化動為靜 破解幾何動點問題

摘 要：幾何動點是歷年中考數學的熱點問題，其涉及的知識點多，綜合性強，具有一定的選拔性功能，對學生而言具有一定的難度.基于此，文章對一道與等邊三角形有關的中考選擇壓軸題進行詳細分析和解答，并對問題進行引申變式，以此培養學生的發散思維和聯想能力，提高其分析問題和解決問題的能力，提升其數學核心素養.

關鍵詞：動點問題；化動為靜；等邊三角形；最小值；變式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0047-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：盛一凡（1997.4—），女，江蘇省常熟人，中小學二級教師，從事初中數學教學研究.

每年各地中考數學試卷中都會涌現一批優秀的試題，這些試題凝聚著命題專家的智慧，體現了新課程標準要求，對初中數學教學具有一定的導向作用，對日常教學具有重要的參考價值.因此，教師應帶領學生甄選優秀中考試題，對其進行

分析、研究、變式、拓展，充分發揮一道優秀中考試題的價值.幾何動點問題是初中數學教學的重要內容，倍受命題者青睞.筆者以2023年安徽省中考選擇壓軸題為例，談談如何對試題進行深入研究與分析，供讀者參考.

1 試題呈現

問題1 （2023年安徽中考數學第10題） 如圖 1，E是線段AB上一點，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等邊三角形，P，F分別是CD，AB的中點，若AB=4，則下列結論錯誤的是（ ）.

A.PA+PB的最小值為33

B.PE+PF的最小值為23

C.△CDE周長的最小值為 6

D. 四邊形ABCD面積的最小值為33

2 試題分析

本題是一道以正三角形為背景的幾何計算問題，解答時需要靈活運用正三角形的有關性質.根據已知條件可知，線段AB的長度為定值，點E是AB上的動點，因此AE和BE的長度是變量，故△ADE和△BCE的大小也是變化的，這導致點P的位置不固定. 因此，在圖1中，除了點A、B、F是定點外，其他點均是動點.這是典型的動點問題，是中考中的常見題型［1］.欲想順利解答此題，需要分析動點在運動變換中的不變性，這需要學生具備靈活的轉化與化歸能力，對學生的解題能力要求較高.因此，本題是一道中考壓軸題，綜合考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

3 解法探究

根據以上分析，圖1處于運動變化之中，直接從一般情形入手較為困難. 為此，可以從特殊位置入手突破. 根據直覺與經驗，可以猜測當點E與點F重合時，所求量能取到最小值，從而得到以下解法.

解法1 設點E與點F重合，如圖2所示.

因為△ADE和△BCE是正三角形，所以DE=AE，BE=CE，∠DEA=60°，∠CEB=60°，所以∠DCE=180°-∠DEA-∠CEB=180°-60°-60°=60°.又因為點AB為AB中點，所以AE=BE，所以DE=CE，所以△CDF是等邊三角形.因為P是CD的中點，根據等腰三角形 “三線合一”性質可知PF⊥CD.因為CD=DE=AE=2，所以△CDE的周長為6，故C選項正確.

在Rt△PDF中，因為∠DPF=90°，∠DEP=30°，所以DP=1.在Rt△PDF中，因為PE=DE2+DP2=3，所以PE+PF=23，故B選項正確.

在Rt△AEP中，因為AP=AE2+PE2=7，所以PA+PB=27≠33，故A選項錯誤.

根據已知條件易知四邊形ABCD為梯形，所以S 四邊形ABCD=12（CD+AB）·PE=12×（2+4）×3=33，故D選項正確.

綜上所述，選A.

這種解法借助特殊位置得到答案，是一種特殊化解題策略，適合解答填空題和選擇題.

解法2 如圖 3，延長AD，BC交于點M，過點P作直線l∥AB.

因為四邊形△ADE和△BCE是等邊三角形，所以∠DEA=∠MCA=60°，∠MAB=∠CEB=60°，所以DE∥BM，CE∥AM，所以四邊形DECM是平行四邊形.因為P為CD的中點，所以P為EM的中點.因為E在線段AB上運動，所以P在直線l上運動，由AB=4知等邊三角形ABM的高為23，所以M到直線l的距離，P到直線AB的距離都為3.

如圖 3，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，當P運動到A′B與直線l的交點，即A′，P，B三點共時，PA+PB=PA′+PB最小，此時PA+PB最小值A′B=AA′2+AB2=（23）2+42=27，故選項A錯誤.

因為四邊形DECM是平行四邊形，所以PM=PE，所以PE+PF=PM+PF≥PF.所以當M，P，F共線時，PE+PF最小，最小值為MF的長度.因為MF為等邊三角形ABM的高且AB=4，所以MF=23，所以PE+PF的最小值為23，故選項B正確.

如圖 4，過點D作DG⊥AB于點G，過點C作CH⊥AB于點H，則CD≥GH=GE+EH=12AE+12BE=12AB=2.

因為DE=AE，CE=BE，所以DE+CE+CD≥AE+BE+2=AB+2=6，所以△CDE周長的最小值為6，故選項C正確.

設AE=2 m， 則BE=4-2 m，所以AG=GE=m，BH=EH=2-m，DG=3AG=3m，CH=3BH=23-3m，所以SΔADG=12AG·DG=12m·3m=32m2，SΔBCE=12BH·CH=12（2-m）（23-3m）=32m2-23m+23，S梯形DGHC=12DG+CH·GH=12（3m+23-3m）·2=23，所以S四邊形ABCD=32m2+32m2-23m+23+23=3m2-23m+43=3（m-1）2+23.從而可知，當m=1時，四邊形ABCD面積的最小值23，故D選項正確.

點評 這種解法通過延長AD，BC構造平行四邊形DECM，根據平行四邊形的性質和“瓜豆原理”可知點P在定直線l上運動，由此找到了運動中不變的性質.由于A，B為定點，點P在定直線l上運動，因此，可將問題轉化為“將軍飲馬”幾何模型，只需作出點A關于直線l的對稱點，即可求出PA+PB的最小值. 對于B選項，根據平行四邊形的性質，將PE+PF轉化為MP+PF，再根據垂線段的性質將問題轉化為等邊三角形ABM的高. 對于C選項，易知DE+CE為定值，故問題轉化為求CD的最小值. 對于D選項，以AG的長度為自變量，根據幾何關系，分別求出△ADG、△BCE、梯形DGHC的面積，從而求出四邊形ABCD的面積，由此將問題轉化為二次函數的最小值問題［2］.

4 試題變式

對試題進行變式拓展可以培養學生的發散思維和聯想能力，并進一步鞏固所學知識. 下面對問題1進行變式拓展.

問題2 如圖5，E是線段AB上一點，△ADE和△BCE是位于直線AB同側的兩個等腰直角三角形，P，F分別是CD，AB的中點， 若AB=4， 探究以下問題：

（1）PA+PB是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（2）PE+PF是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（3）△CDE周長的是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（4）四邊形ABCD面積的否存在最小值，若存在，求出它的最小值.

此題可采用與問題1類似的解法，如圖6，延長AD，BC交于點M，過點P作直線l∥AB，過點D作DG⊥AB于點G，過點C作CH⊥AB于點H.可以證明點P在定直線l上. 于是，問題（1）轉化為“將軍飲馬”問題，問題（2）轉化為點M到AB的距離問題，問題（3）轉化為GH的長度問題，問題（4）可以將AG的長度作為自變量，分別求出ΔADG，ΔBCE，梯形DGHC的面積，將四邊形ABCD面積的最小值轉化為二次函數的最小值問題. 限于篇幅，不再贅述，請有興趣的讀者自行探究.

5 結束語

在初中數學教學中，對一些優質的中考試題進行深入分析和研究，不僅能幫助學生鞏固所學知識，培養其數學核心素養，而且還能培養學生的創新意識，為學生進一步學習打下良好基礎.

參考文獻：［1］ 蘇雅. 運用動靜結合策略解初中數學平面幾何動點問［J］.數理化解題研究，2023（8）：29-31.

［2］ 秦海燕.初中數學動點問題的分類和解題思路探究［J］.中學數學（下半月），2023（3）：81-83.

［責任編輯：李 璟］