一道中考填空壓軸題的溯源與推廣

摘 要：中考試題是命題專家依據課程標準命制的精品課程資源，對教學具有一定的導向作用.基于此，筆者對一道中考數學填空壓軸題進行了教材溯源，并探討了它的多種解法，最后將試題進行了遷移和推廣.通過研究發現，教材是中考命題的鮮活源泉，在日常教學中要深入研究教材例題和習題，以此提高學生分析問題和解決問題的能力.

關鍵詞：中考試題；溯源；解法；推廣

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0038-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：魯德健（1979.9—），男，江蘇省南京人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

教材不僅僅是教學的工具，也是命題的源泉. 一道優秀的中考試題往往有著“源于教材，高于教材”的特點，改編自教材的試題可以引導教學回歸教材，脫離盲目刷題的題海戰術. 筆者以一道中考填空壓軸題為例，分析試題的教材之源，探討試題的多種解法，研究試題的變式推廣.

1 試題呈現

問題1 （2022年泰州市中考數學第16題）如圖 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點O為△ABC的內心，過點O作直線交AC，AB邊于點D，E， 若DE=CD+BE， 則CD的長為_______.

本題考查三角形內心的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，涵蓋了初中平面幾何中的重要知識點.試題綜合性較強，要求學生具備靈活的數學思維，體現了中考試題的選拔性功能.

2 試題溯源

蘇科版八年級數學上冊第73頁有如下問題：

問題2 如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M，N.求證：MN=BM+CN.

分析 因為MN∥BC，所以∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB.因為OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線，所以∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，所以∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，所以ΔMBO和ΔNCO為等腰三角形，所以BM=MO，CN=ON，所以BM+CN=MO+ON=MN.

顯然，問題1與問題2都與三角形內心的性質有關，區別在于問題1將問題2的結論作為條件，問題的難度增加.為了降低難度，問題1將問題2中的三角形變為兩條直角邊長分別為8和6的特殊直角三角形，但改編后的試題難度仍然大于原題的難度，凸顯了中考試題“源于教材，高于教材”的特色.

3 試題解法

解法1 情形（1）：如圖3， 過點O作直線DE∥BC，分別與AC，AB交于點D，E.連接OB，OC.

因為DE∥BC，所以∠OBC=∠BOE.因為O為△ABC的內心，所以∠OBC=∠OBE，所以∠BOE=∠OBE，所以BE=OE.同理CD=OD.從而DE=OD+OE=CD+BE.故當DE∥BC時，點D，E滿足條件DE=CD+BE.下面計算此時CD的長度.

在Rt△ABC中，根據勾股定理可知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因為DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，所以ADAC=DEBC=AEAB.設CD=OD=x，BE=OE=y，則AD=8-x，DE=x+y，AE=10-y，從而可得8-x8=x+y6，10-y10=x+y6，解得x=2，y=52，所以CD=2.

情形（2）：如圖 4，連接AO，作DE關于直線AO的對稱線段D′E′，點D′在AC上，點E′在AB上.

因為O為ΔABC的內心，所以∠OAD=∠OAD′.又因為DE⊥AC，且D′E′與DE關于AO對稱，所以D′E′⊥AB，所以∠ODA=∠OE′A=90°，從而可知Rt△ODA≌Rt△OE′A，故OD=OE′.同理Rt△ODD′≌Rt△OEE′，所以OE=OD′，DD′=EE′，所以D′E′=OD′+OE′=OE+OD=DE=CD+BE=CD′+DD′+BE′-EE′=CD′+BE′，此時的點D′，E′也滿足題目要求.從而，△AE′D′∽△ACB，所以AD′AB=D′E′BC=AE′AC.設CD′=x，BE′=y，則AD′=8-x，D′E′=x+y，AE′=10-y，所以8-x10=x+y6，10-y8=x+y6，解得x=12，y=4，所以CD′=12.

綜上所述，CD的長為2或12.

這種解法的關鍵是作出與BC平行的線段DE及其關于AO的對稱線段D′E′，要求學生具備較強的幾何直觀與邏輯推理能力，一般的學生難以想到.另一方面，這種解法給出了兩個解，但無法回答是否還存在其他解.下面給出一種基于代數運算的解決方法，可以有效避開幾何推理的難點，同時可以回答是否還存在其他解的問題［1］.

解法2 如圖5，過點O作MN⊥AC，交AC于點M，交AB于點N，過點O作OF⊥BC于點F，過點E作EG⊥AC于點G，作EH⊥BC于點H.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=10. 因為點O是△ABC的內心，根據S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC可得OF=AC·BCAC+BC+AB=8×68+6+10=2. 易證四邊形CMOF是正方形，所以OM=CM=OF=2. 設BH=3x，EH=4x，BE=5x，CD=y. 則DE=CD+BE=y+5x，DM=CM-CD=2-y，DG=CG-CD=4x-y，EG=CH=BC-BH=6-3x. 在Rt△EDG中，由勾股定理得DG2+EG2=DE2，即（4x-y）2+（6-3x）2=（y+5x）2，從而xy=2-2x. 易知△DOM∽△DEG，所以DMDG=OMEG，即2-y4x-y=26-3x，整理得3xy=14x+4y-12，將xy=2-2x代入，并整理得10x+2y=9，再將此式代入方程xy=2-2x得2y2-5y+2=0，解得y1=12，y2=2. 從而CD的長為2或12.

這種解法根據幾何關系建立兩個方程，再將兩個方程聯立，從而解出線段CD的長度. 由以上解法可知，滿足條件的線段CD的長度只有兩種可能，不存在其他解，這回答了前面的疑惑.因此，嚴格地說，解法1不完備，而解法2是一種完備的解法.

4 變式推廣

問題3 如圖 1，△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，點O為△ABC的內心，過點O作直線交AC，AB邊于點D，E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為_______.

簡解 情形（1）：如圖6， 過點O作直線DE∥BC，且分別與直線AC，AB交于點D，E.連接OB，OC.類似問題1的解答可知此時的DE滿足條件DE=CD+BE.

在Rt△ABC中，根據勾股定理可知AC=23. 易知△ADE∽△ACB，所以ADAC=DEBC=AEAB.設CD=OD=x，BE=OE=y，則AD=23-x，DE=x+y，AE=4-y，所以23-x23=x+y2，4-y4=x+y2，解得x=3-1，y=23-33，所以CD=3-1.

情形（2）：如圖6，連接AO，作線段DE關于直線AO的對稱線段D′E′，其中點D′在AC上，點E′在AB上. 類似問題1的解答可知此時的D′E′滿足條件D′E′=CD′+BE′.易知△AE′D′∽△ACB，所以AD′AB=D′E′BC=AE′AC.設CD′=x，BE′=y，則AD′=23-x，DE=x+y，AE′=4-y，所以23-x4=x+y2，4-y23=x+y2，解得x=43-63，y=3-3，所以CD′=43-63.

綜上所述，CD的長為3-1或43-63.

問題4 在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，點O為△ABC的內心，過點O作直線交AC，AB邊于點D，E， 若DE=CD+BE， 求CD的長.

與前文類似，易得CD的長為12（a+b-c）或（b-a）（a+b-c）2b（若b＜a，則舍去）［2］.限于篇幅，求解過程從略，有興趣的讀者自行探究.

5 結束語

通過研究發現，2022年泰州市中考數學第16題是一道由教材習題改編而來的壓軸題.受教材習題的啟發，筆者給出了試題的幾何解法，但解法不夠嚴謹，無法回答是否還存在其他解.為此，筆者利用代數方法給出了完備的解答過程.通過解法分析，給出了試題的類比遷移和推廣.在初中數學教學中，教師可利用試題的變式和推廣，培養學生的發散思維，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：［1］ 陳宇.源流共舞 動靜相宜：2021年安徽中考第23題印象［J］.中學數學教學，2021（4）：63-66.

［2］ 謝向華. 源于課本，高于教材：例談一元二次方程根與系數關系的應用［J］.中學數學，2020（8）：40-42.

［責任編輯：李 璟］