxdx+C1dx+C2（x+k）emx =（x+k）emxe-mxm+C1e-2mxdx+C2（x+k）emx=-x+km2-C1（x+k）2me-mx+C2（x+k）emx，]

其中[C1]、[C2]為任意常數。

例2 求微分方程[y″-2xy′+2x2-1y=0]的通解。

解：該方程是形如（2）式的二階變系數齊次線性微分方程，其中[p（x）=-2x]，[q（x）=2x2-1]，由推論5知該方程的通解為

[y=-x-C12xe-x+C2xex，]

其中[C1]、[C2]為任意常數。

3 結語

二階變系數非齊次線性微分方程應用廣泛，但通解很難求。本文從挖掘數學思想和數學方法技巧的角度出發，利用待定函數法，得出一類二階變系數非齊次線性微分方程通解，并給出該通解存在的充要條件，可提高學生推理和解題能力。

［參考文獻］

［1］ 王偉.幾類二階變系數非齊次線性微分方程的通解［J］. 新鄉學院學報（自然科學版）， 2013，30（6）：408-410.

［2］ 張云，葉永升，陳冬君，等. 一類二階變系數線性非齊次微分方程的通解［J］. 廊坊師范學院學報（自然科學版）， 2018，18（4）：5-6+9.

［3］ 鄧瑞娟， 崔洪瑞. 一類二階變系數非齊次線性微分方程的通解［J］.山西師范大學學報（自然科學版）， 2021，35（3）：13-16.

［4］ 王慧， 葉永升.二階變系數線性微分方程的一類通解［J］.淮北師范大學學報（自然科學版），2017，38（4）：88-91.

［5］ 馮曼.二階常微分方程的若干求解方法［J］.陰山學刊（自然科學版），2018，32（2）：17-19.

［6］ 梁珍鳳.常微分方程教學中學生數學推理能力的培養［J］.廣西民族師范學院學報，2018，35（3）：133-135.

［7］ 武力兵，何希勤，郭良棟，等.“常微分方程”課程教學中大學生實踐創新能力培養研究［J］.科教導刊（中旬刊），2017（2）：125-126.

責任編輯 曹秀利

［收稿日期］ 2024-03-19

［基金項目］ 安徽省高等學校自然科學研究項目（2022AH050387）；淮北師范大學校級質量工程項目（2023jxyj027）

［作者簡介］ 劉蒙蒙（1993- ），女，博士，淮北師范大學數學與統計學院講師，研究方向：偏微分方程。

［通訊作者］ 葉永升（1964- ），男，碩士，淮北師范大學數學與統計學院教授，研究方向：圖論及其應用。