對一道教材探究問題的分析與推廣

摘 要：教材是學科專家依據課程標準精心打造的精品課程資源，是教師教學研究的重點.為此，筆者對教材中的一道與正方形有關的“實驗與探究”問題進行詳細分析，給出多種證明，并進行類比探究，將結論推廣到正三角形. 這一實驗探究案例可應用于課堂教學中，以提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：正方形；探究問題；解法；推廣；三角形

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）29-0074-03

收稿日期：2024-07-15

作者簡介：朱華（1983.4—），女，陜西省延安人，本科，副高級教師，從事初中數學教學研究.

教材是最重要的教學資源，可以幫助學生建立完備的知識體系，引領學生體會數學知識的內在聯系. 因此，在日常的教學中，教師要引導學生認真研究教材，除了學習教材中的方法、公式、定理、結論之外，還要認真領悟教材的前言、旁白、插圖、拓展閱讀材料等.與此同時，需對教材中的例題、習題、實驗與探究問題展開研究性學習.筆者對人教版初中數學教材中的一道研究性問題進行詳細分析和拓展研究，以此培養學生分析問題和解決問題的能力［1］.

1 問題呈現

人教版數學八年級下冊第63頁“實驗與探究”中有這樣一道探究問題：

問題1 如圖 1，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等.無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積等于一個正方形面積的四分之一.想一想，這是為什么？

2 解法探究

本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，筆者從不同角度對其進行探究［2］.

分析 如圖2，當OA1和OC1與正方形ABCD的對角線重合時，重疊部分為三角形.此時，點E與點B重合，點F與點C重合，如圖2所示.此時重疊部分的面積為正方形ABCD面積的四分之一.

一般情況下，正方形ABCD與正方形A1B1C1O的重疊部分是四邊形，其有一組對角是直角.因此，可以考慮連接EF，將重疊部分分割為Rt△BEF和Rt△OEF，從而重疊部分的面積可轉化為Rt△BEF和Rt△OEF的面積之和. 但由于正方形A1B1C1O的位置處于變化之中，因此線段BE，BF，OE，OF的長度都在變化之中，故無法直接求出Rt△BEF和Rt△OEF的面積. 因此，需要轉換思路. 觀察圖1中的陰影部分，可以猜測△AEO和△BFO是全等的，故可以考慮利用全等三角形的性質進行證明.

證法1 如圖1，因為四邊形ABCD是正方形，所以OA=OB，∠EAO=∠FCO=45°，AO⊥BD.又因為∠AOE=∠AOB-∠EOB=90°-∠EOB，∠BOF=∠EOF-∠EOB=90°-∠EOB，所以∠AOE=∠BOF.由此可知，△AOE≌△BOF，所以S△AOE=S△BOF，所以S△AOE+S△BOE=S△BOF+S△BOE，所以S△AOB=S四邊形EBFO.又S正方形ABCD=4S△AOB，所以S正方形ABCD=4S四邊形EBFO.因此，兩個正方形重疊部分的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

點評 這種證法充分利用了正方形的性質，即正方形的四條邊相等、對角線互相垂直、對角線與邊的夾角為45°等性質，并運用了全等三角形的判定與性質及圖形的割補.對學生而言，此題技巧性強、綜合性高，可以有效考查正方形和全等三角形的相關知識，具有一定的難度［3］.

證法2 如圖4，因為四邊形ABCD是正方形，所以OB=OC，∠EBO=∠FCO=45°，AO⊥BD.又∠BOE=∠FOE-∠FOB=90°-∠FOB，∠COF=∠COB-∠FOB=90°-∠FOB，所以∠BOE=∠COF，所以△BOE≌△COF，所以S△BOE=S△COF，所以S△BOE+S△BOF=S△COF+S△BOF，所以S四邊形EBFO=S△BOC.又因為S正方形ABCD=4S△BOC，所以S正方形ABCD=4S四邊形EBFO.因此，兩個正方形重疊部分的面積等于正方形ABCD面積的四分之一.

點評 這種證法與證法1類似，都是將重疊部分分割為△BOE和△BOF，從而將重疊部分的面積轉化為△BOE和△BOF的面積之和.不同之處在于，證法1將△BOF的面積轉化為△AOE的面積，從而將重疊部分的面積轉化為△AOB的面積；而證法2是將△BOE的面積轉化為△COF的面積，從而將重疊部分的面積轉化為△BOC的面積.

3 變式推廣

問題2 如圖5， 正三角形ABC的中心為點O， 點O又是正三角形A1B1O的一個頂點， 而且這兩個正三角形的邊長相等. 當正三角形A1B1O繞點O轉動時， 兩個正三角形重疊部分的面積是否總等于一個正三角形面積的三分之一？

借助幾何畫板可以發現，重疊部分的面積并不是固定的，而是處于變化之中. 因此，問題2的回答是否定的.問題1無法直接類比到正三角形. 但還可從另一個角度對其進行類比.

首先，問題1可看作如下變式1.

變式 如圖6，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠MON=90°.當∠MON繞點O轉動時，∠MON的內部與正方形重疊部分的面積總等于正方形面積的四分之一.

根據以上變式，可提出以下問題.

問題3 如圖7，正三角形ABC的中心為點O，∠MON=120°. 當∠MON繞點O轉動時，∠MON的內部與正三角形重疊部分的面積總等于正三角形面積的三分之一.請你證明此結論.

證法1 如圖8，不妨設射線OM與AB邊交于點D，射線ON與BC邊交于點E，連接AO和BO.

因為點O是正三角形ABC的中心，所以OA=OB，∠DAO=∠EBO=30°，∠AOB=120°.又因為∠AOD=∠AOB-∠BOD=120°-∠BOD，∠BOE=∠DOE-∠BOD=120°-∠BOD，所以∠AOD=∠BOE，所以△AOD≌△BOE，所以S△AOD=S△BOE，所以S△AOD+S△BOD=S△BOE+S△BOD，所以S△AOB=S四邊形DBEO.又因為S正三角形ABC=3S△AOB，所以S正三角形ABC=3S四邊形DBEO.因此，∠MON的內部與正三角形重疊部分的面積總等于正三角形面積的三分之一.

證法2 如圖9，不妨設射線OM與AB邊交于點D，射線ON與BC邊交于點E，連接BO和CO.

因為點O是正三角形ABC的中心，所以OB=OC，∠DBO=∠ECO=30°，∠BOC=120°.又因為∠BOD=∠DOE-∠BOE=120°-∠BOE，∠COE=∠BOC-∠BOE=120°-∠BOE，所以∠BOD=∠COE，所以△BOD≌△COE，所以S△BOD=S△COE，所以S△BOD+S△BOE=S△COE+S△BOE，所以S四邊形DBEO=S△BOC.又因為S正三角形ABC=3S△BOC，所以S正三角形ABC=3S四邊形DBEO.因此，∠MON的內部與正三角形重疊部分的面積總等于正三角形面積的三分之一.

點評 證法1和證法2的思路類似，都是先將重疊部分分割為△BOD和△BOE，證法1將△BOE的面積轉化為△AOD的面積，而證法2將△BOD的面積轉化為△COE的面積.

4 結束語

在初中數學教學中，教師可以引導學生進行自主探究，不僅能夠培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，而且能夠提高學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.

參考文獻：［1］ 劉軍.回歸教材 類比拓展：“雙減”背景下的數學中考啟示［J］.初中數學教與學，2022（11）：40-42.

［2］ 劉文艷.淺析如何幫助初中生提高數學復習效率［J］.數學學習與研究，2020（24）：16-17.

［3］ 呂亞軍，顧正剛.理性回歸：初中數學教材使用中的生態環境探析與優化［J］.數學教學通訊，2017（2）：31-33.

［責任編輯：李 璟］